【熵一推荐】如果复盘，巴菲特还会成功吗？——以数学眼光透视投资中的风险管理
作者：徐子杰
来源：腿的投资日札（ID：Tui-investing）
风险作为客观事实，无处不在，在投资中，更是这样。很多人在投资中一不小心就陷入了深度亏损，在亏损后心理的煎熬导致时刻想回本，最后往往结果是恶性循环。
那么，到底该怎样管理风险？最重要的是用科学的方法建立系统的投资体系。而最清晰简洁的方法就是数学。下面就让我们一起来看看如何运用数学建立自己的投资体系，更好的管控风险，实现盈利。
投资标的物千变万化，投资决策千人有千种方法。但是如亚马逊的CEO贝佐斯的“不变”思想。
“如果你想要一份成功可持续的事业，不要问自己在未来将发生什么或影响你的公司的改变。相反，你应该问自己，什么不会改变，然后将自己的时间和精力投入到这些事上。”
在投机或者说的好听点， 投资领域，数学可能就是那个“不变”的东西，个人觉得这种东西真的不多。
当然很多人一看到数学就头疼，就想立马略过去看下面的。但反过来想，这么聪明的你都这么想，那大部分人不都是对这些似懂非懂，半懂不懂，又或者是以为自己懂了使用的时候却很模糊。
废话不多说，先从初级的开始。
一、不破产原则
我先讲一个故事，来源于现实。
有一个6岁的小男孩，很会爬树捅鸟窝捉小鸟，摸窝里的鸟蛋。这事儿从5岁开始，他就熟得很，从未失手。不管多高的树，都敢上，每每得逞。妈妈也觉得儿子很了不起。
村里年长的人觉得这个事情太危险，小男孩自己觉得经验丰富、把握实足，妈妈也觉得以前没有发生失败的情形，没有必要过多地担心。
有一天，小男孩越爬越高，在非常接近鸟窝的时候，树枝断了。人直接树上摔了下来，双手骨折。
小男孩年龄小，没有安全措施地爬上高枝，是一件非常危险的事情。不管中间成功过多少次，也承受不起一次的失误，事情本身有重大的隐藏风险，甚至有摔死归零的风险。它在模式上特性即是如此。至于妈妈觉得问题不大，小男孩自信心十足，都是一种连续成功后对模式本身的风险属性盲目无知。
这个故事揭示了一个朴素的道理。
“你可以赚无数个100%，但你只能亏一个100%”。
只要你的系统是这种模式，那你的盈利期望永远是零。引用一位优秀的前辈大卫。埃因霍恩的话说“这就像你的汽车配备的安全气囊，平时看不出有什么问题，但就在你发生车祸的时候它没有及时弹出来保护你”(即使最近他亏得真的挺惨)
盈利期望为零不代表你不能赚钱，甚至很长一段时间你都是在赚钱。如果你说你能做到赚了之后，当机立断取出所有收益，再不进入。那也没必要看这篇文章了。
当你信心满满，重仓赚了一大笔钱，想马上给老板发辞职信，觉得财务自由触手可及时。可能你没有意识到在有杠杆，保证金的投资领域，比如期货，外汇保证金，股票配资，爆仓是一个多么轻而易举的事情！我当然不会告诉你当年我爆仓的那些彻夜心酸的故事。
那怎样才能不破产呢？好消息是这个领域已经有了很多前人的研究。具体的过程我不细写，先简单介绍几个参数。
胜率：简单说就是你的投资生涯，你盈利的单子占总共的比率。
回报率（payoff ratio）：总赢利除以总亏损。也就是1美元的亏损对应几美元的赢利——如果回报率是3:1的话，那么你每亏1美元，就会对应赚到3美元。
风险率：风险率就是你能亏的钱占总资金量的比率，也就是风险敞口的比率，后面会详细讨论。
投入资本的比率：比如100元你投入了 10元，就是 10%
下面直接给出图表，写出了破产的概率，具体建模后面我会附注书籍，有需要可以自己慢慢琢磨 。
上图， 仔细看是10%的资金使用率，就是本金10W只用1W投资。这对很多人已经是一个非常非常低的水平了。依然，即使你有超过50%的胜率 （这个胜率已经不低了），2：1的回报率。你依然可能有百分之0.2的可能性破产！ 不要觉得0.2%很小。所以可想很多满仓梭哈，会所嫩模的人，那亏完对他们来说就是必然的事情了。想想15年多少人满仓杠杆。
当然这里之前几个前提我没有说。
首先胜率是一个统计值，不是像你玩硬币一样每种情况都是固定的。既然统计出来的，那意味着过去并不代表未来、最近过去一段时间并不代表过去所有、现在胜率低或许代表你进步空间还有很大！
回报率同理，所以这需要我们不断地去监视自己的数据，来更优化的调整。
破产风险概率跟别的参数不一样，爆仓了就全没了！那这个参数只要大于0，我们的策略长期来看就没有意义， 期望为0。
我们一般入场计算的是盈亏比，或者风险报酬比（reward/risk ratio），是止盈和止损的比率。与回报率不是一个概念。
所以胜率、盈亏比、风险率，通过统计自己的过往数据，知道哪方面是短板，通过提升自己能力然后降低破产率到 0 就是投资入门的第一步！请相信数学的力量。这也印证了芒格说的“如果我知道我会在哪里死，我永远也不会去那个地方。”其实很多时候我们看到的一些聪明人的似是而非的话的背后，都是有数学依据的。
二、亏损回本难度
说完爆仓的容易，下面聊聊回本的难度，这也是一个简单但是太多人忽视的东西。
或许你听过巴菲特的名言，“RuleNo.1：Never Lose Money. Rule No.2：Never Forget Rule No.1. ”和索罗斯说 “先生存再赚钱”
