[探究发现]如图1.△ABC是等边三角形.∠AEF=60°.EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F.当点E是BC的中点时.有AE=EF成立,[数学思考]某数学兴趣小组在探究AE.EF的关系时.运用“从特殊到一般 的数学思想.通过验证得出如下结论:当点E是直线BC上任意一点时.结论AE=EF仍然成立．假如你是该兴趣小组中的一员.请你从“点E是线段BC上的任 题目和参考答案——精英家教网——
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【探究发现】如图1，△ABC是等边三角形，∠AEF=60°，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F，当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点E是直线BC上（B，C除外）任意一点时（其它条件不变），结论AE=EF仍然成立．假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点E是线段BC延长线上的任意一点”；“点E是线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在备用图1中画出图形，并证明AE=EF．【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时，若CE=BC，在备用图2中画出图形，并运用上述结论求出S△ABC：S△AEF的值．
考点：相似形综合题,全等三角形的判定与性质
专题：几何综合题,压轴题,探究型
分析：根据等边三角形的性质，可得AB=BC，∠B=∠ACB=60°，根据三角形外角的性质，可得∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE，根据ASA，可得△AGE≌△ECF，根据全等三角形的性质，可得结论；根据等边三角形的判定，可得△AEF是等边三角形，根据等边三角形相似，可得△ABC与△AEF的关系，根据等腰三角形的性质，可得AC与AH的关系，AC与AE的关系，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得答案．
解答：证明：第一种情况：点E是线段BC上的任意一点，可作三种辅助线：方法一：如图1，在AB上截取AG，使AG=EC，连接EG，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°．∵AG=EC，∴BG=BE，∴△BEG是等边三角形，∠BGE=60°，∴∠AGE=120°．∵FC是外角的平分线，∠ECF=120°=∠AGE．∵∠AEC是△ABE的外角，∴∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE．∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=60°+∠FEC，∴∠GAE=∠FEC．在△AGE和△ECF中，∴△AGE≌△ECF（ASA），∴AE=EF；方法二：在CA上截取CG=CE，连结GE，证明类似方法一；方法三：延长FC到G，使CG=CE，连结EG，易证△CEG是等边三角形，∴CE=EG，∠G=∠ACB=60°，∠CEG=∠AEF=60°，∴∠CEG+∠CEF=∠AEF+∠CEF，即∠GEF=∠AEC，∴△GEF≌△CEA，∴AE=EF．第二种情况：点E是线段BC延长线上的任意一点如图2，可作三种辅助线：①在CF上截取CG=CE，连接GE②延长AC到G，使CG=CE，连结EG；③或延长BA到G，使BG=BE，连结EG．第②种添加辅助线的方法证明如下：证明：延长AC到G，使CG=CE，连结EG，易证△CEG为等边三角形，∴∠G=∠ECF=60°，EG=CE，又∠AEG=∠CEG+∠AEC=60°+∠AEC，∠CEF=∠AEF+∠AEC=60°+∠AEC，∴∠AEG=∠CEF，∴△AEG≌△FEC，∴AE=EF．第三种情况：点E是线段BC反向延长线上的任意一点如图3，可作三种辅助线：①延长AB到G，使BG=BE，连结EG；②延长CF到G，使CG=CE，连结EG；③在CE上截取CG=CF，连结GF现就第①种添加辅助线的方法证明如下：证明：延长AB到G，使BG=BE，连结EG，易证△BEG为等边三角形，∴∠G=∠ECF=60°，∵∠AEB+∠BAE=∠ABC=60°，∠AEB+∠CEF=∠AEF=60°，∴∠BAE=∠CEF，∵AB=BC，BG=BE，∴AB+BG=BC+BE，即AG=CE，∴△AEG≌△EFC，∴AE=EF．拓展应用：如图4：作CH⊥AE于H点，∴∠AHC=90°．由数学思考得AE=EF，又∵∠AEF=60°，∴△AEF是等边三角形，∴△ABC∽△AEF．∵CE=BC=AC，△ABC是等边三角形，∴∠CAH=30°，AH=EH．∴CH=AC，AH=AC，AE=AC，∴．∴△ABCS△AEF=(ACAE)2=2=．
点评：本题考查了相似形综合题，利用了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，构造全等三角形是解题关键，题目稍有难度．
科目：初中数学
如图，几个完全相同的小正方体组成一个几何体，这个几何体的三视图中面积最大的是（　　）
A、主视图B、左视图C、俯视图D、主视图和左视图
科目：初中数学
（1）计算：|-1|-0+4cos45°-．（2）解方程：x2+2x-1=0．
科目：初中数学
