方法技巧一元二次方程的解法例析
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方法技巧一元二次方程的解法例析
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学生今后学习数学的基础。在没讲一元二次方程的解法之前，先说明一下它与一元一次方程区别。根据定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：。一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理，如能整理为的形式，那么这个方程就是一元二次方程。下面再讲一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”，将它化为两个一元一次方程。一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。如下表：方法适合方程类型注意事项直接开平方法≥0时有解，＜0时无解。配方法二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方。公式法≥0时，方程有解；＜0时，方程无解。先化为一般形式再用公式。因式分解法方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的积。方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式。【举例解析】例1：已知，解关于的方程。分析：注意满足的的值将使原方程成为哪一类方程。解：由得：或，当时，原方程为，即，解得当时，原方程为，即，解得，.说明：由本题可见，只有项系数不为0，且为最高次项时，方程才是一元二次方程，才能使用一元二次方程的解法，题中对一元二次方程的描述是不完整的，应该说明最高次项系数不为0。通常用一般形式描述的一元二次方程更为简明，即形如的方程叫作关于的一元二次方程。若本题不给出条件，就必须在整理后对项的字母系数分情况进行讨论。例2：用开平方法解下面的一元二次方程。（1）； （2）（3）；（4）分析：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如的方程，其解为。通过观察不难发现第（1）、（2）两小题中的方程显然用直接开平方法好做；第（3）题因方程左边可变为完全平方式，右边的121＞0，所以此方程也可用直接开平方法解；第（4）小题，方程左边可利用平方差公式，然后把常数移到右边，即可利用直接开平方法进行解答了。解：（1）∴（注意不要丢解）由得，由得，∴原方程的解为：，（2）由得，由得∴原方程的解为：，（3）∴，∴∴，∴原方程的解为：，（4）∴，即∴，∴，∴原方程的解为：，说明：解一元二次方程时，通常先把方程化为一般式，但如果不要求化为一般式，像本题要求用开平方法直接求解，就不必化成一般式。用开平方法直接求解，应注意方程两边同时开方时，只需在一边取正负号，还应注意不要丢解。例3：用配方法解下列一元二次方程。（1）；（2）分析：用配方法解方程，应先将常数移到方程右边，再将二次项系数化为1，变为的形式。第（1）题可变为，然后在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，即：，方程左边构成一个完全平方式，右边是一个不小于0的常数，即：，接下去即可利用直接开平方法解答了。第（2）题在配方时应特别注意在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方。解：（1）二次项系数化为1，移常数项得：，配方得：，即直接开平方得：∴，二次项系数化为1，移常数项得：方程两边都加上一次项系数一半的平方得：即直接开平方得：∴，∴原方程的解为：，说明：配方是一种基本的变形，解题中虽不常用，但作为一种基本方法要熟练掌握。配方时应按下面的步骤进行：先把二次项系数化为1，并把常数项移到一边；再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。最后变为完全平方式利用直接开平方法即可完成解题任务。例4：用公式法解下列方程。（1）；（2）分析：用公式法就是指利用求根公式，使用时应先把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式的值，当≥0时，把各项系数的值代入求根公式即可得到方程的根。但要注意当＜0时，方程无解。第（1）小题应先移项化为一般式，再计算出判别式的值，判断解的情况之后，方可确定是否可直接代入求根公式；第（2）小题为了避免分数运算的繁琐，可变形为，求出判别式的值后，再确定是否可代入求根公式求解。解：（1），化为一般式：求出判别式的值：＞0代入求根公式：，∴，（2）化为一般式：求出判别式的值：＞0∴∴，说明：公式法可以用于解任何一元二次方程，在找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。但在应用时要先明确公式中字母在题中所表示的量，再求出判别式的值，解得的根要进行化简。例5：用分解因式法解下列方程。（1）；（2）分析：分解因式法是把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。第（1）题已经是一般式，可直接对左边分解因式；第（2）题必须先化简变为一般式后再进行分解因式。解：（1）左边分解成两个因式的积得：于是可得：，∴，（2）化简变为一般式得：左边分解成两个因式的积得：于是可得：，∴，说明：使用分解因式法时，方程的一边一定要化为0，这样才能达到降次的目的。把方程一边化为0，把另一边分解因式的方法可以用于解今后遇到的各类方程。因为这是把方程降次的重要手段之一。从上述例题来看，解一元二次方程的基本思路是向一元一次方程转化，转化的方法主要为开平方法和使方程一边为0，把方程另一边分解因式，配方，或利用求根公式法。另外，在解一元二次方程时，要先观察方程是否可以应用开平方、分解因式等简单方法，找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。例6：选用恰当的方法解下列方程。（1）； （2）（3）； （4）分析：第（1）题可变形为，而后利用直接开平方法较为简便；第（2）题移项后利用分解因式法较为简便；第（3）题化为一般式后可利用求根公式法解答；第（4）题采取配方法较为简便。解：（1）整理得：直接开平方得：∴，（2）分解因式得：∴，（3）整理得：求出判别式的值：＞0∴，∴，（4）配方得：直接开平方得：∴，总结：直接开平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程，在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在使用公式前应先计算出判别式的值，以便判断方程是否有解。配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的重要的数学方法之一。最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般式，同时应使二次项系数化为正数。因此在解一元二次方程时，首先观察是否可以应用开平方、分解因式等简单方法，找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。通常先把方程化为一般式，但如果不化为一般式就可以找到简便解法时就应直接求解。【附训练典题】1、用直接开平方法解下列方程：（1）； （2）；（3）； （4）.2、用配方法解下列方程：（1）； （2）；（3）； （4）.3、用公式法解下列方程：（1）； （2）；（3）； （4）.4、用因式分解法解下列方程：（1）； （2）；（3）； （4）.5、选用适当的方法解下列方程：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）