初听很有道理，看我当年也是这么想的，看完就抛之脑后了，不要亏钱还用你说！难道我想亏钱？ 但是我给你放张图就非常清楚了。
“深度亏损以后回本太难了！”
从左往右看几个关键节点。
在亏20%时，再赚25%虽然不容易，但也不是难达到。 但是， 再往后， 越来越难直到 40%要赚66.67%, 亏了一半要翻倍才能回来！可能你觉得亏一半很难？ 简单计算下，亏两次30%，1*0.7*0.7 = 0.49，只要两次30%止损，一半就没了，所以很多基金的清盘线都在0.7，0.8左右就是这个道理。
如果你按照巴菲特的几何平均回报率24.7%来算，3年零2个月才能回本。而索罗斯的28.6%的回报率来算，2年零9个月也才能回本。前提是持续盈利。这也就说明了：
1. 如果你致力于投资领域，深度亏损亏的不仅是金钱，更重要的是时间，而亏损时间就是浪费生命！时间是投资尺度上最无情的标度。
2. 别忘了第一条。
这里我就先不多说认知偏差和亏损后的心理的煎熬的急迫想回本的恶性循环的问题。单从数学上来说赚钱和亏钱的难度完全不成比率。
很多人可能也知道这些，但是看巴菲特的话没感觉，又或是做不到还是梭哈，为什么呢？可能是一上头，可能是过于自信，又或者是贪，但还有很大可能是没有深刻认同数学的力量。 反正我是印在脑子里了。
我再给你讲个老巴不同常人的事，老巴的妻子苏珊是个“购物狂”，她曾花了1.5万美元更换自家的家具，其实这对于首富来说微乎其微的事情了，巴菲特却痛心疾首：“你知道这些钱算上20年复利能相当于多少钱吗？”。遇到知乎上匿名如果有人这么提问，有这样一个丈夫是种怎样的体验，回答肯定是，这种人也有女朋友。
但是这其实是一种在深入骨髓的完全不同的思维模式。当你我赔了钱，我们会计算我们损失了多少钱，但是巴菲特眼中的损失，是那些美元本可以变成的东西。对他来说，赔钱相当于严重背离了 “财富成长”这一基本的目的。或许不那么直观，我再放一张图：
你想的可能是当时即刻的亏损，他已经用复利思维想到十年之后了。所以当他内化了“保住资本”的思维以后，他也就只能做巴菲特式的投资了。这也说明了策略的思维和哲学层面的重要性。
有人说“盈亏同源”，减小亏损比率，就一定会少赚钱。学院派也说你所获得的所有报酬都来自与风险的补偿，所以我就要冒险，别挡着我发财路！可真的是这样的吗？
三、投资风险的本质
人类自诞生初始，就一直在去设法管理风险。
在原始社会，单身智人老王平常每天打猎采果子，在没有冰箱的情况下，每天的东西很少能储存。但是有一天他学会了开垦荒地，种植粮食，以用来弥补未来突然找不到食物的风险，是不是突然就进步很多了！
同样智人老王和智人小红结合，孕育后代，本质上来说也是管理了风险。一个耕作，一人打猎，这是分散了风险。多生了后代，这是为了自己老了，找不到食物，有人赡养，从而管理了衰老的风险。我这里想说的风险是个客观事实，并且无处不在。而且很早我们的祖先就通过各种方法来管理风险。管理风险不代表真正了解风险，在没有概率之前，绝大多数行为都是凭借着本能完成的。
但其实直到费马帕，斯卡，我们的概率才走上正轨。为什么这么重要的事情？我们的祖先，古希腊那么多思辨精神的先贤，印度人，阿拉伯人却没有发现呢？跑个题，我对这个比较感兴趣。
所以我简单总结了下发明概率的一些先导条件。
1. 大脑中的基本概率意识。脑中有了这个意识，才有欲望把他用语言表述出来。其实犹太人的 &塔木德& 中，已经有了非常简单的概率分析。古希腊单词eikoz意为“可能的”，与现在“概率”的意思，对某种程度可能性的预期，已经很接近了。
2. 方便的算术工具。在十字军东征之前，想象下欧洲人用的还是罗马算盘 (abacus) 在计算（他们的计数体系非常落后，远远落后于同期的中国），直到接触了阿拉伯人，了解了印度的计算系统。随后的500年，随着这套体系的发展，书面的写作替代了沙盘的推演，大大增加了欧洲人的抽象思维。
3. 对未来的概念。这个可能是不那么直观的概念，在文艺复兴和新教改革之前，整个欧洲还处在“上帝”的统治之下，上帝决定你的未来就意味着你自己不用那么去关心你的未来。而风险和概率的决定因素就是时间因素，风险和时间是同一个事物的一体两面，因为如果没有明天，就不会有风险了。所以只有破除了对宗教的迷思后，自身更对关注未来后，概率的土壤才开始形成。
4. 希腊精神的独特的对证明的关心，他们更关心“Why”而不是“How”。就如现在流行的第一性原理一样，他们拒绝接受表面的没有根据的东西，一切尽量靠推理证明，甚至反对实验。这是一种思辨精神的底层逻辑。
5. 直面风险。直面风险最好的就是赌博，17世纪，赌博在欧洲盛行，当然，当文艺复兴之后，地理大发现，这时候的出海远行把风险和收益挂等号，也开始了对于风险和概率的新的探究。甚至后面资本主义的发展，跟这个也有很大的渊源，毕竟做生意就要学会测量，管理，甚至驾驭风险。
这五点起码可以简单的解释了这个问题，中国古代拥有1，2和部分3，讽刺的是我泱泱天朝大国，太过发达，不需要去探险，更好的是保持稳定，所以4和5就很少了。即使我们也有杨辉三角这样的超越帕斯卡四百年的发明。