学习成为现代人的时尚，某市有关部门统计了最近6个月到图书馆的读者的职业分布情况，并做了下列两个不完整的统计图．（1）在统计的这段时间内，共有万人次到图书馆阅读，其中商人占百分比为%；（2）将条形统计图补充完整；（3）若5月份到图书馆的读者共28000人次，估计其中约有多少人次读者是职工？
科目：初中数学
如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG．（1）试说明四边形EFCG是矩形；（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；②求点G移动路线的长．
科目：初中数学
某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（Ⅰ）设每千克应涨价x元，根据问题中的数量关系，用含x的代数式填表：
每千克盈利（元）
每天销售量（千克）
每天盈利（元）
6000（Ⅱ）列出方程，并求问题的解．
科目：初中数学
已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）若∠A=60°，AB=8，AD=4，求BD的长．
科目：初中数学
如图有A、B两个大小均匀的转盘，其中A转盘被分成3等份，B转盘被分成4等份，并在每一份内标上数字．小明和小红同时各转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线时视为无效，重转），若将A转盘指针指向的数字记作一次函数表达式中的k，将B转盘指针指向的数字记作一次函数表达式中的b．（1）请用列表或画树状图的方法写出所有的可能；（2）求一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限的概率．
科目：初中数学
列方程（组）解应用题：如图，要建一个面积为40平方米的矩形宠物活动场地ABCD，为了节约材料，宠物活动场地的一边AD借助原有的一面墙，墙长为8米（AD＜8），另三边恰好用总长为24米的栅栏围成，求矩形宠物活动场地的一边AB的长．
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华东师大版数学八年级上册 第十三章 全等三角形
线段垂直平分线与角平分线 专题训练题 含答案
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华东师大版数学八年级上册 第十三章 全等三角形
线段垂直平分线与角平分线 专题训练题
1.如图,已知△ABC,求作一点P,使P到∠A的两边的距离相等,且PA=PB,下列确定P点的方法正确的是（　　）
A.P为∠A,∠B两角平分线的交点
B.P为∠A角平分线与AB的垂直平分线的交点
C.P为AC,AB两边上的高的交点
D.P为AC,AB两边的垂直平分线的交点
2.如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上,那么这个三角形是（　　）
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.不能确定
3.如图,△ABC的两个外角平分线相交于点P,则下面结论正确的是（　　）
A.BP不平分∠ABC
B.BP平分∠ABC
C.BP平分∠APC
4.如图,C是△ABE的BE边上一点,F在AE上,D是BC的中点,且AB=AC=CE,对于下列结论:①AD⊥BC；②CF⊥AE；③∠1=∠2；④AB+BD=DE.其中正确的结论有（　　）
5.如图,△ABC中,∠B=40°,AC的垂直平分线交AC于D,交BC于E,且∠EAB∶∠CAE=3∶1,则∠C等于（　　）
审核人：数学阳卫民
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AB=AC,∠A=120°==&∠B=∠C=30°EF是AB的垂直平分线==&BF=AF,∠B=∠FAB=30°==&∠FAC=90°==&AF/CF=sin∠C=1/2==&CF=2AF=2BF 热心网友
||||点击排行已知在三角形ABC中,AB大于AC,角A的一个外角平分线交三角形ABC的外接圆于点E,过E做EF垂直AB,垂足为F求证：
已知在三角形ABC中,AB大于AC,角A的一个外角平分线交三角形ABC的外接圆于点E,过E做EF垂直AB,垂足为F求证：2AF=AB-AC
过E做EH垂直AC,则EF等于EH,又因为角EBA等于角ECA,所以直角三角形EFB全等于直角三角形EHC,所以BF等于HC,又因FA等于HA,所以BF=AB-FA=HC=AC+HA=AC+AF得证
与《已知在三角形ABC中,AB大于AC,角A的一个外角平分线交三角形ABC的外接圆于点E,过E做EF垂直AB,垂足为F求证：》相关的作业问题
因为 ∠DBC=∠ACB 所以△BOC中OB=OC （等角对等边）又因为AC=BD 所以AO=DO因为AO=DO,OB=OC,∠AOB=∠DOC（对顶角相等）所以△AOB全等于△DOC 所以AB=DC 因为AD
连结CF,BE易知△AOD和△BOC为等边三角形E、F、G分别是AO、BO、CD的中点,故CF⊥BD,DE⊥AC,EF=1/2ABEG,FG分别是Rt△DFC和Rt△DEC斜边CD上中线EG=FG=1/2CD=1/2AB=FE故△EFG是等边三角形
∵ABCD是矩形,∴∠A=∠ABC=90°,∵EF⊥BC,∴∠BFE=90°,∴四边形ABFE是矩形,∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=45°,∴ΔABE是等腰直角三角形,∴AB=AE,∴矩形ABFE是正方形.
