讨论:四边形abcd中ac垂直bd_bd垂直平分ac_如图bd垂直ac于d! 话题:如图,已知等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AB上，...答：图。。。。 话题:如图,在三角形ABC中,角C等于2角B,D是BC上的一点,且AD垂直...方法:因为AD垂直AB 所以角BAD=90° 因为点E是BD的中点 所以BE=AE=ED 所以角B=角BAE 所以角AEC=2角B 因为角C=2角B 所以角C=角AEC 话题:三角形ABCAD垂直BC于D，AE平分角BAC(角C大于角B)，...
话题:在三角形ABC中,角C等于2角B,D是BC上的一点,且AD垂直AB。...方法:∵AD垂直AB。点E是BD的中点,∴BE=AE=ED;∴∠AEC=2∠B;∵∠C=2∠B,∴∠C=∠AEC。 话题:已知:如图,在三角形abc中.,∠bca＝90°，ac＝bc,AE平...
问：已知:如图,在三角形abc中.,∠bca＝90°，ac＝bc,AE平分∠bac,be⊥ae求证:be=...
答：延长AC、BE相交于点F； 在△ABE和△AFE中,∠BAE = ∠FAE ,AE 为公共边,∠AEB = 90°= ∠AEF , 所以,△ABE ≌ △AFE , 可得：BE = FE ； 在△ACD和△BCF中,∠CAD = 90°-∠F = ∠CBF ,AC = BC ,∠ACD = 90° = ∠BCF , 所以,△ACD ≌ △BCF , 可得：AD = BF = BE+FE = 2...
话题:在三角形abc中,角c=2角b,点d是bc上的一点,且ad垂直ab,点e是...方法:直角三角形的斜边的中点和直角的连线等于斜边的一半所以 ae =be = ed 所以三角形aeb是等边三角形故角eab+角abe=角aec 因为角C等于两个角B 所以角AEC等于角C 话题:2015江岸期中考试数学如图，在三角形ABc，角B=2角c...
问：2015江岸期中考试数学如图，在三角形ABc，角B=2角c，AE平分角BAc交Bc于E...
答：证明：延长FE与AB的延长线交于点M 因为FE垂直AE交AC于F 所以角AEF=角AEM=90度 因为AE平分角BAC 所以角BAE=角CAE 因为AE=AE 所以三角形AEM和三角形AEF全等（ASA） 所以角AME=角AFE 因为角ABC=角AME+角BEM 角BEM=角FEC（对顶角相等） 所以角ABC=角...
话题:如图,在三角形ABC中,角C=2角B,D是BC上一点,且AD垂直于AB...方法:因为:点E是BD的中点且且AD⊥AB
所以:BE=ED=EA;得出∠B=∠EAB
因为: ∠AEC=∠B+∠EAB=2∠B
所以:∠AEC=∠C
因为:∠AEC=∠C;所以:AE=AC
所以:AC=BE=E... 话题:梯形ABCD中, AD//BC, E是DC边上中点，连接AE, BE ...
问：梯形ABCD中, AD//BC, E是DC边上中点，连接AE, BE 求证：1. AB=BC+AD 2. ...
答：【缺一条件】AE平分∠BAD， 【证明】 1、延长AE交BC延长线于F， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAE， ∵AD//BC， ∴∠DAE=∠F， ∴AB=BF， 在△ADE和△FCE中， ∠DAE=∠F，∠AED=∠FEC，DE=CE， ∴△ADE≌△FCE（AAS）， ∴AD=CF， ∴AB=BF=CF+BC=AD+BC. 2、 ∵△ADE≌△FCE， ...
话题:如图,在三角形ABC中,角C=2角B,点D是BC上一点,且AD垂直于...方法:1)∵AD⊥AB,点E是BD的中点,∴AE=BE=DE=1/2BD。∵AE=BE,∴∠B=∠BAE=1/2∠AEC。∵∠C=2∠B,∴∠C=∠AEC。(2)∵AE=CE,∴∠C=∠CAE。∴AC=AE ∵AE=1/2... 讨论:三角形abc中bd垂直ac_如图已知ab垂直于bd_aec 2ac! 话题:已知:如图,在三角形abc中.,∠bca＝90°，ac＝bc,AE平...
问：已知:如图,在三角形abc中.,∠bca＝90°，ac＝bc,AE平分∠bac,be⊥ae求证:be=...
答：延长AC、BE相交于点F； 在△ABE和△AFE中,∠BAE = ∠FAE ,AE 为公共边,∠AEB = 90°= ∠AEF , 所以,△ABE ≌ △AFE , 可得：BE = FE ； 在△ACD和△BCF中,∠CAD = 90°-∠F = ∠CBF ,AC = BC ,∠ACD = 90° = ∠BCF , 所以,△ACD ≌ △BCF , 可得：AD = BF = BE+FE = 2...
话题:如图,在三角形ABC中,角C等于2角B,D是BC上的一点,且AD垂直...方法:在直角三角形bad中,e为中点
所以 ae=be=ed
所以 角b=角bae
所以 角aec=2角b=角c
由角aec=角c
所以 bd=2ac
由勾股定理的 ab=12
所以周长ab+be+ae=25 话题:20:如图,A为DE上一点,AB=AC=根号7，角D=角BAC=2角E...
话题:在三角形ABC中,角C=2角B,D是BC上的一点,且AD垂直于AB,点...方法:证明:∵AD⊥AB,点E是BD的中点,∴AE=BE=DE=1/2BD。∵AE=BE,∴∠B=∠BAE=1/2∠AEC。∵∠C=2∠B,∴∠C=∠AEC。∵AE=CE,∴∠C=∠CAE。∴AC=AE ∵AE=1/... 话题:如图，在等边三角形abc中，ab等于6，AD垂直于bc，e...
问：如图，在等边三角形abc中，ab等于6，AD垂直于bc，e是ac上一点，m是ad上...
答： 应该是这样吧
话题:如图,在三角形ABC中,角C等于2角B,D是BC上的一点,且AD垂直...方法:1)
因为AD⊥AB,E是BD的中点
所以AE是直角三角形ABD斜边上的中线
所以AE=BE=BD=BD/2
所以∠BAE=∠B
而∠AEC=∠BAE+∠B=2∠B,∠C=2∠B
所以∠AEC=∠C... 话题:在三角形abc中，d,e分别在AB,AC上，AF平分角bac，...
问：ABC三角形不是直角三角形，A点在底下右边，角BAC小于九十度，B点在底下...
答：解：过点E作EM平行BC交AF的延长线于M ,交BC于N 所以EN/AB=CE/AC 角M=角BAF 因为AF是角BAC的角平分线 所以角CAF=角BAF 所以角CAF=角M 所以AE=ME 因为AE=3 所以ME=3 因为AD=2 BD=4 AB=AD+BD 所以AB=6 因为CE=1 AC=AE+CE 所以AC=4 CE/AC=1/4 所以EN...
话题:如图,在三角形ABC中,角C等于2角B,D是BC上的一点,且AD垂直...方法:证明:因为AD垂直AB,
且点E是BD的中点
所以BE=AE=CE (直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半)
所以角B=角BAE
因为角AEC=角B+角BAE
且角C=2角B=角B+角BA... 话题:已知梯形ABcD中,AB11CD,角c二90度,AE垂直cD,点F是...
问：已知梯形ABcD中,AB11CD,角c二90度,AE垂直cD,点F是射线Bc上一点,FG垂直AD...
答：解：过点H作HM平行AB且交BC于M 所以角B=角AMC=90度 角BAE=角MHD 因为AB平行CD 所以角B+角C=180度 角BAE+角AEC=180度 因为角C=90度 所以角AMC=90度 因为AE垂直CD 所以角AED=角AEC=90度 所以角BAE=90度 所以角BAE=角AEC=角C=角B=90度 所以四边形AE...