希腊人虽然拥有1，3，4 ，5但是他们缺乏关键的算术系统2。阿拉伯和印度人有1和2，虽然他们有跟古代中国一样，高度发达的数学系统，他们也因为环境和宗教因素，丧失了一些东西。
只有到了费马，帕斯卡，古希腊的的精神加上文艺复兴的对旧的迷思的破除，再遇到结合阿拉伯传来的先进的数学思想。也就是1，2，3，4，5都全了，可能才真正诞生的概率论的土壤。
可惜天才很多都命不长，帕斯卡39岁就在巴黎英年早逝。但是一旦概率论出现了，那历史的轨迹就不会倒退，随着惠更斯，伯努利，拉普拉斯，贝叶斯的完善，概率论开始发扬光大，运用到社会的方方面面。
那我简单问个问题， 你认为下列哪种风险，是投资最本质的风险？注意我的限定词，“投资”
1. 交易对手的风险；
2. 系统性风险；
3. 未来的不确定性；
4. 流动性风险；
5. 隔夜风险；
6. 波动性风险；
7. 下单后突然停电没法止损的风险；
8. 下单后老板跟小姨子公司跑路了，平台倒闭。
乍一看每一个都对，但也确实，每个都有它自己的道理。
但是再仔细想想，他们都是外在的，或者说我们没法完全掌控的。有时，你能用一些对冲降低一部分风险，或者转移部分风险，但是都不能完全消除，这就很令人沮丧了。
所以能控制的还有什么呢？
“衡量投资风险大小的本质是我们押注时赌注的大小。”
这是我自己的一个思考，不一定对。个人理解学院派的β风险，VAR (Value at risk) 都会有部分误导，让人低估风险。同样这个跟一般说的风险敞口 (risk exposure) 也有些许不同。
当然这是一个很笼统的说法，但是其实想明白了这个问题就很简单了，你唯一能控制的就是你押注的赌注，压的多亏的多，压的少亏得少，外界黑天鹅再飞舞，最多只能输完内裤，当然前提是你不负债。从投资角度来说就是，你的总资金中，一次你能亏的钱。我们用百分比来表示，有个著名的2%风险公式 --- 一次你能亏的钱/总资金= 2%。
刚开始入门的时候遵循这个公式，尽快度过新手期。起码手气再背，连亏十次，也就20%亏损，当然每次计算的是本金的2%。回忆一下，20%亏损需要多少回本来着？ 25% ，也能接受。当然未来随着能力的提升，2%风险一定会逐步提升。
你是不是觉得2%好少，根本没得赚。简单给个账，索罗斯在大众的脑海中中是一个非常愿意去承担风险的人，我甚至很多次看到财经媒体写索罗斯的经历时，大大的夸大了他的杠杆数目。但是他的量子基金在92年狙击英镑的时候。杠杆率竟然只有2：1 ！也就是自有一块钱，借入两块钱。而这已经是他有史以来的上限，平常最多1：1的杠杆，这还是因为他对整个欧元区和英国关系的逻辑链分析的比英国央行行长还清楚很多。当然考虑到他的体量，这已经是很大的数目了，但也和我们惯常的认知不一致。
当时70亿美元的量子基金，抛售了价值70亿的英镑，同时根据分析，英镑的贬值带来的后续效应，做多了60多亿美元的德国马克，做多了法国法郎，做空了一些较弱的欧洲货币。同时，做多德国和法国的债券并做空德国和法国的普通股，做多了5亿美元的英国股票。
面对如此精确的计算，完备的逻辑，详实的分析，和周密的计划。这么一系列的对冲操作下来，据他自己计算，最终完全达不到预期的话，总资金的亏损比率也只有5%。最终呢，这场战役一共进账20亿美金，也就是28.6%的收益率。我们毕竟没有那么大的资金量，不同资金量其实机会的比率也是不同的，但是风险控制的思维是个不变的元思维。
有可能你会问，这就是风险唯一的本质吗？这里我有个限定词是“风险大小”，这是一个绝对数值大小，当然内在的风险还包括我们的能力，经验，思维，水平以后慢慢讨论。
既然我们已经清楚了什么才是真正的风险，那回想一下，平常你自己交易的时候，交易的手数是不是固定的？例如每次都下同样的手数，或者买股票都是相同的股票数。其实在知道衡量投资风险大小就等于赌注的大小时候，我们何不通过风险量来反推回去交易量的大小。
这样就引出了下面的几个交易量公式。
2%风险公式
公式： 账户大小 x 2% = 风险
例子： 10w$ x 2% =2000$
所以当你有十万美元的时候，你能交易的2000$就是你的风险。
这里有一个容易遗漏的点，这里的，风险一共的2000$ = 交易成本 + 进场价和出场价的差价
如果你细心算算前面的交易成本，如果你符合交易商最喜欢的频繁买卖的类型，长期来看如果再算上复利你会少赚很多钱。
下面详细说。
无杠杆交易量公式
这里我用美股来举例，比如比特币的趋势没赶上，但是我看好比特币矿机都在台积电代工，看好美股，看好未来趋势，现在买入台积电TSM股票。我画了一个很简单的图。比如我们在40$处买进， 画的有些抽象。
公式： [风险 - 交易成本] /进出场的价格的差 = 交易量
例子： [2000$ - 10 $ ]/ 2.215$ = 898股
交易账户大小：10w$
2%的风险：2000$
进场价格：40$
止损价格：37.785$
进出场的差价：2.215$
交易成本：10$
最大交易量：898股
