抽屉原理；规律：用物体数除以抽屉数，若除数不为零，则“答案；若除数为零，则“答案”为商；抽屉原则一：把n个以上的物体放到n个抽屉中，无论；面至少有两个苹果；抽屉原则二：把多于mxn个物体放到n个抽屉中，无；里面至少有（m+1）个苹果；一、基础训练；1、把98个苹果放到10个抽屉里，无论怎么放，我；它里面至少有______个苹果；2、1000只鸽子飞进50个巢
规律：用物体数除以抽屉数，若除数不为零，则“答案”为商加1；
若除数为零，则“答案”为商
抽屉原则一：把n个以上的物体放到n个抽屉中，无论怎么放，一定能找到一个抽屉，它里
面至少有两个苹果。
抽屉原则二：把多于m x n 个物体放到n个抽屉中，无论怎么放，一定能找到一个抽屉，它
里面至少有（m+1）个苹果。
一、基础训练。
1、把98个苹果放到10个抽屉里，无论怎么放，我们一定能找到一个含苹果最多的抽屉，
它里面至少有______个苹果。
2、1000只鸽子飞进50个巢，无论怎么飞，我们一定能找到一个含鸽子最多的巢，它里面
至少有_______只鸽子。
3、从8个抽屉里拿出17个苹果，无论怎么拿，我们一定能拿到苹果最多的那个抽屉，从
它里面至少拿出______个苹果。
4、从______个抽屉中（填最大数）拿出25个苹果，才能保证一定能找出一个抽屉，从它
当中至少拿出7个苹果。
二、拓展训练。
1、六（1）班有49名学生，数学高老师了解到期中考试该班英语成绩除3人外，均在86
分以上后就说：“我可以断定，本班至少有4人成绩相同”。王老师说的对吗？为什么
2、从1、2、3??，100这100个数中任意挑出51个数来，证明这51个数中，一定有
（1）2个数互质
（2）有两个数的差是50
100个中，有50个奇数，50个偶数，而奇数和偶数必定互质，所以51个数字中，比有一对奇偶数是互质的。
3、圆周上有2000个点，在其上任意地标上0、1、2??、1999（每一点只标一个数，不同
的点标上不同的数），求证：必然存在一点，与它紧相邻的两个数和这点上所标的三个数之和不小于2999.
4、有一批四种颜色的小旗，任意取出三面排成一行，表示各种信号，证明：在200个信号
中至少有四个信号完全相同。
解：四种颜色的小旗取出三面共可组成4×4×4=64种信号(注三面可以是同色的)，则将200看作苹果，64种信号看作64个抽屉，由抽屉原则知至少有4个苹果在同一抽屉中，即至少有4个信号完全相同。
5、在圆周上放着100个筹码，其中有41个红的和59个蓝的，那么总可以找到两个红筹码，在他们之间刚好有19个筹码，为什么？
6、试卷上有4道题，每题有3个可供选择的答案，一群学生参加考试，结果对于其中任何
三 人都有一道题目的答案互不相同，问：参加考试的学生最多有多少人？
7、一次数学竞赛，有75人参加，满分为20分，参赛者得分都是整数，75人的总分是980分，至少有几分得分相同?
8、某校六年级学生有31人是四月份出生的，请证明：至少有两人在同一天出生。
9、袋子里有四种不同颜色的小球，每次摸出2个，要保证10次所摸得的结果是一样的，至少要摸多少次？
10、 一副扑克牌共有54张，从中取出多少张，才能保证其中必有3种花色。
11、 图书角剩下科技书和文艺书各4本，现在有4个学生来借阅，每人从中借2本，请你证明，必有两名学生借阅的图书完全相同。
12、 在一条长100米的小路一旁种上101棵小树，不管怎么种，至少有两棵树苗之间的距离不超过1米。
13、 六年级有男生57人，证明：至少有两名男生在同一个星期过生日。
14、19朵鲜花插入4个花瓶里，证明：至少有一个花瓶里要插入5朵或5朵以上的鲜花。
14、 某旅行团一行50人，随意游览甲、乙、丙三地，至少要有多少人游览的地方完全相
小升初“抽屉原理”讲解
例5 有一个生产天平上用的铁盘的车间，由于工艺上的原因，只能控制盘的重量在指定的20克到20.1克之间。现在需要重量相差不超过0.005克的两只铁盘来装配一架天平，问：最少要生产多少个盘子，才能保证一定能从中挑出符合要求的两只盘子？
解：把20～20.1克之间的盘子依重量分成20组：
第1组：从20.000克到20.005克；
第2组：从20.005克到20.010克；
第20组：从20.095克到20.100克。
这样，只要有21个盘子，就一定可以从中找到两个盘子属于同一组，这2个盘子就符合要求。
例6 在圆周上放着100个筹码，其中有41个红的和59个蓝的。那么总可以找到两个红筹码，在它们之间刚好放有19个筹码，为什么？
分析：此题需要研究“红筹码”的放置情况，因而涉及到“苹果”的具体放置方法，由此我们可以在构造抽屉时，使每个抽屉中的相邻“苹果”之间有19个筹码。
解：依顺时针方向将筹码依次编上号码：1，2，…，100。然后依照以下规律将100个筹码分为20组：
（1，21，41，61，81）；