过点O作OD垂直AB于D,设半径为r,则OC=OD=r,OB=BC-OC=4-r根据切线长定理,AC=AD=3,BD=AB-AD=5-3=2在直角三角形OBD中,BD^2+OD^2=OB^2,即2^2+r^2=(4-r)^2,解得r=1.5
因为AC=AD所以角ACD=角ADC因为角ACD+角BCD=角C=40度角ADC=角BCD+角B所以40-角BCD-角BCD=角B所以角B=40-2角BCD因为BC=BE所以角BCE=角BEC因为角B+角BCE+角BEC=180度所以角B=180-2角BCE因为角BCE=角DCE+角BCD所以2角DCE+2角BCD+4
设点G在BC的延长线上.已知,DF‖BC,可得：∠FDB = ∠CBD = ∠FBD ,∠EDC = ∠GCD = ∠ECD ,所以,BF = DF ,CE = DE ,可得：BF = DF = EF+DE = EF+CE .
设点G在BC的延长线上.已知,DF‖BC,可得：∠FDB = ∠CBD = ∠FBD ,∠EDC = ∠GCD = ∠ECD ,所以,BF = DF ,CE = DE ,可得：BF = DF = EF+DE = EF+CE .
如图,在三角形ABC中,AB大于AC,AD是三角形ABC中角BAC的平分线.P为AD上任意一点（P与A不重合）求证AB-AC大于PB-PC证：AB上取点E使AE=AC,连PE易得△AEP≌△ACP故,PE=PC△BPE中,BP-PE
（1）.相等链接OD两点.由题可知,三角形ACB为等腰直角三角形,O为斜边AB中点,AC为圆的切线,则OD垂直AC,即OD平行于BC,推出角DOA=角CBA.因为角OFD=角ODF,所以角DOA=2倍的角OFD,因为角OFD与角BFG为对顶角,所以两角相等.即角DOA等于2倍的角BFG.又因为前面推出角DOA=角CBA
如图,过D作DE⊥BA,DF⊥BC,E、F为垂足,∵∠BAD＋∠C＝189º,又∠BAD＋FAD＝180,∴FAD＝∠C,又AD＝DC,∴⊿DAE≌⊿DCF﹙AAS﹚,∴DE＝DF,DE⊥BA,DF⊥BC,∴∠ABD＝∠CBD,即BD平分∠ABC.
在BC取E使BE=ABBE=AB,BD=BD,BD平分∠ABC ASA三角形全等,有AD=DE=CD,∠A=∠DEBAD=DE=CD,∠C=∠DEC.∠A=∠DEB∠A+∠C=180°
(2,2√2)画一个45°的角,顶点为B,在一边取线段BC=x以C点为圆心,半径为2,画圆,因为有两解,所以圆应该要与另外一边相交,如果是没有解,就是相离,如果有一个解,就是相切.你把图画出来之后,就可以明显看到,C点到另外一边的距离（圆心到弦的距离）,也就是三角形ABC的高小于半径.即xcos45°＜2另外,BC边大
∵DE⊥AB,DF⊥ACAD是∠BAC的平分线∴DE=DF(角平分线上一点到角的两边的距离相等）∵DG⊥BC且BG=CG∴BD=DC(线段垂直平分线上一点到线段两端的距离相等）∴RT△BDE≌RT△CDF(HL)∴BE=CF
在△CFD与△CFA中,DC=AC,CF=CF,∠ACF=∠DCF——》△CFD全等于△CFA——》AF=FD,E是AB的中点——》△AEF相似于△ABD——》S△AEF：S△ABD=(AE：AB)^2——》S△AEF=S△ABD/4=3/2——》S四边形BDEF=S△ABD-S△AEF=6-3/2=9/2.
三角形ACD是等腰三角形,F为AD中点,EF为三角形ABD中位线,EF平行BD,三角形AEF相似于三角形ADB由此得三角形ABD面积为8
做DE⊥BA于E（在BA延长线上）,做DF⊥BC与F∵BD平分∠ABC ∴DE=DF又 AD=DC ∴△ADE≌△CDF（HL）【直角三角形全等条件：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)】∴∠C=∠EAD=180°-∠A∴∠A+∠C=180°
连接BD,CD.因为AD是角平分线,DE垂直AB,DF垂直AF,所以DE=DF,又因为DM垂直于BC,所以BD=CD,则直角三角形BDE全等于直角三角形CDF,所以BE=CF.
动点P的速度是多少?
额,应该是∠ACB的平分线吧,（1）因为AC,CD相等,CF为AD垂直平分线,所以AF=DF,又因为E为AB中点,所以EF为△ADB中位线,所以EF平行BC.（2）AC=DC,所以DB=10-6=4,又因为DB为EF的2倍,所以EF=1|2DB=2.吼吼吼,对的> 问题详情
⑴如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BF交AC于F，过点F作DF∥BC，求证：BD=DF。⑵如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与∠ACB的平
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提问人：匿名网友
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⑴如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BF交AC于F，过点F作DF∥BC，求证：BD=DF。⑵如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与∠ACB的平分线CF相交于F，过点F作DE∥BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E。那么BD，CE，DE之间存在什么关系？并证明这种关系。⑶如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与∠ACB的外角平分线CF相交于F，过点F作DE∥BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E。那么BD，CE，DE之间存在什么关系？请写出你的猜想。（不需证明）
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