上面的交易成本包括 - 进出场的交易费用，券商佣金。不同的券商交易费用模式不同，这里取了大致估算的10$。因为前低为38$，现价为40$，所以在前低的下方37.785$设置止损。这里计算向下取整数，所以这里一共可以交易 898股，保证风险恒定，当然前提是流动性充足，能及时平仓。
美股跟A股还是很多不同的，有人可能觉抗抗就过去了，我是价值投资，标非常好，为什么要止损。1.因为时间。 2. 美股可能真的再也回不来了。这样的案例不要太多。
898股*40$ = 35920$， 这也能看出我们的总头寸接近总资产的36%，是一个适度仓位。
有杠杆的交易量公式
这里用外汇保证金交易来举例子， 一标准手欧元的lot size是 100k，tick size 是 0.0001，一手需要的保证金是1000$。
如果不懂这里先不用理解。比如我们觉得欧元对美元可能已经涨到近期的高点。准备做空欧元/美元，入场1.2437 EUR/USD。
公式： [风险 - 交易成本] / 进出场的价格的差 = 交易量
例子： [2000$ - 30$] / ( 163 * 10$ ) = 1.2
交易账户大小：10w$
保证金比例：0.1% (100倍杠杆)
2%的风险：2000$
EURUSD进场价格：1.2437 EUR/USD
EURUSD止损价格：1.2600 EUR/USD
进出场的差价： 163 pip (percentage in point)
交易成本： 30$
最大交易量：1.2手
这里的交易成本就是点差，EUR/USD一般三个点。这里一个标准手一点是10$。所以买入就亏了30$。当我们买入1.2手的时候，我们最大能承受亏损163点，每一点值为10美元，这样我们最多亏损2000美元也就是我们的风险。
这里的公式也揭示了一个道理：在同等风险的时候，交易成本越少，止损越小，盈利越大，长期复利能力越强。这样我们就可以一个个优化各个参数。所以很多人说开仓位置不重要，重要的买到对的，是很片面的。
当你开仓距离止损的点很远的时候，在同样的风险条件下，也限制了你的收益。当然，既要买到对的，又要在对的地方和对的时间买，一定是很难。
四、百分比的迷思
最后这我想聊一下，很简单但是很多人思维的误区。
最开始投资的时候我自己也是这样，觉得自己的贼少，复利得到猴年马月去，买贵的东西又买不了多少，例如比特币一个10w，就喜欢买价格便宜的，看的很有成就感。买了以后喜欢关注自己赚了多少钱，但想想其实这是很错误的思维模式。
如果我们要想转到复利的思维模式来看，百分比的思考方法能提高我们的底层认知。之前网上看到过的几个栗子。
关于波动性：假如你有100万。第一年赚40%，第二年亏20%，第三年赚40%，第四年亏20%，第五年赚40%，第六年亏20%。 100 万 * 1.4 * 0.8 * 1.4 * 0.8 * 1.4 * 0.8 = 140.4928 万。 我们信心苦苦六年，感觉好像经常操作还不错，胜率有50%，盈亏比2：1，但年化收益率只有5.83%。但竟然还没有有些理财产品收益高，并且还没算通货膨胀。
关于每天1%：假如你有100万，每天不需要涨停板，只需要挣1%就离场，以每年240个交易日计算，一年后你的资产能到达1203.2万！两年后你就有了1.45亿。有些人看到这儿就开始算自己能赚多少钱了，但是你也得每天都能找到赚1%的股票啊。复利是很厉害，但是亏损也是可以复利的啊，甚至，很多人忽视的通货膨胀，也是复利效应。 但这也说明了复利的强大，具体的下一篇好好讲讲。
关于10年10倍：同样从百分比角度，我们就可以通过希望赚到的钱，反推每年的收益率。比如你现在25岁，手里有家里拆迁得来的100w,你希望10年后能赚到1000w,20年后1亿元。也就是45岁赚到1亿。那么你的几何年化收益率得要到25.89%。想想巴菲特是24.7%，并且，前提，1. 你现在要有100w的本金，2. 必须保持不能有大的亏损，前面提到过。3. 每年都要达到这个收入。 所以十年十倍都是一个很难的事情，很多事情就要放宽心。订立一个切实可行的目标。而不是一年十倍。 当然现在的加密数字货币圈经常有这样一年十几倍的故事，毕竟这是一个新兴的投资行业。但是未来只会越来越难了。因为这种筹码投资的本质就是先进入，在筹码的低点买入的赚的多。进入的人占总体的比例越大，越成熟，也就越难赚钱了。
关于止盈止损：很多人不愿意“止盈”和“止损”，他们总是归结于内心的原因，包括“贪婪”和“恐惧”，然后总结一堆形而上的东西。但是我认为，本质上，他们还是没有理解数学的力量。 再做个简单的模型，假设我们每次止盈 10%，每次止损 5%, 那么我们连续投资100次，假设我们总体的胜率是 50% 基本等于掷硬币。那么我们算算最后的收益率，（ 1 * 1.1^50 * 0.95^50 = 9.0326 )， 竟然有九倍的收益，收益率 800%，不相信的自己可以算算。 这起码用数学说明了，小止损是可以赚钱的，而且不少，能让你心安理得的“止损”。 其实“止损”这个词，从中文语言上来说就有一种损失的意思，让人会恐惧，会不安，这是源自我们原始大脑中的本能的思维。同时我们的语言又会限制我们的思维，所以我更喜欢称 “止损”为“成本”。这是我们承担风险，为了取得预期的收益，而必须支付的。就像做你开个小餐馆一样，你不可能把最初购买的桌子椅子，一些设备，称为损失一样。 这是我转变思路以后，受益最深的，希望也能帮助你。