话题:在三角形ABC中,角C=2角B,D是BC上一点,AD垂直AB,E是BD的...方法:
(1)在CD上取DE=BD,连接AE,则三角形ABD全等于ADE
所以AB=AE,
∠B=∠AED=∠C ∠EAC
又因为∠B=2∠C,所以∠C=∠EAC,有AE=EC
AB BD=AE DE=EC DE=CD...总结:以上为关于如图已知bd垂直平分ac_角平分线垂直平分求证_已知bd垂直平分ac的问题及解决方法!当前位置：搜索&&&试题
（2016o岳麓区校级一模）阅读下面的文字，完成下列各题。阳明心学　　　 王守仁在继承思孟学派的“尽心”、“良知”和陆九渊的“心即理”等学说的基础上，批判吸收了朱熹那种超感性现实的先验范畴的“理”为本体学说，创立了王学，或称阳明心学。　　　 王学的内在结构是良知和致良知经由知行合一而构成的。在这一结构中，王守仁以心（良知）立言，又以良知释心，心（良知）就构成了王学的基石。在王守仁看来，心是无所不包的。物、事、理、义、善，学等都不在“吾心”之外，亦即是“心即理”。但他又认为，“良知”是心之本体，是人人生而俱来的，先验的，普遍的“知”。这种“知”是不待虑而知，不待学而能的本然，是“致良知”、为圣的内在可能性。同时，他又强调“良知”是外在的社会伦理道德与内在的个体心理欲求的统一（“天理之在人心”），是与天地万物同体的。正是这个充塞天地的“良知”（灵明），才使“我”与万物（包括社会）无间隔地一气流通，互不内外远近地融为一体。也正是这种天地间活泼泼的、“个个心中有仲尼”的“良知”，才感召人们去追求那种具有“凤凰翔于千仞”，“淳德凝道，和于阴阳，调于四时，去世离俗，积精全神，游行于天地之间，视听八远之外”的“狂者”或圣人境界。这就极大地强调了主体意识的能动性，高扬了人格精神的伟大，成了“致良知”的主体后天努力的内在要求。在这里，王守仁突破了朱熹那种“天理”的绝对性，从而肯定了人欲的合理性。　　　 “致良知”就是如何为圣的过程，变本然的知为主体意识自觉把握的知的过程，也就是他所说的“知行合一”。在这一“致良知”的过程中，王守仁强调认识主体生命意志和情感投入。主要表现在：“致良知”是对“无一息之或停”的天道和作为人类童识历史积淀的《六经》等的动态认识过程。这里就要求认识主体要有历史感。同时，也表现在“致良知”是主体澄静体悟的情感心灵活动。随着认识能力的提高，人们对社会、人生的认识也就有一个“再体到深处，日见不同”而觉“有滋味”的不断深化过程。因此，“人若复得”“良知”，“完完全全，无少亏欠，自不觉手舞足蹈，不知天地间更有何乐可代”替与天地万物同体并一气漳通的超然自乐的人生境界。在这种境界中，主体人格精神获得了高扬，个体的生命存在价值得　　　　到了肯定，人的心灵被提升为与天地同体无古今的永恒。而这正是生命的体验过程。　　　 从上文对王学的内在结构即“良知”、“致良知’等分析看出，王守仁的心学是一种体验哲学。作为其心学不可分割的组成部分的美学，也具有鲜明的体验性质，可以说是体验美学。所谓体验美学就是审美主体通过生命体验那种具有时间上的永恒性（无限性），空间上的整体性，方式上的直接性和本质上的超越性的审美意象或审美境界。王守仁的体验美学就是通过审美体验去把握那种具有永恒性、整体性，直接性和超越性的“至乐”或圣人境界。（1）关于“阳明心学”的解说最为恰当的一项是A．王守仁的阳明心学吸收了朱熹那种超感性的先验范畴的“理”为本体学说。B．王守仁在继承思孟学派的“尽心”、“良知”和“心即理”等学说的基础上，创立了王学。C．王守仁在批判地吸收了朱熹那种超感性的先验范畴的“理”为本体学说的基础上，继承思孟学派的“尽心”、“良知”和陆九渊的“心即理”等学说，创立了王学，或称阳明心学。D．王守仁的阳明心学将思孟学派、陆九渊的学说和朱熹的学说融为一体。（2）下列选项中对王学分析解读正确的一项是A．“狂者”或圣人境界就是“个个心中有仲尼”，“凤凰翔于千仞”，“淳德凝道，和于阴阳，调于四时，去世离俗，积精全神，游行于天地之间，视听八远之外”。B．“良知”是心之本体，是人人生而俱来的，先验的，普遍的“知”。这种“知”是不待虑而知，不待学而能的本然，为“致良知”、为圣的内在提供了可能。C．“良知”是内在的社会伦理道德与外在的个体心理欲求的统一，是与天地万物同体的。D．王守仁否定了朱熹那种“天理”的绝对性，从而肯定了人欲的合理性。（3）下列各项对于文意解说不当的一项是A．“知行合一”就是变本然的知为主体意识自觉把握的知的过程。B．“致良知”是对“无一息之或停”的天道和作为人类意识历史积淀的《六经》等的动态认识过程。C．“致良知”的过程是主体澄静体悟的情感心灵活动，认识主体生命意志和情感投入。D．阳明心学的境界中，主体人格精神获得了高扬，个体的生命存在价值得到了肯定，人的心灵被提升为与天地同体无古无今的永恒，这正是生命的体验过程。难度：0.40真题：1组卷：1
在生物的遗传基因中存在复等位现象，如a1，a2，…但就每一个二倍体细胞来讲，最多只能有其中的两个，而且分离的原则相同．在小鼠中，有一复等位基因：A控制黄色，纯合子致死；a1控制灰色，野生型；a2控制黑色．这一复等位基因系列位于常染色体上，A对a1、a2为显性，a1对a2为显性．AA个体在胚胎期死亡．请回答下列问题：（1）现有下列杂交组合，Aa1（黄色）×Aa2（黄色），则理论上它们子代的表现性为．（2）两只鼠杂交，后代出现三种表现型，则该对亲本的基因型是，它们再生一只黑色雌鼠的概率是．（3）现有一只黄色雄鼠和多只其他各色的雌鼠，如何利用杂交方法检测出该雄鼠的基因型？实验思路：①选用该黄色雄鼠与杂交．②观察．结果预测：①如果后代，则该黄色雄鼠的基因型为Aa1．②如果后代，则该黄色雄鼠的基因型为Aa2．难度：0.60真题：2组卷：9
如图为发生在高等动物细胞核中的某生理过程示意图．请回答问题：（1）图中进行的是过程．此过程的进行除图中的模板和原料外还需要的基本条件有．（2）碱基①和④的中文名称分别是；．（3）图中②和⑤均表示鸟嘌呤，二者参与构成的核苷酸（相同、不同）．难度：0.80真题：2组卷：3
（2017秋o高邮市校级月考）下列诗句中，没有使用比喻手法的一项是（　　）A．终日不成章，泣涕零如雨B．久在樊笼里，复得返自然C．大漠沙如雪，燕山月似钩D．朔风如解意，容易莫摧残难度：0.60真题：1组卷：2
（2017春o连云港期末）阅读下面的文言文，完成下列各题。方山子传苏轼　　　 方山子，光、黄间隐人也。少时慕朱家、郭解1为人，闾里之侠皆宗之。稍壮，折节读书，欲以此驰骋当世，然终不遇。晚乃遁于光、黄间，曰岐亭。庵居蔬食，不与世相闻；弃车马，毁冠服，徒步往来山中，人莫识也。见其所著帽，方耸而高，曰：“此岂古方山冠2之遗像乎？”因谓之方山子。　　　 余谪居于黄，过岐亭，适见焉。曰：“呜呼！此吾故人陈慥季常也，何为而在此？”方山子亦矍然，问余所以至此者，余告之故。俯而不答，仰而笑，呼余宿其家。环堵萧然，而妻子奴婢皆有自得之意。　　　 余既耸然异之。独念方山子少时，使酒好剑，用财如粪土。前十有九年，余在岐山，见方山子从两骑，挟二矢，游西山。鹊起于前，使骑逐而射之，不获。方山子怒马独出，一发得之。因与余马上论用兵及古今成败，自谓一世豪士。今几日耳，精悍之色，犹见于眉间，而岂山中之人哉？　　　 然方山子世有勋阀，当得官。使从事于其间，今已显闻。而其家在洛阳，园宅壮丽，与公侯等。河北有田，岁得帛千匹，亦足以富乐。皆弃不取，独来穷山中，此岂无得而然哉？余闻光、黄间多异人，往往阳狂垢污，不可得而见，方山子傥见之与！（选自《苏轼文集》卷十三）（1）对下列句子中加点词的解释，不正确的一项是A．闾里之合资皆宗之宗：敬仰B．方山子亦矍然问余所以至此者矍然：惊讶相视的样子C．余既耸然异之异：对……感到奇怪D．见方山子从两骑从：跟随（2）下列对原文有关内容的概括和分析，不正确的一项是A．作者在开往先用“闻之于他人”的方法，将其真事隐去，寥寥几笔写出了方山子成长的三个阶段。B．作者以设置悬念的方法，写方山子遇到作者，感到非常吃惊，在听闻了作者的遭遇以后，表示了同情和安慰。C．作者通过“怒马独出，一发得之”这一细节描写，刻画出了方山子的卓然不群、侠气弥胸的形象。D．苏轼给方山子立传的目的是借他人之酒杯浇自己心中的块垒，本文是作者在黄州心态的一种形象的折射。（3）把文中画线的句子翻译成现代汉语。①稍壮，折节读书，欲以此驰骋当世，然终不遇。②余闻光、黄间多异人，往往阳狂垢污，不可得而见，方山子傥见之与！（4）作者邂逅方山子之后“耸然异之”，请概括方山子有哪些异人之处。难度：0.40真题：1组卷：1
（2017春o台江区校级期末）如图为漫画《有感于“孔雀东南飞”　》．请描述漫画的内容及寓意。难度：0.60真题：1组卷：2
1905年，E．B．Winlson发现，果蝇的雌性个体有两条相同的X染色体，雄性个体有两个异型的性染色体，其中一条与雌性个体的性染色体不同，称之为Y染色体．1909年，摩尔根从他们自己培养的红眼果蝇中发现了第一个他称为“例外”的白眼雄蝇．用它做了下列实验：（注：不同类型的配子及不同基因型的个体生活力均相同）实验一：将这只白眼雄蝇和它的红眼正常姊妹杂交，结果如下图所示：实验二：将实验一中的F1代红眼雌蝇与最初的那只白眼雄蝇作亲本进行杂交得到子一代．请分析实验，回答以下各小题：（1）从实验一的结果可以看出，显性性状是．（2）在实验一的F2中，白眼果蝇均为雄性，这是孟德尔的理论不能解释的，请你参与E．B．Winlson的发现，替摩尔根提出合理的假设：．（3）实验二的预期结果能说明果蝇眼色的遗传与性别有关吗？．请用遗传图解并配以简要的文字加以说明（相关基因用A、a表示）．（4）请你利用上述实验中得到的材料，设计一个能验证你的假设的交配方案．（只写出交配方式）．难度：0.60真题：2组卷：3
如图为某人的一个体细胞及其染色体组成示意图，据图判断下列叙述不正确的是（　　）A．染色体存在于细胞核内B．体细胞中染色体是成对存在的C．此人的体细胞染色体组成为22条+XXD．图中的1～22为常染色体，a为性染色体难度：0.60真题：1组卷：1