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本章主要包括以下几个知识点 &一元二次方程的概念、常见的解一元二次方程的方法、根与系数的关系和一元二次方程的应用！
目录(共1章)
第1章 第二十一章 一元二次方程二元二次方程_百度百科
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二元二次方程
二元二次方程是指含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是二的整式方程，叫做二元二次方程。其为ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0。(a、b、c、d、e、f都是常数，且a、b、c中至少有一个不是；当b为零时，a与d以及c与e分别不全为零；当a=0时，c、e至少一项不等于零，当c=0,时，a、d至少一项不为零)。
二元二次方程简介
二元二次由一个二元一次方程和一个二元二次成的方程组，一般用求解，即将方程组中的二元一次方程用含有
二元二次方程的应用
一个的表示另一个未知数，然后代入二元二次方程中，从而化“二元”为“一元”，如此便得到一个一元二次方程。此时，方程组解的情况由此一元二次方程根的情况确定。比如，当时，由于一元二次方程有两个相等的实根，则此方程组有相同的两组实数解……诸如此类。
二元二次方程方程求解
求解的基本思想是“转化”，即通过“”、“消元”，将方程组转化为或组。由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法。
（1）有两组相等的实数解。
（2）有两组不相等的实数解；
（3）没有实数解。解：将②代入①，整理得二次方程③的
（4）当a&2时，方程③有两个不相等的，则原方程有不同的两组实数解。
（5）当a=2时，方程③有两个相等的实数根，则原方程有相同的两组实数解。
（6）当a&2时，方程③没有实数根，因而原方程没有实数解。
&代入消元法”和“加减消元法”解方程组.　　代入消元法　（1）概念：将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来,代入另一个方程中,消去一个未知数,得到一个一元一次方程,最后求得方程组的解.这种解方程组的方法叫做代入消元法,简称代入法.　　（2）代入法解二元一次方程组的步骤　　①选取一个系数较简单的二元一次方程变形,用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；　　②将变形后的方程代入另一个方程中,消去一个未知数,得到一个一元一次方程（在代入时,要注意不能代入原方程,只能代入另一个没有变形的方程中,以达到消元的目的.）；　　③解这个一元一次方程,求出未知数的值；　　④将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中,求出另一个未知数的值；　　⑤用“{”联立两个未知数的值,就是方程组的解；　　⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验,方程是否满足左边=右边）.　　例题：　　{x-y=3 ①　　　{3x-8y=4②　　　由①得x=y+3③　　　③代入②得　　　3（y+3)-8y=4　　　y=1　　　所以x=4　　　则：这个二元一次方程组的解　　　{x=4　　　{y=14.加减消元法　（1）概念：当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时,把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数,从而将二元一次方程化为一元一次方程,最后求得方程组的解,这种解方程组的方法叫做加减消元法,简称加减法.　　（2）加减法解二元一次方程组的步骤　　①利用等式的基本性质,将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式；　　②再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减,消去一个未知数,得到一个一元一次方程（一定要将方程的两边都乘以同一个数,切忌只乘以一边,然后若未知数系数相等则用减法,若未知数系数互为相反数,则用加法）；　　③解这个一元一次方程,求出未知数的值；　　④将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中,求出另一个未知数的值；　　⑤用“{”联立两个未知数的值,就是方程组的解；　　⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验,方程是否满足左边=右边）.　　如：　　{5x+3y=9①　　{10x+5y=12②　　把①扩大2倍得到③　　{10x+6y=18　　③-②得：　　10x+6y-(10x+5y)=18-12　　y=6　　再把y=带入①.②或③中　　解之得:{x=-9/5　　{y=6
二元二次方程示例
解:2x+y^2+3xy+6x+2y+12=0…①,
且x^2+4y^2+4xy+x+y+15=0…②.
提示:的基本思想是消元与。仅仅就其消元而言，任给的①,②都难以直接用一个变量表示另一个变量(即用关于x的表示y,或y的代数式用表示x)，其症结在于二元二次项3xy,4xy，因此，首先需消去二元二次项。②*3-①*4，得到一个新的方程。再运用分别将其x,y配方为如下形式:a(x+i)^2+b(y+j)^2+c=0,就可实现了用一个变量表示另一个变量，但其涉及到开方，且变为作解，比较复杂。就其降次而言，可运用(包括的推广:双十字相乘法)，难度较大。也可以运用函数的。在此，仅作点拨。总的而言，一般有三种普遍的方法:代数方程解法，因式分解法，运用函数。 上传我的文档
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