关于交易频率：按照佣金万五，印花税千一计算，一年十倍的换手率计算，意味着交易成本是（0.05% * 2 + 0.01%）* 20 = 2% 。 对于甚至是每周都要调仓的小伙伴，一年的交易成本都可能超过10%了。钱都捐给国家和券商了，这也是巴菲特为什么很少调仓，长期持有的关系。
以上的几个例子介绍了百分比思维的重要性，理解了抽象之后的数学意义。再做决定的时候就有心理依据了，不会那么随意，因为数学是稳定的，也是确定的。回应本段开头说的，买要买对的， 贵的≠难涨，例如比特币。便宜≠容易涨，例如港股的仙股甚至可以清零。但是当一个数值很大的标的物跌下来，往往有心理效应（前高点）。从百分比来说，涨起来绝对值又更大。
所以计算一切投资有关的，从绝对的百分比来考虑问题的思维模式，是越早建立越好。
前文说了很多，但其实俩字就可以概括，风险。所以下文顺理成章，最大化的赚取利润，收益。如何在风险可控的条件下，多快好省的赚取收益。
几何增值的目标，是在复利的标准下，建立一个体系，不断的分析，评价和优化投资组合，使得资产在长期的投资过程中以最快的速度增值。
上篇讲了通过2%风险，倒推出你的仓位。第一个美股我们算出来仓位近似36%，很多人觉得可能太低，风险厌恶的人又觉得太高。那有没有一个最优的仓位比率呢？
我们如果想要彻底的从数学角度理解最优投入的本金比率，那就得从几位伟大的前辈索普，香农，凯利，和一个传奇的地方贝尔实验室说起。
可能有点啰嗦，但是必要基础知识。
五、凯利公式的起源
贝尔实验室中的贝尔是我们熟悉的电话的发明人，他的母公司AT&T脱胎于贝尔创立的贝尔公司。我们现在的晶体管， 激光器， 交换机， 通信卫星，UNIX，甚至C语言和C++都来自于此。
克劳德。香农 (Claude Shannon) 就来自于此，很多人可能不了解这个名字，但这个名字在我们学通信的人眼中就如同神一般，一己之力创造了信息论这个学科，即使他也是站在前人的肩膀上，如贝尔实验室的前辈哈利·奈奎斯特（Harry Nyquist）和拉尔夫·哈特利（Ralph Hartley）。
信息论想解决的问题起源于通信，但信息论在统计物理（热力学）、计算机科学（科尔莫戈罗夫复杂度）、推断统计（奥卡姆剃刀）以及概率和统计等学科方向中都有奠基性的贡献。
1948年，香农发布了他的伟大的著作 &A Mathematical Theory of Communication& 通信的数学原理，而对于他本人，发布的东西在年间就已经研究完成，研究纯属好奇，直到周围人知道了，被震惊后，鼓励他发表，才有了后来的这篇文章。
有人说香农的成就能比得上爱因斯坦，但一些人不同意，他们觉得这样低估了香农。
在香农的论文中引入了一个非常重要的概念，信息熵。熵（entropy）的概念来自于物理学，简单讲就是表示随机性，不确定性，和无序性的程度。在信息论中，它表示信息中这些不可压缩的物质。这里面还有个小插曲，香农本身想用“information”或者其他表示这个概念，冯。诺依曼（J. von Neumann）怂恿香农用熵这个名字，原因有二。一是香农原本想用的“不确定性”（uncertainty）这个概念已经用于统计力学。二是没人知道“熵”倒底是什么，用它不会引起争论。
顺理成章，香农接受了这个建议，用“信息熵”来表示信息量化的度量，一条信息的信息量大小直接与它的不确定性有关，表示不确定的多少，也是数据压缩的极限。
下图中H代表信息熵，p和q是信息发生和不发生的概率：
如掷一枚标准的硬币，正面概率p为0.5, 反面概率q为0.5。如上图可以看到p为0.5的时候不确定性最大， H为1。
从信息论接下来就引出了贝尔实验室的另一位天才，约翰。凯利 (John Larry Kelly)，也就是我们的主角。凯利写的博士论文题为“不同材料的二阶弹性研究”（Investigation of Second Order Elastic Properties of Various Materials），我们不用管这是什么，但就是这项研究使得凯利收到了贝尔实验室的工作邀约。凯利进来的时候研究的是电视数据的压缩，正好使他接触到了香农的信息论。
但就在香农快离开贝尔实验室的时候，他们才慢慢相互熟悉。凯利分析有内幕消息的赌博问题，这里信息是否确定就正好用上了香农的信息论，香农也鼓励凯利继续研究。
1956年，凯利很快发表的他的论文，&A New Interpretation of Information Rate&信息率的新解读。
凯利论文的研究背景是，当年，美国有一档类似于我们现在的“一站到底”的节目，有人会压住哪位选手最后获胜。但是因为是电视录好的播放有延迟，所以不可避免就会有内幕消息。到低如何利用内幕消息来赌博呢？凯利就是这样被激起了兴趣。
凯利描述自己研究的初衷，一个“有内幕消息的赌徒”可以提前知道棒球赛或者赛马的结果。这些消息或许不是百分之百可靠，但足以让下注者占尽先机。下注者能够按照正常的“公平”赔率进行下注。凯利提出的问题是，下注者应该如何使用这份内幕消息？