回答有关微生物的问题．已知某细菌的两种突变类型细菌Ⅰ和细菌Ⅱ的营养条件和菌落特征都相同，但细菌Ⅰ能分解有机物A而不能分解有机物B，细菌Ⅱ能分解有机物B而不能分解有机物A．现有这两种类型细菌的混合液样品，要将其分离，有人设计了一种方案，部分操作步骤如图．（1）步骤一使用的是牛肉膏蛋白胨培养基，其中含有细菌生长所需的水、等营养物质（至少写出3种）；该培养基是（多选）．A．固体培养基　　　　B．液体培养基　　　　C．通用培养基　　　　D．选择培养基（2）步骤一采用接种，此接种法可使接种细菌逐渐稀释，经适宜条件培养，可能形成单个、独立的，最终可能得到纯种的细菌；步骤二各瓶中的培养基加入了A、B两种有机物的目的是．（3）无论是培养基（液），接种前除了要调节pH外，都必须对培养基进行；接种时必须在超净工作台及酒精灯火焰附近操作，原因是．（4）步骤三中，若对其中某瓶培养液中A、B两种有机物含量进行测定，预测可能的结果并推测结论：①A与B两种化合物含量都明显下降，说明瓶中同时存在细菌Ⅰ和细菌Ⅱ，两者未分离．②．③．（4）经步骤三后，若所有瓶中培养液的A、B化合物含量测定结果都如39题中①的情况，则应，再测定各瓶中A、B两种化合物的含量，直到分别获得每种类型细菌为止．难度：0.60真题：1组卷：5
文言文阅读：阅读下面的文言文，完成各题。　　　 高稼，字南叔，邛州蒲江人。真德秀一见以国士期之。稼持论不阿，忧世甚切，及郑损为制置使，即求去。未几，改知绵谷县。制置司以总领所擅十一州会子①之利，请尽废之。令下，民疑，为之罢市。稼亟出私钱以给中下户。稼弟定子时为总领所主管文字，相与征其误而力救之，得存其半，公私仅济。岁大饥，有司置弗闻，嫁捐橐中装，市粟以食之，全治甚众。损之入蜀也，稼同产弟了翁诵言于朝，谓必败事。损，之，遂劾稼罢。　　　 制置使赵彦呐以参议官辟之。制置　司近汉中，稼言汉中荡无藩篱，宜经理仙人原以为缓急视师之地。彦呐以委稼，稼至原，缮营全，峙当粮，比器甲，开泉源，守御之规，罔不备具。以直秘阁知沔州、利州提点刑狱兼参议官。始至，曰：“郡当兵难之后，生聚抚摩，所当尽力，去之日，誓。垂橐以入剑门。”乃葺理创残，招集流散，民皆襁负来归。　　　 北兵自凤州入，吏民率逃，议欲退保大安。稼白彦呐曰今日之事，有进无退；若仓皇召兵，退守内地，敌长驱而前，蜀事去矣。”彦呐曰“吾志也。”已而竟行，留稼守沔。沔无城，依山为阻，稼升高鼓噪，盛旗鼓为疑兵。。何璘军无纪律，稼捕其纵火者三人，诛之。　未几，北兵大至，璘遁。其众皆溃，遂下沔州。　　　 先是，曹友知沔不可守，劝稼移保山寨。稼曰：“吾郡将也，城不可弃。即事不济，有死而　已。”且曰：“吾得死所，何憾!”及事迫，常平司属官冯元章率吏士力请稼少避，稼不为动。城既陷，众拥稼出户，稼叱之不能止，兵骑四集围之，遂死焉。稼为人慷慨有大志，闻人有善，称之不 容口；不善，面折无所避。推榖人士，常恐不及，视财如粪土。死之日，闻者莫不于邑流涕。[注]①会子：南宋时的一种纸币。（1）对下列句子中加点的词的解释，不正确的一项是A．损衔之，遂劾稼罢衔：特指怀恨B．比器甲比：排列C．即事不济济：救济D．常平司属官冯元章率吏士力请稼少避少：稍微（2）以下各组句子中，全都表明高稼“忧世甚切”的一组是①出私钱以给中下户②市粟以食之③诵言于朝，谓必败事④乃葺理创残，招集流　散⑤推毂人士，常恐不及⑥视财如粪土A．①⑤⑥B．①②④C．②③④D．③⑤⑥（3）下列对原文有关内容的概括和分析，不正确的一项是A．高稼为官，不忘百姓。在他的极力挽救下，纠正了制置司废除会子的错误，得以留存其　中的一半，使公私双方勉强能够接济。B．高稼具有远见卓识。赵彦呐征召他为参议官时，他认识到汉中空虚没有屏障，建议应该　治理仙人原来作为紧急时刻视察军队的地方。C．髙稼为官一任，造福一方。刚到沔州时，就立下誓言，当尽力去做。由于治理有方，百姓　都背着婴儿前来归附他。D．高稼对国家忠诚。守卫沔州时，有存活下来的机会，但他不放弃城池，与敌人顽强战斗，直到生命的最后一刻。（4）把文中画横线的句子翻译成现代汉语。①沔无城，依山为阻，稼升高鼓嗓，盛旗鼓为疑兵。②稼为人慷慨有大志，闻人有善，称之不容口；不善，面折无所避。难度：0.40真题：1组卷：0
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三角形全等证明经典中的经典
三角形全等一．解答题（共 30 小题） 1． （2012?义乌市）如图，在△ ABC 中，点 D 是 BC 的中点，作射线 AD，在线段 AD 及其延长线上分别取点 E、F， 连接 CE、BF．添加一个条件，使得△ BDF≌ △ CDE，并加以证明．你添加的条件是 _________ ． （不添加辅助线） ．2． （2012?邵阳）如图所示，AC、BD 相交于点 O，且 OA=OC，OB=OD．求证：AD∥ BC．3． （2012?钦州）如图，点 E，F 在 BC 上，BE=CF，∠ A=∠ D，∠ B=∠ C，求证：AB=DC．4． （2012?广州）如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，AB=AC，∠ B=∠ C．求证：BE=CD．5． （2012?常州）如图，在△ ABC 中，AB=AC，AD 平分∠ BAC．求证：∠ DBC=∠ DCB．6． （2011?江津区）在△ ABC 中，AB=CB，∠ ABC=90°，F 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 上，且 AE=CF． （1）求证：Rt△ ABE≌ Rt△ CBF；菁优网www.jyeoo.com （2）若∠ CAE=30°，求∠ ACF 的度数．7． （2011?北海）如图，已知 CA=CD，∠ 1=∠ 2． （1）请你添加一个条件使△ ABC≌ △ DEC，你添加的条件是 _________ ； （2）添加条件后请证明△ ABC≌ △ DEC．8． （2001?黄冈）如图，在△ MNP 中，∠ MNP=45°，H 是高 MQ 和高 NR 的交点，求证：HN=PM．9． （2013?张湾区模拟）如图，△ ACB 和△ ECD 都是等腰直角三角形，∠ ACB=∠ ECD=90°，D 为 AB 边上一点． 求证：AE=BD．10． （2012?重庆模拟）已知：如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90°点 D 是 AB 的中点，延长 BC 到点 F，延长 CB 到点 E， 使 CF=BE，连接 DE、DC、DF． 求证：DE=DF．11． （2012?石景山区二模） 已知， 如图， 点 D 在边 BC 上， 点 E 在△ ABC 外部， DE 交 AC 于 F， 若 AD=AB， ∠ 1=∠ 2=∠ 3．? 菁优网菁优网www.jyeoo.com 求证：BC=DE．12． （2012?平谷区一模）已知：如图，△ ABC，D 为 BC 的中点，BE⊥ AD 的延长线于 E，CF⊥ AD 于 F． 求证：BE=CF．13． （2012?门头沟区一模）已知：如图，AB∥ ED，AE 交 BD 于点 C，且 BC=DC．求证：AB=ED．14． （2012?长春模拟）已知：如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90°，CD⊥ AB 于点 D，点 E 在 AC 上，CE=BC，过 E 点作 AC 的垂线，交 CD 的延长线于点 F，AB=6，求 FC 的长．15． （2011?延庆县二模）如图，△ ABC 中，∠ ABC=∠ BAC=45°，点 P 在 AB 上，AD⊥ CP 于点 D，BE⊥ CP 延长线于点 E， 求证：CD=BE．16． （2011?延庆县一模）如图，AB=AE，AD=AC，∠ BAD=∠ EAC，BC，DE 交于点 O．求证：∠ ABC=∠ AED．? 菁优网菁优网www.jyeoo.com17．在四边形 ABCD 中，AD∥ BC，点 E 在直线 AB 上，且 DE=CE． （1）如图（1） ，若∠ DEC=∠ A=90°，BC=3，AD=2，求 AB 的长； （2）如图（2） ，若 DE 交 BC 于点 F，∠ DFC=∠ AEC，猜想 AB、AD、BC 之间具有怎样的数量关系？并加以证明．18．已知：如图，点 B、E、C、F 在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF． 求证：∠ ABC=∠ DEF．19．如图，AB⊥ BC，DC⊥ BC，垂足分别是点 B、C，点 E 是线段 BC 上一点，且 AE⊥ DE，AE=ED，如果 BE=3， AB+BC=11，求 AB 的长．20．如图，在 Rt△ ABC 中，∠ CAB=90°，AB=AC，直线 DE 过点 A，CD⊥ DE，BE⊥ DE，CD=4，BE=3，求 DE 的长．21．等腰直角三角形 ABC 和等腰直角三角形 ADF 放在一起，使 B、C、D 三点在同一直线上， 求证：FC⊥ BD．? 菁优网菁优网www.jyeoo.com22．如图，在△ ABC 的外部，分别以 AB、AC 为直角边，点 A 为直角顶点，作等腰直角△ ABD 和等腰直角△ ACE， CD 与 BE 交于点 P． 试证： （1）CD=BE； （2）∠ BPC=90°．23．已知，如图 1，AB⊥ BD 于 B，ED⊥ BD 于 D，点 C 在直线 BD 上且与 F 重合，AB=FD，BC=DE （1）请说明△ ABC≌ △ FDE，并判断 AC 是否垂直 FE？ （2）若将△ ABC 沿 BD 方向平移至如图 2 的位置时，且其余条件不变，则 AC 是否垂直 FE？请说明为什么？24．