（2，22，42，62，82）；
（20，40，60，80，100）。
将41个红筹码看做苹果，放入以上20个抽屉中，因为41=2×20＋1，所以至少有一个抽屉中有2+1=3（个）苹果，也就是说必有一组5个筹码中有3个红色筹码，而每组的5个筹码在圆周上可看做两两等距，且每2个相邻筹码之间都有19个筹码，那么3个红色筹码中必有2个相邻（这将在下一个内容――第二抽屉原理中说明），即有2个红色筹码之间有19个筹码。
下面我们来考虑另外一种情况：若把5个苹果放到6个抽屉中，则必然有一个抽屉空着。这种情
况一般可以表述为：
第二抽屉原理：把（mn-1）个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至多有（m-1）个物体。
例7 在例6中留有一个疑问，现改述如下：在圆周上放有5个筹码，其中有3个是同色的，那么这3个同色的筹码必有2个相邻。
分析：将这个问题加以转化：
如右图，将同色的3个筹码A，B，C置于圆周上，看是否能用另外2个筹码将其隔开。
解：如图，将同色的3个筹码放置在圆周上，将每2个筹码之间的间隔看做抽屉，将其余2个筹码看做苹果，将2个苹果放入3个抽屉中，则必有1个抽屉中没有苹果，即有2个同色筹码之间没有其它筹码，那么这2个筹码必相邻。
例8 甲、乙二人为一个正方形的12条棱涂红和绿2种颜色。首先，甲任选3条棱并把它们涂上红色；然后，乙任选另外3条棱并涂上绿色；接着甲将剩下的6条棱都涂上红色。问：甲是否一定能将某一面的4条棱全部涂上红色？
解：不能。
如右图将12条棱分成四组：
第一组：{A1B1，B2B3，A3A4}，
第二组：{A2B2，B3B4，A4A1}，
第三组：{A3B3，B4B1，A1A2}，
第四组：{A4B4，B1B2，A2A3}。
无论甲第一次将哪3条棱涂红，由抽屉原理知四组中必有一组的3条棱全未涂红，而乙只要将这组中的3条棱涂绿，甲就无法将某一面的4条棱全部涂红了。
下面我们讨论抽屉原理的一个变形――平均值原理。
我们知道n个数a1，a2，…，an的和与n的商是a1，a2，…，an这n个数的平均值。
平均值原理：如果n个数的平均值为a，那么其中至少有一个数不大于a，也至少有一个不小于a。
例9 圆周上有2000个点，在其上任意地标上0，1，2，…，1999（每一点只标一个数，不同的点标上不同的数）。求证：必然存在一点，与它紧相邻的两个点和这点上所标的三个数之和不小于2999。
解：设圆周上各点的值依次是a1，a2，…，a2000，则其和
a1＋a2+…＋a+2+…+。
下面考虑一切相邻三数组之和：
（a1＋a2＋a3）+（a2＋a3＋a4）＋…＋（a＋a2000）＋（a1999＋a2000＋a1）＋（a2000＋a1＋a2）
=3（a1＋a2＋…＋a2000）
＝3×1999000。
这2000组和中必至少有一组和大于或等于
但因每一个和都是整数，故有一组相邻三数之和不小于2999，亦即存在一个点，与它紧相邻的两点和这点上所标的三数之和不小于2999。
例10 一家旅馆有90个房间，住有100名旅客，如果每次都恰有90名旅客同时回来，那么至少要准备多少把钥匙分给这100名旅客，才能使得每次客人回来时，每个客人都能用自己分到的钥匙打开一个房门住进去，并且避免发生两人同时住进一个房间？
解：如果钥匙数小于990，那么90个房间中至少有一个房间的钥匙数少 房间就打不开，因此90个人就无法按题述的条件住下来。
另一方面，990把钥匙已经足够了，这只要将90把不同的钥匙分给90个人，而其余的10名旅客，每人各90把钥匙（每个房间一把），那么任何90名旅客返回时，都能按要求住进房间。
最后，我们要指出，解决某些较复杂的问题时，往往要多次反复地运用抽屉原理，请看下面两道例题。
例11 设有4×28的方格棋盘，将每一格涂上红、蓝、黄三种颜色中的任意一种。试证明：无论怎样涂法，至少存在一个四角同色的长方形。
证明：我们先考察第一行中28个小方格涂色情况，用三种颜色涂28个小方格，由抽屉原理知，至少有10个小方格是同色的，不妨设其为红色，还可设这10个小方格就在第一行的前10列。
下面考察第二、三、四行中前面10个小方格可能出现的涂色情况。这有两种可能：
（1）这三行中，至少有一行，其前面10个小方格中，至少有2个小方格是涂有红色的，那么这2个小方格和第一行中与其对应的2个小方格，便是一个长方形的四个角，这个长方形就是一个四角同是红色的长方形。
（2）这三行中每一行前面的10格中，都至多有一个红色的小方格，不妨设它们分别出现在
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抽屉原理练习题 15页 免费
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　　第13讲 抽屉原理