看似这是个简单的问题，有内幕消息当然贷款梭哈，买买买。但是万一，这是个错误的消息呢？这就把现实问题中的不确定性和信息论联系起来了。内幕消息完全有可能出错，甚至是故意误导你。所以投注的比率就很重要。
下面就是凯利通过香农的信息传输率，转化而来的公式。Gmax代表了最大的年复利的比率。巴菲特是24.7%，索罗斯是28.6%（早年是35%），据说李嘉诚是28%。
我们把上面的香农熵公式带进这个里面。得出的下面的公式。
这是一个很振奋人心的发现，当然这不是本人发现的。上边的带入过程来自一位前辈岭峰资本的贝乐斯老师。
这个公式成功的把信息论，随机性，不确定性，熵和投资联系起来了。
一句话来说，投资是在不确定的世界里追求确定性。
价值投资通过财报理解公司追求确定性的好公司，技术分析通过指标和规则抓取稳定的趋势，期货交易者通过基差修复，索罗斯通过基本面和反身性找到稳定的循环反馈和临界，塔勒布通过杠铃策略，甚至是加密货币的投资者，都在通过不断地对各种区块链底层技术的了解，希望能找到技术有优势能领跑下一个周期的coin。
那再具体点，在交易当中什么是确定的呢？
盈利是不确定的，而亏损是确定的，那我们就应该要学会更好的亏损。盘面短期的变动是不确定的，而自己的系统和规则是确定的，那更清晰的理解自己的规则，是不是更好。别人的想法是不确定的而自我是确定的，那提升自我，减少自身的波动，也正是实现了塔勒布老师说的增加反脆弱性。
这也能解释了巴菲特老师的年化几何收益Gmax是24.7%，H可以算出是0.753.通过上面的图，如果换算成抛硬币游戏的话，可以看到巴菲特老师在半个世纪中，一直在玩的是胜率p接近80%的游戏。这胜率下，半个世纪的复利，他不想当首富也难啊。
这也是巴老为什么一直在投资像可口可乐，喜诗糖果，富国银行这样的，而不是新兴的互联网公司。从主观上来说，这样的公司和行业对他来说更少未知的东西，更具有确定性。也进而推出了“能力圈”的概念，能力圈就是对自己来说位置信息最少的地方，也就是H最小的地方。
下一个需要介绍的天才是爱德华o索普 (Edward Thorpe)，他可以说是现在的Quant (量化交易员) 的鼻祖了。
索普从1967年开始设立的自己的量化对冲基金，将近25年的年化收益在20%，用的风险控制底层概念就是凯利公式。早年他通过和香农合作，设计了世界第一款可穿戴设备，用其在赌场通过几百美元赚到了将近2.4万美元。
数学家开挂真的是一件很恐怖的事情。
他在后来出了两本书&Beat the dealer&和&Beat the market&就是教人如何用数学的方法，赢得21点。我们的债王格罗斯当年，22岁时在住院时，正巧读了索普的&Beat the market&，在拉斯维加斯赚取了第一桶金，也奠定了自身的投资思维。
具体还有很多他们的爱恨情仇和好玩的事情这里不能一一介绍了， 再写下去怕是要跑题了。后面附上基本书，有兴趣的可以看看，顺便学学天才的思维方式。
终于，我们可以聊聊今天的主题凯利公式了。
六、等价鞅与反等价鞅
写这篇文章之前，我也在网上搜了下关于凯利公式，大多数不太实用，不能用在现实世界，为什么后面再说。
凯利公式的上层属于反等价鞅，而反等价鞅属于资金管理中的两个基本策略。
等价鞅的意思是盈利时减少交易规模而亏损时加大交易规模。
比如开局下注1，亏损后下注2，再亏损后下注4，总有一次会回本。有很多人乐此不疲的使用这样的策略，看似一直在盈利，收益率曲线很好看。但系统适用的前提是你的资金量能支持每次的加注。这样的系统就类似于卖期权， 风和日丽的时候赚的挺开心，但一次黑天鹅就回到原型。
资金曲线如下图。
再多的盈利都抵不过一次亏损，也就是我们上篇讲的。从本质上来说，这种方法不是正期望的。
听着好像挺简单，但很多人不自觉的遵从这种模式。亏损之后加仓，想摊平成本，本质上内心是不肯认错；输了以后，想翻倍赚回本，赌徒心理。
而往往真这样做的人下场都会很惨，一次两次的成功助长了信心，如上图的前面的小尖峰一样，最终都会亏完。
反等价鞅的意思是，每次固定比率开仓。当盈利时，增加仓位，亏损时，降低仓位。反等价鞅的本质是能保护你永远的赌下去。每次亏损都减仓，按照固定比例去亏钱，也最大化的保护的本金的安全。毕竟深度亏损的危害上篇已经说了很多很多了。
赌徒输的很大一个原因是，赢钱是没上线的，而亏损有，这也造成了盈亏的不对称性。而反等价鞅正好弥补这个缺点，使得亏损和盈利达到对称，通过防守来更好的进攻。
而凯利公式就是选取的最优开仓比率。
凯利公式的推导过程这里不复述了， 网上有很详细的。公式其实很简单，下面的公式都是相应不同的变形，本质都是一样的。
第一个是最初的等式，第二个是第一个赔率b带入1，第三个是把q=1-p带入进去，从赌博角度，下面bp-q是盈利的期望，而b则为赔率。
f*: 下注比率 （0~100%）
p: 胜率 （0~100%）
q: 失败率， 1-p
b: 赔率（净赔率， 不含有本金的赔率，也可以理解为盈亏比）