在△ ABC 和△ EDC 中，∠ ACB=∠ ECD=90°，BC=k?AC，CD=k?CE． （1）如图 1，当 k=1 时，AE 与 BD 的数量关系是： _________ ，位置关系是： _________ ；? 菁优网菁优网www.jyeoo.com （2）如图 2，当 k≠1 时，请探索 AE 与 BD 的关系，并证明； （3）如图 3，在（2）的条件下，分别在 BD、AE 上取点 M、N，使得 BD=m?MD，AE=m?NE，试探索 CN 与 CM 的关系，并证明．25．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图两 幅图都是由同一副三角板拼凑得到的： （1）请你计算出图 1 中的∠ ABC 的度数． （2）图 2 中 AE∥ BC，请你计算出∠ AFD 的度数．26． （1）如图 1，∠ A=70°，BP、CP 分别平分∠ ABC 和∠ ACB，则∠ P 的度数是 _________ ．（2）如图 2，∠ A=70°，BP、CP 分别平分∠ EBC 和∠ FCD，则∠ P 的度数是 _________ ． （3）如图 3，∠ A=70°，BP、CP 分别平分∠ ABC 和∠ ACD，求∠ P 的度数．27．如图，B，C，E 是同一直线上的三个点，四边形 ABCD 与四边形 CEFG 都是正方形，连接 BG，DE． （1）观察图形，猜想 BG 与 DE 之间的大小关系，并证明你的结论；? 菁优网菁优网www.jyeoo.com （2）若延长 BG 交 DE 于点 H，BH 与 DE 之间的位置关系，并说明你的理由．28．如图，点 C 在线段 AB 上，AD∥ EB，AC=BE，AD=BC，CF 平分∠ DCE．试探索 CF 与 DE 的位置关系，并说 明理由．29．如图，已知 AC 平分∠ BAD，CE⊥ AB 于 E，CF⊥ AD 于 F，且 BC=CD （1）试说明 CE=CF． （2）△ BCE 与△ DCF 全等吗？试说明理由． （3）若 AB=21，AD=9，BC=CD=10，求 CE 的长．30．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形 ABCD 以 D 为顶点作∠ MDN，交边 AC、BC 于 M、N．? 菁优网菁优网www.jyeoo.com （1）若∠ ACD=30°，∠ MDN=60°，当∠ MDN 绕点 D 旋转时，AM、MN、BN 三条线段之间有何种数量关系？证明你 的结论； （2）当∠ ACD+∠ MDN=90°时，AM、MN、BN 三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； （3）如图③ ，在（2）的结论下，若将 M、N 分改在 CA、BC 的延长上，完成图 3，其余条件不变，则 AM、MN、 BN 之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）? 菁优网菁优网www.jyeoo.com2014 年 4 月 1805827 的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共 30 小题） 1． （2012?义乌市）如图，在△ ABC 中，点 D 是 BC 的中点，作射线 AD，在线段 AD 及其延长线上分别取点 E、F， 连接 CE、 BF． 添加一个条件， 使得△ BDF≌ △ CDE， 并加以证明． 你添加的条件是 DE=DF （或 CE∥ BF 或∠ ECD=∠ DBF 或∠ DEC=∠ DFB 等） ． （不添加辅助线） ．考点： 专题： 分析：解答：全等三角形的 判定． 开放型． 由已知可证 ∠ ECD∠ FBD， 又∠ EDC ∠ FDB，因为三 角形全等条件 中必须是三个 元素，并且一定 有一组对应边 相等．故添加的 条件是： DE=DF （或 CE∥ BF 或 ∠ ECD=∠ DBF 或 ∠ DEC=∠ DFB 等） ； 解： （1）添加的 条件是： DE=DF （或 CE∥ BF 或 ∠ ECD=∠ DBF 或 ∠ DEC=∠ DFB 等） ．菁优网版权所有（2）证明：在 △ BDF 和△ CDE 中 ∵? 菁优网菁优网www.jyeoo.com ∴ △ BDF≌ △ CDE 点评： （SAS） ． 三角形全等的 判定是中考的 热点，一般以考 查三角形全等 的方法为主，判 定两个三角形 全等，先根据已 知条件或求证 的结论确定三 角形，然后再根 据三角形全等 的判定方法，看 缺什么条件，再 去证什么条件．2． （2012?邵阳）如图所示，AC、BD 相交于点 O，且 OA=OC，OB=OD．求证：AD∥ BC．考点：专题： 分析：解答：全等三角形的 判定与性质；平 行线的判定． 证明题；压轴 题． 根据 SAS 证 △ AOD≌ △ COB， 推出∠ A=∠ C，根 据平行线的判 定推出即可． 证明：在△ AOD 和△ COB 中， ∵菁优网版权所有点评：∴ △ AOD≌ △ COB （SAS） ∴ ∠ A=∠ C， ∴ AD∥ BC． 本题考查了平 行线的判定和 全等三角形的? 菁优网菁优网www.jyeoo.com 性质和判定，注 意：全等三角形 的判定定理有 SAS，ASA， AAS，SSS． 3． （2012?钦州）如图，点 E，F 在 BC 上，BE=CF，∠ A=∠ D，∠ B=∠ C，求证：AB=DC．考点： 专题： 分析：解答：全等三角形的 判定与性质． 证明题． 利用全等三角 形的判定定理 AAS 证得 △ ABF≌ △ DCE； 然后由全等三 角形的对应边 相等证得 AB=CD． 证明：∵ 点 E，F 在 BC 上， BE=CF， ∴ BE+EF=CF+E F，即 BF=CE； 在△ ABF 和 △ DCE 中，菁优网版权所有， ∴ △ ABF≌ △ DCE （AAS） ， ∴ AB=CD（全等 三角形的对应 边相等） ． 本题考查了全 等三角形的判 定与性质．三角 形全等的判定 是中考的热点， 一般以考查三 角形全等的方 法为主，判定两? 菁优网点评：菁优网www.jyeoo.com 个三角形全等， 先根据已知条 件或求证的结 论确定三角形， 然后再根据三 角形全等的判 定方法，看缺什 么条件，再去证 什么条件． 4． （2012?广州）如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，AB=AC，∠ B=∠ C．求证：BE=CD．考点： 专题： 分析：解答：全等三角形的 判定与性质． 证明题． 已知图形 ∠ A=∠ A，根据 ASA 证 △ ABE≌ △ ACD， 根据全等三角 形的性质即可 求出答案． 证明：∵ 在△ ABE 和△ ACD 中菁优网版权所有， ∴ △ ABE≌ △ ACD （ASA） ， ∴ BE=CD． 本题考查了全 等三角形的性 质和判定的应 用，全等三角形 的判定方法有： SAS，ASA， AAS，SSS，用 ASA（还有 ∠ A=∠ A）即可证 出 △ ABE≌ △ ACD．? 菁优网点评：菁优网www.jyeoo.com 5． （2012?常州）如图，在△ ABC 中，AB=AC，AD 平分∠ BAC．求证：∠ DBC=∠ DCB．考点： 专题： 分析：解答：全等三角形的 判定与性质． 证明题；压轴 题． 利用 SAS 证得 △ ACD≌ △ ABD， 从而证得 BD=CD， 利用等 边对等角证得 结论即可． 解：∵ AD 平分 ∠ BAC， ∴ ∠ BAD=∠ CAD． ∴ 在△ ACD 和 △ ABD 中菁优网版权所有点评：， ∴ △ ACD≌ △ ABD， ∴ BD=CD， ∴ ∠ DBC=∠ DCB． 本题考查了全 等三角形的判 定与性质，特别 是在应用 SAS 进行判定三角 形全等时，主要 A 为两边的夹 角．6． （2011?江津区）在△ ABC 中，AB=CB，∠ ABC=90°，F 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 上，且 AE=CF． （1）求证：Rt△ ABE≌ Rt△ CBF； （2）若∠ CAE=30°，求∠ ACF 的度数．? 菁优网菁优网www.jyeoo.com考点： 专题：分析：全等三角形的 判定与性质． 几何图形问题； 证明题；数形结 合． （1）由 AB=CB， ∠ ABC=90°， AE=CF， 即可利 用 HL 证得 Rt△ ABE≌ Rt△ CB F； （2）由 AB=CB， ∠ ABC=90°，即 可求得∠ CAB 与 ∠ ACB 的度数， 即可得∠ BAE 的 度数，又由 Rt△ ABE≌ Rt△ CB菁优网版权所有解答：F，即可求得 ∠ BCF 的度数， 则由 ∠ ACF=∠ BCF+∠ ACB 即可求得 答案． （1）证明： ∵ ∠ ABC=90°， ∴ ∠ CBF=∠ ABE= 90°， 在 Rt△ ABE 和 Rt△ CBF 中， ， ∴ Rt△ ABE≌ Rt△ C BF（HL） ； （2）解： ∵ AB=BC， ∠ ABC=90°，? 菁优网菁优网www.jyeoo.com ∴ ∠ CAB=∠ ACB= 45°， 又 ∵ ∠ BAE=∠ CAB ∠ CAE=45° 30°=15°， 由（1）知： Rt△ ABE≌ Rt△ CB F， ∴ ∠ BCF=∠ BAE= 15°， ∴ ∠ ACF=∠ BCF+ ∠ ACB=45°+15° 点评： =60°． 此题考查了直 角三角形全等 的判定与性 质．此题难度不 大，解题的关键 是注意数形结 合思想的应用．7． （2011?北海）如图，已知 CA=CD，∠ 1=∠ 2． （1）请你添加一个条件使△ ABC≌ △ DEC，你添加的条件是 CB=CE ； （2）添加条件后请证明△ ABC≌ △ DEC．