什么是齐次坐标？齐次空间点p对应的迪卡尔班兄弟坐标是什么

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2015-04-24 04:29 标签： 迪卡尔班兄弟
一直对齐次坐标这个概念的理解不够彻底，只见大部分的书中说道&齐次坐标在仿射变换中非常的方便&，然后就没有了后文，今天在一个叫做&三百年
重生&的博客上看到一篇关于透视投影变换的探讨的文章，其中有对齐次坐标有非常精辟的说明，特别是针对这样一句话进行了有力的证明：&齐次坐标表示是计算机图形学的重要手段之一，它既能够用来明确区分向量和点，同时也更易用于进行仿射（线性）几何变换。&&&
F.S. Hill, JR。
&&&& 由于作者对齐次坐标真的解释的不错，我就原封不动的摘抄过来：
而对于一个
，则可以找到一组坐标（
+ p3 c&&&&&&&&&&&
的表达，我们可以看出为了在坐标系中表示一个
），我们把点的位置看作是对这个基的原点
所进行的一个位移，即一个向量&&
（有的书中把这样的向量叫做位置向量
&&起始于坐标原点的特殊向量），我们在表达这个向量的同时用等价的方式表达出了点
+ p3 c (3)
是坐标系下表达一个
的不同表达方式。这里可以看出，虽然都是用代数分量的形式表达向量和点，但表达一个点比一个向量需要额外的信息。如果我写出一个代数分量表达
，谁知道它是个向量还是个点！
）写成矩阵的形式：v = (v1 v2 v3 0)&X&(a b c o)
是坐标基矩阵，右边的列向量分别是向量
在基下的坐标。
这样，向量和点在同一个基下就有了不同的表达：
个代数分量是
个代数分量是
。像这种这种用
个代数分量表示
几何概念的方式是一种齐次坐标表示。
如果写成（
），它就是个向量；如果是
，它就是个点。
下面是如何在普通坐标
和齐次坐标
之间进行转换：
从普通坐标转换成齐次坐标时
是个点，则变为
是个向量，则变为
，则知道它是个点，变成
，则知道它是个向量，仍然变成
个最常见的仿射变换，平移变换只对于点才有意义，因为普通向量没有位置概念，只有大小和方向.
此外，对于一个普通坐标的
，有对应的一族齐次坐标
因此，如果把一个点从普通坐标变成齐次坐标，给
乘上同一个非零数
，然后增加第
；如果把一个齐
次坐标转换成普通坐标，把
前三个坐标同时除以第
个坐标，然后去掉第
由于齐次坐标使用了
个分量来表达
概念，使得平移变换可以使用矩阵进行，从而如
所说，仿射（线性）变换的进行
更加方便。由于图形硬件已经普遍地支持齐次坐标与矩阵乘法，因此更加促进了齐次坐标使用，使得它似乎成为图形学中的一个标准。
以上很好的阐释了齐次坐标的作用及运用齐次坐标的好处。其实在图形学的理论中，很多已经被封装的好的API也是很有研究
的，要想成为一名专业的计算机
学习者，除了知其然必须还得知其所以然。
这样在遇到问题的时候才能迅速定位问题的根源，从而解决问题。
另一个帖子的介绍：
问题: 两条平行线会相交
铁轨在无限远处相交于一点
在欧几里得几何空间里，两条平行线永远都不会相交。但是在投影空间中，如右图中的两条铁轨在地平线处却是会相交的，因为在无限远处它们看起来相交于一点。
在欧几里得（或称笛卡尔）空间里描述2D/3D 几何物体是很理想的，但在投影空间里面却并不见得。 我们用 (x, y
示笛卡尔空间中的一个 2D 点，而处于无限远处的点&(&,&)
在笛卡尔空间里是没有意义的。投影空间里的两条平行线会在无限远处相交于一点，但笛卡尔空间里面无法搞定这个问题（因为无限远处的点在笛卡尔空间里是没有
意义的），因此数学家想出齐次坐标这个点子来了。
解决办法: 其次坐标
由&August Ferdinand M&bius 提出的齐次坐标（Homogeneous
coordinates）让我们能够在投影空间里进行图像和几何处理，齐次坐标用 N + 1个分量来描述 N 维坐标。比如，2D
齐次坐标是在笛卡尔坐标(X, Y)的基础上增加一个新分量 w，变成(x, y, w)，其中笛卡尔坐标系中的大X，Y
与齐次坐标中的小x，y有如下对应关系：
笛卡尔坐标中的点 (1, 2) 在齐次坐标中就是 (1, 2, 1) 。如果这点移动到无限远(&,&)处，在齐次坐标中就是 (1, 2, 0) ，这样我们就避免了用没意义的&&& 来描述无限远处的点。
为什么叫齐次坐标？
前面提到，我们分别用齐次坐标中的 x 和 y 除以 w 就得到笛卡尔坐标中的 x&和 x，如图所示：
仔细观察下面的转换例子，可以发现些有趣的东西：
图中，点 (1, 2, 3), (2, 4, 6) 和 (4, 8, 12) 对应笛卡尔坐标中的同一点 (1/3, 2/3)。
任意数量积的(1a, 2a, 3a) 始终对应于笛卡尔坐标中的同一点 (1/3,
2/3)。因此这些点是&齐次&的，因为他们始终对应于笛卡尔坐标中的同一点。换句话说，齐次坐标描述缩放不变性（scale invariant）。
证明: 两平行线可以相交
笛卡尔坐标系中，对于如下两个直线方程：
如果&C & D，以上方程组无解；如果&C = D，那这两条线就是同一条线了。
下面我们用 x/w, y/w 代替 x, y 放到投影空间里来求解：
现在我们就可以在 C&&&D 的情况得到一组解&(x, y, 0)，代入得&
(C - D)w = 0，因为&C&&&D，所以 w = 0。因而，两条平行线相交于投影空间中无限远处的一点
&(x, y, 0)。
齐次坐标在计算机图形学中是有用的，将 3D 场景投影到 2D 平面的过程中就用到它了。
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齐次坐标摘要?1内容1内容收起内容关于齐次坐标按照通常使用的数学知识，二维平面上一个点可以用它在X、Y方向上的坐标来标示为P（x,y），但是在图形学中偏偏要‘画蛇添足’的使用齐次坐标，这样我们必须使用一个三维向量来表示一个二维点即P（x...
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