这里值得注意的就是b，净赔率很多人会搞错，例如足球中的赔率欧赔，比如主客队是， &1.5，4.3，7& ，你压住主队10元，会给你15元。
但净赔率这里是不算本金的赔率，赔率可以计算得（15-10）/10 = 0.5。
公式简单的举个例子，如果经过计算，我们盈亏比为3：1，胜率为40%。 带入算出来f*等于0.2, 那仓位为20%。
跟很多人的直觉不同， 胜率很大的情况下，一定要下重注，不然就错过了很重要的机会了。但是根据凯利公式，我们有下面的图，G(f) 是收益率，f代表下注比率。
当达到凯利公式的f*时长期来看收益率最大，超过fe之后，长期来看收益甚至是亏损的。这其实也是很好理解的，但是在现实投资中，我们往往会高估当下的机会，对自己产生一种盲目的信任，认为这次机会万中无一。这种脱离了概率的主观臆断，自然跟赌博没什么差别了。
由这个公式，我们首先可以得出一些结论：如果期望 bp-q 小于零的话，我们更好的选择是不参与，也就是空仓，这从数学角度告诉我们了，而不是有没有耐心的问题。很多人追求胜率，但是胜率50%以下，盈亏比够高，也是可以获得持续收益的。
七、凯利公式的问题
前面提到，凯利公式想运用到投资领域还有几个很重要的问题。
1. 投资并不是赌博，赔率和胜率永远在变动，甚至在你入场之后。
2. 所有的胜率都是“主观概率”，我们本能的有高估自己的倾向。
3. 统计过去数据得到的“统计胜率”,“统计赔率”不代表未来的胜率和赔率。
4. 如果我们的赔率和胜率计算没大错，并且完全依照凯利公式投资，资金曲线必然会有深度亏损。如果这时你退出了，对自身的胜率和赔率有了怀疑，凯利公式并不能保佑你。
5. 凯利公式的结果只是提高了你的收益结果区间的上下界，在这个收益结果区间内，你的真实收益可能差别几百倍。
想正确应用，我们必然要挨个解决上述问题。
投资可以是艺术，但要想稳定的赚钱就得把它变成一门手艺。手艺人都是兢兢业业按流程做事，而投资要精确取消模糊性，也得量化。
既然投资中的胜率和赔率永远在变化，我们就得想办法让它定下来，客观化，而不是每次都靠自己的主观经验和灵机一动的想法。
八、量化胜率
广义上的胜率，简单来讲从统计学角度来说分为频率学派和贝叶斯学派。其实这两种方法背后的哲学也是我们认识世界和不确定性的方法。
简单来说频率学派认为概率是一个客观的，即使我们不知道，也是固定的。而贝叶斯学派认为任何概率都是主观的，都是由你的信念强度决定的，也叫信念度。
频率学派的意思是如果你想知道一枚硬币，抛掷后每面的概率是多少，当抛掷次数趋向于无穷，正面朝上的频率即为正面朝上的概率。它是从自然角度，对「事件」本身进行建模。
而贝叶斯学派并不关注事件本身的性质，它从「观察者」角度出发，它假定「观察者知识不完备」，观察者先持有一个前置信念（prior belief），通过观察获得了新的统计证据（evidence）之后通过满足一定条件的逻辑一致推断得出的关于该陈述的「合理性」，从而得出后置信念（posteriorbelief）来最好的表征观测后的知识状态（state of knowledge）。这也符合我们自身认识世界的规律。
频率学派和贝叶斯学派的争论也就是问题2，3的来源，理解这些也就理解问题本质。
当然更进一步从哲学角度来说，频率学派还代表了归纳法的使用，贝叶斯则倾向于逻辑演绎法，这也是凯恩斯的概率论和拉姆齐的概率论所争论的问题，我们到底是从理性还是观察来获得知识。
凯恩斯代表了单纯的逻辑推演，而拉姆齐代表了归纳和演绎的结合使得主观概率去接近客观概率，这里就不多叙述了，未来有机会希望来详细叙述。
在我个人的投资经历中，以前用过统计自身的胜率和赔率。但是效果并不怎么好，因为个人开仓并不单单只是使用技术信号，还有很多因素，因此会造成过去并不代表现在，过去的胜率甚至还会对现在造成误导。
所以就换了种方法来客观的量化主观的胜率，其实也暗中符合凯恩斯的思想。
我们可以主观定义各个因子，这当然取决于你自身的交易逻辑和交易市场。基本面符合怎样的条件，技术分析满足怎样的指标，市场心理满足怎样的状况，市场的资金流等都可以按照你的需求加进来。
我们需要列出每项上面提到的因子，赋予他们相应的权重概率。
九、EOS的案例
我们以加密货币中今年3月中四月初的eos带领的一波波澜壮阔的大行情。之前的情形是这样。
而之后是这样。
技术指标方面我们可以拆分成几部分：K线；均线；成交量；RSI；压力突破。
3月18号日K线一根早晨十字星，均线突破20日线，RSI低于20，成交量放大，突破下降趋势线后回踩。这背后的逻辑是经过一段时间的下跌，拥有筹码的人随着各种利空的消息，不断地交出自己手中的筹码，卖出的量大于买入的。
在行情转折阶段，因为市场消息面的利空，很多人还相信会继续下跌，甚至在底部徘徊很久，但是先掌握到未来消息的大资金，和一些先知先觉的人已经开始了买入，在图上表示的是就是成交量的放大。
在关键的点位突破的行情一定要有成交量的放大，这是大量资金进场的标志，除非大资金从场外OTC市场，或者说美股中的暗池交易和冰山订单，这样能掩盖大资金的动作，但也会有痕迹。
每一项指标不一定代表什么，但是结合在一起就会出现高概率行情。