考点：专题： 分析：解答：全等三角形的 判定；等式的性 质． 证明题． （1）根据 SAS 即可得到答案； （2）根据等式 的性质求出 ∠ ACB=∠ ECD， 根据全等三角 形的判定 SAS 证明即可． （1）解：添加 的条件是： CB=CE．菁优网版权所有? 菁优网菁优网www.jyeoo.com （2）证明： ∵ ∠ 1=∠ 2， ∴ ∠ 1+∠ ACE=∠ 2+ ∠ ACE， ∴ ∠ ACB=∠ ECD， 在△ ABC 和 △ DEC 中点评：， ∴ △ ABC≌ △ DEC． 本题主要考查 对全等三角形 的判定，等式的 性质等知识点 的理解和掌握， 能熟练地根据 全等三角形的 判定定理进行 证明是解此题 的关键．8． （2001?黄冈）如图，在△ MNP 中，∠ MNP=45°，H 是高 MQ 和高 NR 的交点，求证：HN=PM．考点： 专题： 分析：解答：全等三角形的 判定与性质． 证明题． 根据三角形的 内角和定理求 出∠ 1=∠ 2，求出 ∠ QMN=∠ MNQ， 推出 QM=QN， 证 Rt△ HQN 和 Rt△ PQM，即可 推出答案． 如图 1∵ MQ⊥ PN， ∠ MNP=45°，菁优网版权所有? 菁优网菁优网www.jyeoo.com∴ ∠ QMN=45°=∠ QNM， ∴ QM=QN， ∵ NR⊥ PM， ∴ ∠ 1+∠ 4=90°， 又∵ ∠ 2+∠ 3=90°， ∠ 3=∠ 4， ∴ ∠ 1=∠ 2， 在△ HQN 和 △ PQM 中，点评：， ∴ △ HQN≌ △ PQM （ASA） ， ∴ HN=PM． 本题考查了全 等三角形的性 质和判定，三角 形的内角和定 理，等腰三角形 的判定等知识 点，关键是推出 △ HQN≌ △ PQM， 题目比较典型， 是一道比较好 的题目．9． （2013?张湾区模拟）如图，△ ACB 和△ ECD 都是等腰直角三角形，∠ ACB=∠ ECD=90°，D 为 AB 边上一点． 求证：AE=BD．考点： 专题： 分析：全等三角形的 判定与性质． 证明题；压轴 题． 要证 AE=BD，菁优网版权所有? 菁优网菁优网www.jyeoo.com 经过观察分析 我们可以将这 两条线段放在 三角形 ACE 和 三角形 BCD 中， 证其全等即 可．首先我们根 据△ ACB 和 △ ECD 都是等腰 直角三角形，得 出两对对应边 的相等，然后又 根据 ∠ ACB=∠ ECD， 都减去中间的 公共角 ACD 再 得一对对应角 的相等，根据 SAS 证三角形 ACE 和三角形 BCD 的全等， 最 后根据全等三 角形的对应边 相等即可得证． 证明：∵ △ ACB 和△ ECD 都是等 腰直角三角形， ∠ ACB=∠ ECD=9 0°， ∴ EC=CD， AC=CB， ∠ ACB ∠ ACD=∠ ECD ∠ ACD． ∴ ∠ ACE=∠ BCD． ∴ △ ACE≌ △ BCD． ∴ AE=BD． 解此题时要充 分利用等腰直 角三角形的性 质，熟练掌握三 角形全等的证 明以及对全等 三角形的性质 的理解掌握．解答：点评：10． （2012?重庆模拟）已知：如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90°点 D 是 AB 的中点，延长 BC 到点 F，延长 CB 到点 E， 使 CF=BE，连接 DE、DC、DF．? 菁优网菁优网www.jyeoo.com 求证：DE=DF．考点： 专题： 分析：解答：全等三角形的 判定与性质． 证明题；压轴 题． 欲证 DE=DF， 可利用三角形 全等来证，经过 观察我们不难 发现要证的两 条线段分别放 在三角形 DCE 和三角形 DBF 中，首先我们根 据直角三角形 斜边上的中线 等于斜边的一 半得出一对边 CD 与 BD 的相 等，再根据等边 对等角得一对 对应角的相等， 最后根据题中 已知的 CF=BE， 都加上中间的 公共部分 BC 可 得 CE 和 BF 这 对对应边的相 等，利用 SAS 证得到三角形 的全等，根据全 等三角形的对 应边相等即可 得证． 证明： ∵ 在△ ABC 中，∠ ACB=90°， 点 D 是 AB 的中 点， ∴ CD=BD，菁优网版权所有? 菁优网菁优网www.jyeoo.com ∴ ∠ DCE=∠ DBF， ∵ CF=BE， ∴ CF+BC=BE+B C，即 CE=BF， 在△ DCE 和 △ DBF，点评：， ∴ △ DCE≌ △ DBF （SAS） ， ∴ DE=DF． 熟练掌握直角 三角形斜边上 的中线等于斜 边的一半，以及 等角对等边这 一性质的运 用．全等三角形 的判定与性质 是我们初中数 学的重点，是中 考必考的题型．11． （2012?石景山区二模） 已知， 如图， 点 D 在边 BC 上， 点 E 在△ ABC 外部， DE 交 AC 于 F， 若 AD=AB， ∠ 1=∠ 2=∠ 3． 求证：BC=DE．考点： 专题： 分析：全等三角形的 判定与性质． 证明题． 根据∠ 1=∠ 2，求 出 ∠ BAC=∠ DAE， 根据 ∠ DFC=∠ AFE， ∠ 3=∠ 1，求出 ∠ C=∠ E，根据 AAS 证 △ ABC≌ △ ADE 即 可．菁优网版权所有? 菁优网菁优网www.jyeoo.com 解答： 证明： ∵ ∠ 1=∠ 2=∠ 3， ∴ ∠ 2+∠ DAC=∠ 1+ ∠ DAC， ∴ ∠ BAC=∠ DAE， 又 ∵ ∠ DFC=∠ AFE， ∠ 3=∠ 1， ∴ 由三角形的内 角和定理得： ∠ C=∠ E， ∵ 在△ ABC 和 △ ADE 中， ∴ △ ABC≌ △ ADE （AAS） ， ∴ BC=DE． 本题考查了全 等三角形的性 质和判定的应 用，关键是推出 证明△ ABC 和 △ ADE 全等的三 个条件，题目比 较典型，难度适 中．点评：12． （2012?平谷区一模）已知：如图，△ ABC，D 为 BC 的中点，BE⊥ AD 的延长线于 E，CF⊥ AD 于 F． 求证：BE=CF．考点： 专题： 分析：全等三角形的 判定与性质． 证明题． 根据 AAS 证 △ BDE≌ △ CDF， 根据全等三角 形的判定推出 即可．菁优网版权所有? 菁优网菁优网www.jyeoo.com 解答： 证明： ∵ D 为 BC 的中点， ∴ BD=CD， ∵ BE⊥ AD， CF⊥ AD， ∴ ∠ E=∠ CFD=90° ， 在△ BDE 和 △ CDF 中， ∴ △ BDE≌ △ CDF （AAS） ， ∴ BE=CF． 本题考查了全 等三角形的性 质和判定的应 用，关键是推出 △ BDE≌ △ CDF， 全等三角形的 判定方法有： SAS，ASA， AAS，SSS．点评：13． （2012?门头沟区一模）已知：如图，AB∥ ED，AE 交 BD 于点 C，且 BC=DC．求证：AB=ED．考点： 专题： 分析：解答：全等三角形的 判定与性质． 证明题． 根据平行线性 质得出 ∠ ABD=∠ EDB， 根据 ASA 证 △ ABC≌ △ EDC， 根据全等三角 形的性质推出 即可． 证明： ∵ AB∥ ED， ∴ ∠ ABD=∠ EDB，菁优网版权所有? 菁优网菁优网www.jyeoo.com ∵ 在△ ABC 和 △ EDC 中，点评：， ∴ △ ABC≌ △ EDC， ∴ AB=ED． 本题考查了平 行线的性质和 全等三角形的 性质和判定的 应用，关键是推 出 △ ABC≌ △ EDC， 题目比较典型， 难度适中．14． （2012?长春模拟）已知：如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90°，CD⊥ AB 于点 D，点 E 在 AC 上，CE=BC，过 E 点作 AC 的垂线，交 CD 的延长线于点 F，AB=6，求 FC 的长．考点： 分析：解答：全等三角形的 判定与性质． 由已知说明 ∠ FCE=∠ B， ∠ FEC=∠ ACB， 再结合 EC=BC 证明 △ FEC≌ △ ACB， 利用全等三角 形的性质即可 证明 FC=AB=6． 解：∵ FE⊥ AC 于 点 E， ∠ ACB=90°， ∴ ∠ FEC=∠ ACB= 90°． ∴ ∠ F+∠ ECF=90° ． 又∵ CD⊥ AB 于 点 D，菁优网版权所有? 菁优网菁优网www.jyeoo.com ∴ ∠ A+∠ ECF=90° ． ∴ ∠ A=∠ F． 在△ ABC 和 △ FCE 中，∴ △ ABC≌ △ FCE （AAS） ， ∴ AB=FC． ∵ AB=6， ∴ FC=6 点评： 此题考查简单 的线段相等，可 以通过全等三 角形来证明，要 注意利用此题 中的图形条件， 同角的余角相 等．15． （2011?延庆县二模）如图，△ ABC 中，∠ ABC=∠ BAC=45°，点 P 在 AB 上，AD⊥ CP 于点 D，BE⊥ CP 延长线于点 E， 求证：CD=BE．考点： 专题： 分析：全等三角形的 判定与性质． 证明题． 要证 CD=BE， 经过观察不难 发现这两条线 段分别放在两 个三角形中，那 就需要证这两 个三角形全等， 由全等可得对 应边的相等，首 先由 AD⊥ CP， BE⊥ CP 得到一 对直角的相等， 再由菁优网版权所有? 菁优网菁优网www.jyeoo.com ∠ ABC=∠ BAC=4 5°，根据等角对 等边得出一对 边 AC 和 BC 的 相等，最后根据 同角的余角相 等又得一对角 的相等，根据 AAS 证得了三 角形的全等，根 据全等三角形 的对应边相等 即可得证． 证明： ∵ AD⊥ CP， BE⊥ CP ∴ ∠ BEC=∠ ADC= 90° ∵ ∠ ABC=∠ BAC= 45° ∴ AC=BC， ∠ ACB=90° ∴ ∠ BCD+∠ ACD= ∠ DAC+∠ ACD ∴ ∠ DAC=∠ BCD 在△ BCE 和 △ ACD 中， ∠ BEC=∠ ADC=9 0°， ∠ DAC=∠ BCD， AC=BC ∴ △ BEC≌ △ ACD ∴ BE=CD 此题要求学生 对全等三角形 的性质和判定 的灵活掌握，同 时要求学生掌 握同角的余角 相等这一性质， 值得学生注意 的是三角形全 等的证明是我 们初中数学的 重点．