　　把5个苹果放到4个抽屉中，必然有一个抽屉中至少有2个苹果，这是抽屉原理的通俗解释。一般地，我们将它表述为：
　　第一抽屉原理：把(mn+1)个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至少有(m+1)个物体。
　　使用抽屉原理解题，关键是构造抽屉。一般说来，数的奇偶性、剩余类、数的分组、染色、线段与平面图形的划分等，都可作为构造抽屉的依据。
　　例1 从1，2，3，&，100这100个数中任意挑出51个数来，证明在这51个数中，一定：
　　(1)有2个数互质;
　　(2)有2个数的差为50;
　　(3)有8个数，它们的最大公约数大于1。
　　证明：(1)将100个数分成50组：
　　{1，2}，{3，4}，&，{99，100}。
　　在选出的51个数中，必有2个数属于同一组，这一组中的2个数是两个相邻的整数，它们一定是互质的。
　　(2)将100个数分成50组：
　　{1，51}，{2，52}，&，{50，100}。
　　在选出的51个数中，必有2个数属于同一组，这一组的2个数的差为50。
　　(3)将100个数分成5组(一个数可以在不同的组内)：
　　第一组：2的倍数，即{2，4，&，100};
　　第二组：3的倍数，即{3，6，&，99};
　　第三组：5的倍数，即{5，10，&，100};
　　第四组：7的倍数，即{7，14，&，98};
　　第五组：1和大于7的质数即{1，11，13，&，97}。
　　第五组中有22个数，故选出的51个数至少有29个数在第一组到第四组中，根据抽屉原理，总有8个数在第一组到第四组的某一组中，这8个数的最大公约数大于1。
　　例2 求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数。
　　证明：因，故只需证明可以找到一个各位数字都是1的自然数，它是499的倍数就可以了。
　　得到500个余数r1，r2，&，r500。由于余数只能取0，1，2，&，499这499个值，所以根据抽屉原理，必有2个余数是相同的，这2个数的差就是499的倍数，这个差的前若干位是1，后若干位是0：11&100&0，又499和10是互质的，故它的前若干位由1组成的自然数是499的倍数，将它乘以4，就得到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数。
　　例3 在一个礼堂中有99名学生，如果他们中的每个人都与其中的66人相识，那么可能出现这种情况：他们中的任何4人中都一定有2人不相识(假定相识是互相的)。
　　分析：注意到题中的说法&可能出现&&&，说明题的结论并非是条件的必然结果，而仅仅是一种可能性，因此只需要设法构造出一种情况使之出现题目中所说的结论即可。
　　解：将礼堂中的99人记为a1，a2，&，a99，将99人分为3组：
　　(a1，a2，&，a33)，(a34，a35，&，a66)，(a67，a68，&，a99)，将3组学生作为3个抽屉，分别记为A，B，C，并约定A中的学生所认识的66人只在B，C中，同时，B，C中的学生所认识的66人也只在A，C和A，B中。如果出现这种局面，那么题目中所说情况就可能出现。
　　因为礼堂中任意4人可看做4个苹果，放入A，B，C三个抽屉中，必有2人在同一抽屉，即必有2人来自同一组，那么他们认识的人只在另2组中，因此他们两人不相识。
　　例4 如右图，分别标有数字1，2，&，8的滚珠两组，放在内外两个圆环上，开始时相对的滚珠所标数字都不相同。当两个圆环按不同方向转动时，必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对。
　　分析：此题中没有直接提供我们用以构造抽屉和苹果的数量关系，需要转换一下看问题的角度。
　　解：内外两环对转可看成一环静止，只有一个环转动。一个环转动一周后，每个滚珠都会有一次与标有相同数字的滚珠相对的局面出现，那么这种局面共要出现8次。将这8次局面看做苹果，再需构造出少于8个抽屉。
　　注意到一环每转动45&角就有一次滚珠相对的局面出现，转动一周共有8次滚珠相对的局面，而最初的8对滚珠所标数字都不相同，所以数字相同的滚珠相对的情况只出现在以后的7次转动中，将7次转动看做7个抽屉，8次相同数字滚珠相对的局面看做8个苹果，则至少有2次数字相对的局面出现在同一次转动中，即必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对。
　　例5 有一个生产天平上用的铁盘的车间，由于工艺上的原因，只能控制盘的重量在指定的20克到20.1克之间。现在需要重量相差不超过0.005克的两只铁盘来装配一架天平，问：最少要生产多少个盘子，才能保证一定能从中挑出符合要求的两只盘子?