例如下图中的A,B,C,D 同时发生，形成共振。
有部分人对技术分析不屑，但有些时候，技术分析的量价时空比那些捏造出来的消息，和跑路的扇贝，可能更接近「事实」。
很多人用错技术分析是因为他们想「预测」，而技术分析更多的作用是「描述当下」，这也是很多大佬不断的去说不预测的原因。
十、在基本面方面
eos未来前途无量，BM技术碾压V神，在那个时间点，还是有很多人相信的。但是技术好的不一定上涨，所以这就不多说了。
竞选节点竞争21个BP，在那个时间点还是一个新奇的事情。但是如果你能提前跟随官网和官方消息，那其实就有了先机。所有节点都想竞争到21个主BP，历史很低的价格，大资金方买入以后锁仓，造成了供应的减少，需求的急速增加。这也形成了正反馈效应。
当行情一旦反转，技术面交易者在金叉，破趋势线，破均线等等各种地方进入，跟风听到的买家也会介入。这也是索罗斯先生提到的反身性的开始，市场的价格本身影响了人们的基本面判断，新的信息到来改变了基本面，也改变了市场的价格。市场每一次的冲破前高，下跌回调，进一步再次冲破前高，不断地加深了人们对其的信心，行情进入疯狂，直到行情达到低点的五倍，才开始反转。
这样看来，eos本身并没有变化，BM团队也在兢兢业业的码代码，但变化的却是人心。对应到RSI上，20以下成了恐惧，而80以上变成了贪婪。
基本面方面要说的不是加密货币的技术，或者是公司的好坏，而是是否能在逻辑上形成反馈效应，造成自身筹码的边际供需不平衡的逻辑，这样当技术分析同样出现信号，这就是一个高概率的交易机会。
从心里方面上面已经简单解释了，资金流动，宏观局势等等就不再具体细说了。
当我们把所有的高概率条件列下来，当越多的条件出现共振，那我们的主观胜率也就越来越高。主观胜率当然可以和统计胜率结合，通过不断的交易来调整，但是只有写下来，做成清单才能更精确的量化。清单的原则是简单，可测，高效与实用。
这个想法其实来自于阿图·葛文德博士的&清单革命&，其实全书废话很多，惯常的美国畅销书写法，有兴趣的可以去看看理解思想就好。
更近一步可以每出来一项新的因子用贝叶斯公式计算下一步的概率，这样就不会盲目频繁交易。
当然这里的因子虽然都是「主观」的，我们自身要「客观」，客观是理解市场内在运行规律后的得出的结论而不是凭空想象，我们自以为的客观往往会被与生俱来的认知偏见和逻辑谬误所影响。
学会「客观」，关注「事实」（fact）而不是「观点」（opinion）和「信念」（belief），是晋升为一个成熟的投资者的第一步。
我很同意范萨普博士所说，我们交易的永远是我们自身的信念，但我们的信念有可能会害了我们。
十一、量化赔率
赔率作为一个赌博中的概念，在投资中是没有的，这里我们可以转化成盈亏比。简单的画了张图。
来自于知乎@李国帅
如上图我们假设：a为止损点，b为开仓点，c为目标赢利点， h1是止损空间，h2是止盈空间h2=3*h1。
那么根据此就能得出凯利公式中，b=3, p=0.4 （假设胜率40%），可以得到f* = 0.2（20%）。
这里的关键问题是0.2是什么？
我们从凯利公式的本源来看，就知道了，20%是我们上文说的赌注，是你推入池中的筹码，能亏损的部分。
而计算就可以用上文说的通过风险量倒退回去的公式。
100w的本金亏损一次为80w，80w继续20%为64w，连续三次亏损本金就到了一半。但是如果这时候你停止，那凯利公式不会保佑你的，这也反过来说，如果你想完全运用凯利公式，那必然会有深度回撤，但是坚持下去，资金曲线一定是增长最快的。这是由它的数学性质决定的。但亏损后降低投入使得我们并不会亏完所有本金。
那这时的赔率就是盈亏比3:1，我们希望使用凯利公式，就需要遵守固定的止损和止盈，反过来说就是如果市场给与这种机会，我们才入场。
凯利公式的前提是p和b的不变，如果你可以测试，资金曲线从长期来看会几何级数的增长，而在对数坐标下，它会呈现出一条直线。
我们并不能精确的保证每一次的p和b不变，但是可以设置阈值，例如2：1的盈亏比，50%以上的胜率才入场，这时候算出来的f*值25%是我们最大的风险量。也是绝对的上限。
我们能做的只有尽量的去量化和提高p和b的值，尽量在我们自身的时间周期中，找到恰当好处的交易机会，与时间做朋友，用大数法则来保佑我们。这才是凯利公式告诉我们的。
当然凯利公式是最大的资金量，按照之前的图，可以优化到半凯利。
这样我们相对来说解决了1,2,3,4的问题，对于5来说，很多时候并没有办法。
如果我们用蒙特卡洛来模拟资金的情况，会得到类似的图像：
也就是说同样的从最初的同样的本金出发，同样的胜率和赔率，最终的结果可能相差非常多。这也是我们只能把握住我们能把握的，而最终的结果还要看市场的配合。
这也有点类似于塔勒布说的遍历（ergodic）的概念，这是一个来自统计物理的概念，说的是一个孤立系统从任一初态出发，经过足够长的时间后将无限接近一切可能的微观状态。又或者说是墨菲法则？
也就是说，巴菲特再活一遍，给他同样的条件，说不定可能远远没有现在的成绩。
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