解答：点评：16． （2011?延庆县一模）如图，AB=AE，AD=AC，∠ BAD=∠ EAC，BC，DE 交于点 O．求证：∠ ABC=∠ AED．? 菁优网菁优网www.jyeoo.com考点： 专题： 分析：全等三角形的 判定与性质． 证明题． 根据已知条件 ∠ BAD=∠ EAC， 可知 ∠ BAC=∠ EAD， 所以有菁优网版权所有解答：，可证 △ ABC≌ △ AED （SAS） ； 然后根 据全等三角形 的对应角相等 求得 ∠ ABC=∠ AED． 证明： ∵ ∠ BAD=∠ EAC （已知） ， ∴ ∠ BAC=∠ EAD． 在△ ABC 和 △ AED 中，点评：， ∴ △ ABC≌ △ AED （SAS） ． ∴ ∠ ABC=∠ AED （全等三角形 的对应角相 等） ． 本题考查三角 形全等的性质 和判定方法．判 定两个三角形 全等的一般方 法有：ASA、 SSS、 SAS、 SSA、? 菁优网菁优网www.jyeoo.com HL． 判定两个三 角形全等，先根 据已知条件或 求证的结论确 定三角形，然后 再根据三角形 全等的判定方 法，看缺什么条 件，再去证什么 条件． 17．在四边形 ABCD 中，AD∥ BC，点 E 在直线 AB 上，且 DE=CE． （1）如图（1） ，若∠ DEC=∠ A=90°，BC=3，AD=2，求 AB 的长； （2）如图（2） ，若 DE 交 BC 于点 F，∠ DFC=∠ AEC，猜想 AB、AD、BC 之间具有怎样的数量关系？并加以证明．考点：专题： 分析：解答：全等三角形的 判定与性质；平 行线的性质；三 角形内角和定 理；三角形的外 角性质． 证明题；几何综 合题． （1）推出 ∠ ADE=∠ BEC， 根据 AAS 证 △ AED≌ △ CEB， 推出 AE=BC， BE=AD， 代入求 出即可； （2）推出 ∠ A=∠ EBC， ∠ AED=∠ BCE， 根据 AAS 证 △ AED≌ △ BCE， 推出 AD=BE， AE=BC， 即可得 出结论． （1）解： ∵ ∠ DEC=∠ A=90°菁优网版权所有? 菁优网菁优网www.jyeoo.com ， ∴ ∠ ADE+∠ AED= 90°， ∠ AED+∠ BEC=9 0°， ∴ ∠ ADE=∠ BEC， ∵ AD∥ BC， ∠ A=90°， ∴ ∠ B+∠ A=180°， ∴ ∠ B=∠ A=90°， 在△ AED 和 △ CEB 中， ∴ △ AED≌ △ CEB， ∴ AE=BC=3， BE=AD=2， ∴ AB=AE+BE=2 +3=5． （2） AB+AD=BC， 证明： ∵ AD∥ BC， ∴ ∠ A=∠ EBC， ∵ ∠ DFC=∠ AEC， ∠ DFC= ∠ BCE+∠ DEC， ∠ AEC=∠ AED+∠ DEC， ∴ ∠ AED=∠ BCE， 在△ AED 和 △ BCE 中点评：， ∴ △ AED≌ △ BCE， ∴ AD=BE， AE=BC， ∵ BC=AE=AB+ BE=AB+AD， 即 AB+AD=BC． 本题考查了三 角形的内角和 定理，全等三角? 菁优网菁优网www.jyeoo.com 形的性质和判 定，三角形的外 角性质，平行线 的性质等知识 点的运用，主要 培养学生综合 运用性质进行 推理的能力，题 型较好，难度适 中． 18．已知：如图，点 B、E、C、F 在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF． 求证：∠ ABC=∠ DEF．考点： 专题： 分析：解答：全等三角形的 判定与性质． 证明题． 根据等式的性 质求出 BC=EF， 根据全等三角 形的判定定理 SSS 证 △ ABC≌ △ DEF， 根据全等三角 形的性质推出 即可． 证明： ∵ BE=CF， ∴ BE+CE=CF+C E， ∴ BC=EF， 在△ ABC 和 △ DEF 中菁优网版权所有∵，点评：∴ △ ABC≌ △ DEF （SSS） ， ∴ ∠ ABC=∠ DEF． 本题考查了全 等三角形的性 质和判定，注 意：全等三角形 的判定定理有? 菁优网菁优网www.jyeoo.com SAS，ASA， AAS，SSS，全 等三角形的对 应角相等． 19．如图，AB⊥ BC，DC⊥ BC，垂足分别是点 B、C，点 E 是线段 BC 上一点，且 AE⊥ DE，AE=ED，如果 BE=3， AB+BC=11，求 AB 的长．考点： 分析：解答：全等三角形的 判定与性质． 求出∠ A=∠ DEC， ∠ B=∠ C=90°，根 据 AAS 证 △ ABE≌ △ ECD， 推出 AB=CE， 求出 AB+BC=2AB+ BE=11， 把 BE=3 代入求出 AB 即 可． 解：∵ AB⊥ BC， DC⊥ BC， 垂足分 别是点 B、C， ∴ ∠ B=∠ C=90°． ∴ ∠ A+∠ AEB=90°菁优网版权所有， ∵ AE⊥ DE， ∴ ∠ AED=90°， ∵ ∠ AEB+∠ AED+ ∠ DEC=180°， ∴ ∠ AEB+∠ DEC= 90°， ∴ ∠ A=∠ DEC， ∵ 在△ ABE 和 △ ECD 中， ， ∴ △ ABE≌ △ ECD （AAS） ， ∴ AB=CE， ∵ BC=BE+CE=B? 菁优网菁优网www.jyeoo.com E+AB， ∴ AB+BC=2AB+ BE=11， ∵ BE=3， ∴ AB=4．点评：本题考查了全 等三角形的性 质和判定，三角 形的内角和定 理，注意：全等 三角形的对应 边相等，全等三 角形的判定定 理有 SAS， ASA，AAS， SSS．20．如图，在 Rt△ ABC 中，∠ CAB=90°，AB=AC，直线 DE 过点 A，CD⊥ DE，BE⊥ DE，CD=4，BE=3，求 DE 的长．考点：专题： 分析：解答：全等三角形的 判定与性质；垂 线；三角形内角 和定理． 证明题． 根据垂线的定 义和三角形的 内角和定理求 出∠ 2=∠ 3，证出 △ ADC≌ △ BEA， 推出 AD=BE， CD=AE， 即可求 出答案． 解： ∵ ∠ CAB=90°， ∴ ∠ 1+∠ 2=90°， ∵ CD⊥ DE， BE⊥ DE， ∴ ∠ D=∠ E=90°，菁优网版权所有? 菁优网菁优网www.jyeoo.com ∴ ∠ 1+∠ 3=90°， ∴ ∠ 2=∠ 3， ∵ AB=AC， ∴ △ ADC≌ △ BEA， ∴ AD=BE， CD=AE， ∵ CD=4，BE=3， ∴ AD=3，AE=4， ∴ DE=7， 答：DE 的长是 7．点评：本题主要考查 对全等三角形 的性质和判定， 三角形的内角 和定理，垂线的 定义等知识点 的理解和掌握， 能推出 △ ADC≌ △ BEA 是 解此题的关键．21．等腰直角三角形 ABC 和等腰直角三角形 ADF 放在一起，使 B、C、D 三点在同一直线上， 求证：FC⊥ BD．考点： 专题： 分析：全等三角形的 判定与性质． 证明题． 要证 FC⊥ BD， 需证∠ FCB=90°， 需证 ∠ ACB+∠ FCA=9 0°可由等腰直角 三角形提供．求 证△ ABD≌ △ CAF菁优网版权所有? 菁优网菁优网解答：www.jyeoo.com 即可． 证明；∵ 三角形 ABC 和三角形 ADF 都是等腰 直角三角形， ∴ AB=AC， ∠ B=∠ ACB=45°， AF=AD， ∴ △ ABD≌ △ CAF， ∴ ∠ FCA=∠ B=45° ， ∵ B、C、D 三点 在同一直线上， ∴ ∠ FCB=∠ ACB+ ∠ FCA=45°+45°= 90°， ∴ FC⊥ BD． 本题考查了全 等三角形的判 定和性质；全等 问题要注意找 条件，有些条件 需在图形是仔 细观察，认真推 敲方可．做题 时，一定要仔细 认真．点评：22．如图，在△ ABC 的外部，分别以 AB、AC 为直角边，点 A 为直角顶点，作等腰直角△ ABD 和等腰直角△ ACE， CD 与 BE 交于点 P． 试证： （1）CD=BE； （2）∠ BPC=90°．考点： 专题： 分析：全等三角形的 判定与性质． 证明题． （1）要证 CD=BE， 就得证 CD 和 BE 所在 的两三角形 △ BAE 和△ DAC菁优网版权所有? 菁优网菁优网www.jyeoo.com 全等，两对应边 相等和角相等． （2）由（1）得 ∠ ABE=∠ ADC． 通过等量代换 和外角的性质 得出． 证明： （1）在等 腰直角△ ABD 和 等腰直角△ ACE 中 AD=AB， AC=AE， ∠ BAD=∠ EAC=9 0°， ∠ ADB=∠ ABD= 45°． ∴ ∠ BAE=∠ DAC． 在△ BAE 和 △ DAC 中 ∵解答：∴ △ BAE≌ △ DAC ∴ CD=BE． （2）由 △ BAE≌ △ DAC 得 到 ∠ ABE=∠ ADC． ∵ ∠ ADB+∠ ABD =90°， ∴ ∠ ADC+∠ ABD +∠ BDC=90°=∠ A BE+∠ ABD+∠ B DC， 即 ∠ DBP+∠ BDC=9 0°． ∴ ∠ BPC=90°． 此题考查的知 识点是全等三 角形的判定和 性质的应用．关 键是证△ BAE 和 △ DAC 全等，通 过等量代换和? 菁优网点评：菁优网www.jyeoo.com 外角的性质得 出∠ BPC=90°． 23．已知，如图 1，AB⊥ BD 于 B，ED⊥ BD 于 D，点 C 在直线 BD 上且与 F 重合，AB=FD，BC=DE （1）请说明△ ABC≌ △ FDE，并判断 AC 是否垂直 FE？ （2）若将△ ABC 沿 BD 方向平移至如图 2 的位置时，且其余条件不变，则 AC 是否垂直 FE？请说明为什么？考点：专题： 分析：解答：全等三角形的 判定与性质；对 顶角、邻补角； 垂线；三角形内 角和定理． 证明题． （1）根据全等 三角形的判定 SAS 证 △ ABC≌ △ FDE， 推出∠ A=∠ EFD， 求出 ∠ A+∠ ACB=90°， 推出∠ ACE=90° 即可； （2）根据 ∠ F=∠ A， ∠ AMN=∠ FNB， 求出 ∠ A+∠ AMN=90° ，根据三角形的 内角和定理和 垂直定义即可 推出答案． 解： （1） AC⊥ EF． 理由是： ∵ AB⊥ BD 于 B， ED⊥ BD， ∴ ∠ B=∠ D=90°， 在△ ABC 和 △ FDE 中菁优网版权所有? 菁优网菁优网www.jyeoo.com∴ △ ABC≌ △ FDE， ∴ ∠ A=∠ EFD， ∵ ∠ B=90°， ∴ ∠ A+∠ ACB=90° ， ∴ ∠ ACB+∠ ECD= 90°， ∴ ∠ ACE=180° 90°=90°， ∴ AC⊥ CE， 即 AC⊥ FE． （2）AC 垂直 FE， 理由是∵ ∠ A=∠ F （已证） ， ∠ ABC=∠ ABF=9 0°， ∠ AMN=∠ FMB， ∴ ∠ F+∠ FMB=90° ， ∴ ∠ A+∠ AMN=90 °， ∴ ∠ ANM=180° 90°=90°， ∴ AC⊥ FE． 本题主要考查 对全等三角形 的性质和判定， 垂线，对顶角和 邻补角，三角形 的内角和定理 等知识点的理 解和掌握，推出 ∠ A=∠ F 是解此 题的关键．点评：24．在△ ABC 和△ EDC 中，∠ ACB=∠ ECD=90°，BC=k?AC，CD=k?CE． （1）如图 1，当 k=1 时，AE 与 BD 的数量关系是： 相等 ，位置关系是： 垂直 ； （2）如图 2，当 k≠1 时，请探索 AE 与 BD 的关系，并证明； （3）如图 3，在（2）的条件下，分别在 BD、AE 上取点 M、N，使得 BD=m?MD，AE=m?NE，试探索 CN 与 CM 的关系，并证明．? 菁优网菁优网www.jyeoo.com考点：专题： 分析：相似三角形的 判定与性质；全 等三角形的判 定与性质． 证明题． （1） 取 k=1 时， BC=AC， CD=CE．由 ∠ BCD+∠ BCE=∠ ACE+∠ BCE=90菁优网版权所有°，得知 ∠ BCD=∠ ACE， 从而证明 △ ACE≌ △ BCD （SAS） ； 然后根 据全等三角形 的对应变相等， 对应角相等求 得 AE=BD， ∠ CAE=∠ CBD； 最后延长 AE 交 BD 于点 G 构建 三角形 ABG， 根据三角形的 内角和求得 ∠ AGB=90°，即 AE⊥ BD； （2）当 k≠1 时， BC=k?AC， CD=k?CE． 求得 = =k，由∠ BCD+∠ BCE=∠ ACE+∠ BCE=90 °，得知 ∠ BCD=∠ ACE， 从而证明? 菁优网菁优网www.jyeoo.com △ ACE∽ △ BCD （SAS） ； 然后根 据相似三角形 的对应变相等， 对应角相等求 得 AE=BD， ∠ CAE=∠ CBD； 最后延长 AE 交 BD 于点 G 构建 三角形 ABG， 根据三角形的 内角和求得 ∠ AGB=90°，即 AE⊥ BD； （3）在（2）的 基础上，求得 △ ACE∽ △ BCD， 又 BD=m?MD， AE=m?NE，所 以 = ，解答：∠ CDB=∠ CEA， 从而证明 △ CNE∽ △ CMD （SAS） ， 然后根 据相似三角形 的对应角相等 求得 ∠ BCM=∠ ACN， 所以 ∠ NCM=∠ BCN+ ∠ ACE=∠ ACB=9 0°，即 ∠ NCM=90°． 解： （1）当 k=1 时，BC=AC， CD=CE． 在△ ACE 与 △ BCD 中， ∠ BCD+∠ BCE=∠ ACE+∠ BCE=90 °， ∴ ∠ BCD=∠ ACE， BC=AC， CD=CE， ∴ △ ACE≌ △ BCD （SAS） ； ∴ AE=BD（对应? 菁优网菁优网www.jyeoo.com 边相等） ， ∠ CAE=∠ CBD （对应角相 等） ； 延长 AE 交 BD 于点 G． ∵ ∠ ACB=90°， ∴ ∠ ABC+∠ BAC= 90°； 在△ ABG 中， ∠ ABG+∠ BAG= ∠ ABC+∠ BAG+∠ CBD=∠ ABC+∠ BAC=90°， ∴ ∠ AGB=90°， ∴ AG⊥ BD，即 AE⊥ BD； （2）当 k≠1 时， BC=k?AC， CD=k?CE． 在△ ACE 与 △ BCD 中， ∠ BCD+∠ BCE=∠ ACE+∠ BCE=90 °， ∴ ∠ BCD=∠ ACE， = =k，∴ △ ACE∽ △ BCD （SAS） ； ∴ ∠ CAE=∠ CBD （对应角相 等） ； 延长 AE 交 BD 于点 G． ∵ ∠ ACB=90°， ∴ ∠ ABC+∠ BAC= 90°； 在△ ABG 中， ∠ ABG+∠ BAG= ∠ ABC+∠ BAG+∠ CBD=∠ ABC+∠ BAC=90°， ∴ ∠ AGB=90°， ∴ AG⊥ BD，即 AE⊥ BD；? 菁优网菁优网www.jyeoo.com （3）CN⊥ CM． 证明： ∵ △ ACE∽ △ BCD （SAS） ， ∴ ∠ CDB=∠ CEA （相似三角形 的对应角相 等） ， ∴ = （相似三角形的对应 边成比例） ； 又∵ BD=m?MD， AE=m?NE， ∴ = ∴ = ， ；在△ CNE 和 △ CMD 中， = ，∠ CDB=∠ CEA， ∴ △ CNE∽ △ CMD （SAS） ， ∴ ∠ MCD=∠ NCE ； ∴ ∠ BCM=∠ ACN ， ∴ ∠ NCM=∠ BCN +∠ ACE=∠ ACB= 90°，即 ∠ NCM=90°， ∴ CN⊥ CM．点评：本题考查了全 等三角形的判 定与性质、相似 三角形的判定? 菁优网菁优网www.jyeoo.com 与性质．解答此 题时，关键是根 据全等三角形 或相似三角形 的对应角相等 求得 ∠ AGB=90°， ∠ NCM=90°．从 而证明 AE⊥ BD， CN⊥ CM． 25．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图两 幅图都是由同一副三角板拼凑得到的： （1）请你计算出图 1 中的∠ ABC 的度数． （2）图 2 中 AE∥ BC，请你计算出∠ AFD 的度数．考点：专题： 分析：解答：平行线的性质； 三角形内角和 定理． 综合题． （1）由∠ F=30°， ∠ EAC=45°，即 可求得∠ ABF 的 度数，又由 ∠ FBC=90°， 易得 ∠ ABC 的度数； （2）首先根据 三角形内角和 为 180°， 求得∠ C 的度数，又由 AE∥ BC， 即可求 得∠ CAE 的值， 根据三角形的 一个外角等于 与它不相邻的 两个内角的和， 即可求得∠ AFD 的度数． 解： （1） ∵ ∠ F=30°， ∠ EAC=45°，菁优网版权所有? 菁优网菁优网www.jyeoo.com ∴ ∠ ABF=∠ EAC ∠ F=45° 30°=15°， ∵ ∠ FBC=90°， ∴ ∠ ABC=∠ FBC ∠ ABF=90° 15°=75°； （2）∵ ∠ B=60°， ∠ BAC=90°， ∴ ∠ C=30°， ∵ AE∥ BC， ∴ ∠ CAE=∠ C=30° ， ∴ ∠ AFD=∠ CAE+ ∠ E=30°+45°=75° ． 此题考查了三 角形的内角和 定理，三角形的 外角的性质以 及平行线的性 质等知识．题目 难度不大，注意 数形结合思想 的应用．点评：26． （1）如图 1，∠ A=70°，BP、CP 分别平分∠ ABC 和∠ ACB，则∠ P 的度数是 125° ．（2）如图 2，∠ A=70°，BP、CP 分别平分∠ EBC 和∠ FCD，则∠ P 的度数是 55° ． （3）如图 3，∠ A=70°，BP、CP 分别平分∠ ABC 和∠ ACD，求∠ P 的度数． 考点： 三角形内角和 定理；角平分线 的定义；三角形 的外角性质． 计算题． （1）根据 BP、 CP 分别平分菁优网版权所有专题： 分析：? 菁优网菁优网www.jyeoo.com ∠ ABC 和∠ ACB， 得到 ∠ PBC= ∠ ABC， ∠ PCB= ∠ ACB， 求出 ∠ PBC+∠ PCB=5 5°，根据三角形 的内角和定理 求出∠ P 即可； （2）根据 ∠ EBC=∠ A+∠ AC B， ∠ FCB=∠ A+∠ AB C，求出 ∠ EBC+∠ FCB=2 50°，根据 BP、 CP 分别平分 ∠ EBC 和∠ FCD， 得到 ∠ PBC= ∠ EBC， ∠ PCB= ∠ FCB， 求出 ∠ PBC+∠ PCB=1 25°， 即可求出答 案； （3）根据 ∠ ACD=∠ A+∠ A BC， 和 CP 平分 ∠ ACD， BP 平分 ∠ ABC，得到 ∠ PBC= ∠ ABC， ∠ PCA= ∠ ACD = ∠ A+ ∠ ABC， 根据∠ P=180° （∠ PBC+∠ PCA +∠ ACB） ，得到 ∠ A 即可． 解答： 解： （1）∵ BP、 CP 分别平分 ∠ ABC 和∠ ACB，? 菁优网菁优网www.jyeoo.com ∴ ∠ PBC= ∠ ABC ， ∠ PCB= ∠ ACB， ∴ ∠ PBC+∠ PCB=（∠ ABC+∠ ACB ） ， = × （180°∠ A） =55°， ∴ ∠ P=180° （∠ PCB+∠ PBC ）=125°， 故答案为： 125°． （2） ∵ ∠ EBC=∠ A+∠ A CB， ∠ FCB=∠ A+∠ AB C， ∴ ∠ EBC+∠ FCB= ∠ A+∠ ACB+∠ A+ ∠ ABC， =180°+70°=250° ， ∵ BP、 CP 分别平 分∠ EBC 和 ∠ FCD， ∴ ∠ PBC= ∠ EBC ， ∠ PCB= ∠ FCB， ∴ ∠ PBC+∠ PCB=（∠ EBC+∠ FCB ） ， =125°， ∴ ∠ P=180° （∠ PBC+∠ PCB ）=55°， 故答案为：55°． （3）? 