　　解：把20～20.1克之间的盘子依重量分成20组：
　　第1组：从20.000克到20.005克;
　　第2组：从20.005克到20.010克;
　　第20组：从20.095克到20.100克。
　　这样，只要有21个盘子，就一定可以从中找到两个盘子属于同一组，这2个盘子就符合要求。
　　例6 在圆周上放着100个筹码，其中有41个红的和59个蓝的。那么总可以找到两个红筹码，在它们之间刚好放有19个筹码，为什么?
　　分析：此题需要研究&红筹码&的放置情况，因而涉及到&苹果&的具体放置方法，由此我们可以在构造抽屉时，使每个抽屉中的相邻&苹果&之间有19个筹码。
　　解：依顺时针方向将筹码依次编上号码：1，2，&，100。然后依照以下规律将100个筹码分为20组：
　　(1，21，41，61，81);
　　(2，22，42，62，82);
　　(20，40，60，80，100)。
　　将41个红筹码看做苹果，放入以上20个抽屉中，因为41=2&20+1，所以至少有一个抽屉中有2+1=3(个)苹果，也就是说必有一组5个筹码中有3个红色筹码，而每组的5个筹码在圆周上可看做两两等距，且每2个相邻筹码之间都有19个筹码，那么3个红色筹码中必有2个相邻(这将在下一个内容&&第二抽屉原理中说明)，即有2个红色筹码之间有19个筹码。
　　下面我们来考虑另外一种情况：若把5个苹果放到6个抽屉中，则必然有一个抽屉空着。这种情况一般可以表述为：
　　第二抽屉原理：把(mn-1)个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至多有(m-1)个物体。
　　例7 在例6中留有一个疑问，现改述如下：在圆周上放有5个筹码，其中有3个是同色的，那么这3个同色的筹码必有2个相邻。
　　分析：将这个问题加以转化：
　　如右图，将同色的3个筹码A，B，C置于圆周上，看是否能用另外2个筹码将其隔开。
　　解：如图，将同色的3个筹码放置在圆周上，将每2个筹码之间的间隔看做抽屉，将其余2个筹码看做苹果，将2个苹果放入3个抽屉中，则必有1个抽屉中没有苹果，即有2个同色筹码之间没有其它筹码，那么这2个筹码必相邻。
　　例8 甲、乙二人为一个正方形的12条棱涂红和绿2种颜色。首先，甲任选3条棱并把它们涂上红色;然后，乙任选另外3条棱并涂上绿色;接着甲将剩下的6条棱都涂上红色。问：甲是否一定能将某一面的4条棱全部涂上红色?
　　解：不能。
　　如右图将12条棱分成四组：
　　第一组：{A1B1，B2B3，A3A4}，
　　第二组：{A2B2，B3B4，A4A1}，
　　第三组：{A3B3，B4B1，A1A2}，
　　第四组：{A4B4，B1B2，A2A3}。
　　无论甲第一次将哪3条棱涂红，由抽屉原理知四组中必有一组的3条棱全未涂红，而乙只要将这组中的3条棱涂绿，甲就无法将某一面的4条棱全部涂红了。
　　下面我们讨论抽屉原理的一个变形&&平均值原理。
　　我们知道n个数a1，a2，&，an的和与n的商是a1，a2，&，an这n个数的平均值。
　　平均值原理：如果n个数的平均值为a，那么其中至少有一个数不大于a，也至少有一个不小于a。
　　例9 圆周上有2000个点，在其上任意地标上0，1，2，&，1999(每一点只标一个数，不同的点标上不同的数)。求证：必然存在一点，与它紧相邻的两个点和这点上所标的三个数之和不小于2999。
　　解：设圆周上各点的值依次是a1，a2，&，a2000，则其和
　　a1+a2+&+a+2+&+。
　　下面考虑一切相邻三数组之和：
　　(a1+a2+a3)+(a2+a3+a4)+&+(a+a2000)+(a+a1)+(a)
　　=3(a1+a2+&+a2000)
　　=3&1999000。
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来源：家长帮社区 作者：奥数网整理
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