菁优网菁优网www.jyeoo.com ∠ ACD=∠ A+∠ A BC， ∵ CP 平分 ∠ ACD， BP 平分 ∠ ABC， ∴ ∠ PBC= ∠ ABC ， ∠ PCA= ∠ ACD = ∠ A+ ∠ ABC， ∵ ∠ P=180° （∠ PBC+∠ PCA +∠ ACB） ， = ∠ A=35°， 即∠ P 等于∠ A的 一半， 答： ∠ P 的度数是 35°． 本题主要考查 对三角形的内 角和定理，三角 形的外角，角平 分线的定义等 知识点的理解 和掌握，能熟练 地运用这些性 质进行计算是 解此题的关键．点评：27．如图，B，C，E 是同一直线上的三个点，四边形 ABCD 与四边形 CEFG 都是正方形，连接 BG，DE． （1）观察图形，猜想 BG 与 DE 之间的大小关系，并证明你的结论； （2）若延长 BG 交 DE 于点 H，BH 与 DE 之间的位置关系，并说明你的理由．考点： 分析：全等三角形的 判定与性质． （1）根据已知， 利用 SAS 判定菁优网版权所有? 菁优网菁优网www.jyeoo.com △ BCG≌ △ DCE， 全等三角形的 对应边相等，所 以 BG=DE． （2）根据全等 三角形的对应 角相等，得到 ∠ CBG=∠ CDE， 再根据角之间 的关系可得到 ∠ DHB=∠ BCG=9 0°，即 BH⊥ DE． 解： （1）猜想： BG=DE； （1 分） ∵ BC=DC， ∠ BCG=∠ DCE=9 0°， CG=CE， 在△ BCG 和 △ DCE 中，解答：∴ △ BCG≌ △ DCE （SAS） ， （3 分） ∴ BG=DE； （2） 在△ BCG 与 △ DHG 中， 由（1）得 ∠ CBG=∠ CDE， （4 分） ∠ CGB=∠ DGH， （5 分） ∴ ∠ DHB=∠ BCG= 90°， ∴ BH⊥ DE． （6 分） 此题主要考查 学生对正方形 的性质及全等 三角形的判定 的理解及掌握 情况．点评：28．如图，点 C 在线段 AB 上，AD∥ EB，AC=BE，AD=BC，CF 平分∠ DCE．试探索 CF 与 DE 的位置关系，并说 明理由．? 菁优网菁优网www.jyeoo.com考点： 专题： 分析：解答：全等三角形的 判定与性质． 探究型． 根据平行线性 质得出∠ A=∠ B， 根据 SAS 证 △ ACD≌ △ BEC， 推出 DC=CE， 根据等腰三角 形的三线合一 定理推出即可． 解： CF⊥ DE， CF 平分 DE，理由 是： ∵ AD∥ BE， ∴ ∠ A=∠ B， 在△ ACD 和 △ BEC 中菁优网版权所有， ∴ △ ACD≌ △ BEC （SAS） ， ∴ DC=CE， ∵ CF 平分 ∠ DCE， ∴ CF⊥ DE，CF 平 分 DE（三线合 一） ． 本题考查了全 等三角形的性 质和判定，平行 线的性质，等腰 三角形的性质 等知识点，关键 是求出 DC=CE， 主要考查了学 生运用定理进 行推理的能力．点评：? 菁优网菁优网www.jyeoo.com 29．如图，已知 AC 平分∠ BAD，CE⊥ AB 于 E，CF⊥ AD 于 F，且 BC=CD （1）试说明 CE=CF． （2）△ BCE 与△ DCF 全等吗？试说明理由． （3）若 AB=21，AD=9，BC=CD=10，求 CE 的长．考点： 分析：解答：全等三角形的 判定与性质． （1）根据角平 分线性质推出 即可； （2）根据 HL 证出两直角三 角形全等即可； （3）根据全等 三角形性质推 出 AF=AE， DF=BE，设 BE=x，则 AE=21x， DF=x， AF=9+x， 得出方程 21 x=9+x，求出 BE， 根据勾股定 理求出 CE 即 可． 解（1）∵ AC 平 分∠ BAD， CE⊥ AB， CF⊥ AD， ∴ CE=CF．菁优网版权所有（2） △ BCE≌ △ DCF． 理由是： ∵ CE⊥ AB， CF⊥ AD， ∴ △ BCE 与△ DCF 都是直角三角 形， 在 Rt△ BEC 和 Rt△ DFC 中? 菁优网菁优网www.jyeoo.com ∵ ，∴ Rt△ BEC≌ Rt△ D FC（HL） ； （3） ∵ Rt△ BEC≌ Rt△ D FC， ∴ BE=DF， ∵ CF⊥ AF， CE⊥ AB， ∴ ∠ F=∠ CEA=90° ， ∵ AC 平分 ∠ BAF， ∠ FAC=∠ EAC， 在△ FAC 和 △ EAC 中 ∵点评：， ∴ △ FAC≌ △ EAC （AAS） ， ∴ AE=AF， 设 BE=x，则 AE=21x， DF=x， AF=9+x， ∴ 21x=9+x， ∴ x=6， 即 BE=6， 在 Rt△ BCE 中， ∵ BC=10， BE=6， ∴ 由勾股定理 得：CE=8． 本题考查了全 等三角形的性 质和角平分线 定义，注意：全 等三角形的对 应角相等，对应 边相等，直角三 角形全等的判 定定理有 SAS， ASA，AAS， SSS，HL．30．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形 ABCD 以 D 为顶点作∠ MDN，交边 AC、BC 于 M、N．? 菁优网菁优网www.jyeoo.com （1）若∠ ACD=30°，∠ MDN=60°，当∠ MDN 绕点 D 旋转时，AM、MN、BN 三条线段之间有何种数量关系？证明你 的结论； （2）当∠ ACD+∠ MDN=90°时，AM、MN、BN 三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； （3）如图③ ，在（2）的结论下，若将 M、N 分改在 CA、BC 的延长上，完成图 3，其余条件不变，则 AM、MN、 BN 之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）考点： 专题： 分析：全等三角形的 判定与性质． 证明题；几何综 合题． （1）延长 CB 到 E，使 BE=AM，证 △ DAM≌ △ DBE， 推出 ∠ BDE=∠ MDA， DM=DE，证 △ MDN≌ △ EDN， 推出 MN=NE 即 可； （2）延长 CB 到 E，使 BE=AM，证 △ DAM≌ △ DBE， 推出 ∠ BDE=∠ MDA， DM=DE，证 △ MDN≌ △ EDN， 推出 MN=NE 即 可； （3） 在 CB 截取 BE=AM，连接 DE，证 △ DAM≌ △ DBE， 推出 ∠ BDE=∠ MDA，菁优网版权所有? 菁优网菁优网www.jyeoo.com DM=DE，证 △ MDN≌ △ EDN， 推出 MN=NE 即 可． 解答：（1） AM+BN=MN， 证明：延长 CB 到 E，使 BE=AM， ∵ ∠ A=∠ CBD=90° ， ∴ ∠ A=∠ EBD=90° ， 在△ DAM 和 △ DBE 中 ， ∴ △ DAM≌ △ DBE ， ∴ ∠ BDE=∠ MDA ，DM=DE， ∵ ∠ MDN=∠ ADC =60°， ∴ ∠ ADM=∠ NDC ， ∴ ∠ BDE=∠ NDC， ∴ ∠ MDN=∠ NDE ， 在△ MDN 和 △ EDN 中， ∴ △ MDN≌ △ EDN? 菁优网菁优网www.jyeoo.com ， ∴ MN=NE， ∵ NE=BE+BN= AM+BN， ∴ AM+BN=MN． （2） AM+BN=MN， 证明：延长 CB 到 E，使 BE=AM，连接 DE， ∵ ∠ A=∠ CBD=90° ， ∴ ∠ A=∠ DBE=90° ， ∵ ∠ CDA+∠ ACD =90°， ∠ MDN+∠ ACD= 90°， ∴ ∠ MDN=∠ CDA ， ∵ ∠ MDN=∠ BDC ， ∴ ∠ MDA=∠ CDN ， ∠ CDM=∠ NDB， 在△ DAM 和 △ DBE 中 ， ∴ △ DAM≌ △ DBE ， ∴ ∠ BDE=∠ MDA =∠ CDN， DM=DE， ∵ ∠ MDN+∠ ACD =90°， ∠ ACD+∠ ADC= 90°， ∴ ∠ NDM=∠ ADC =∠ CDB， ∴ ∠ ADM=∠ CDN =∠ BDE， ∵ ∠ CDM=∠ NDB ∴ ∠ MDN=∠ NDE ，? 菁优网菁优网www.jyeoo.com 在△ MDN 和 △ EDN 中， ∴ △ MDN≌ △ EDN ， ∴ MN=NE， ∵ NE=BE+BN= AM+BN， ∴ AM+BN=MN． （3）BN AM=MN， 证明：在 CB 截 取 BE=AM，连 接 DE， ∵ ∠ CDA+∠ ACD =90°， ∠ MDN+∠ ACD= 90°， ∴ ∠ MDN=∠ CDA ， ∵ ∠ ADN=∠ ADN ， ∴ ∠ MDA=∠ CDN ， ∵ ∠ B=∠ CAD=90° ， ∴ ∠ B=∠ DAM=90 °， 在△ DAM 和 △ DBE 中， ∴ △ DAM≌ △ DBE ， ∴ ∠ BDE=∠ ADM =∠ CDN， DM=DE， ∵ ∠ ADC=∠ BDC= ∠ MDN， ∴ ∠ MDN=∠ EDN ， 在△ MDN 和? 菁优网菁优网www.jyeoo.com △ EDN 中点评：， ∴ △ MDN≌ △ EDN ， ∴ MN=NE， ∵ NE=BN BE=BNAM， ∴ BN AM=MN． 本题考查了全 等三角形的性 质和判定的应 用，主要考查学 生运用性质进 行推理的能力， 运用了类比推 理的方法，题目 比较典型，但有 一定的难度．? 菁优网
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