趣题求解析！两道很有意思的概率问题 丢失的机票&随机取物奇偶性~转自matrix67 | 死理性派小组 | 果壳网 科技有意思
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1.问题：一架客机上有100个座位，100个人排队依次登机。第一个乘客把机票搞丢了，但他仍被允许登机。由于他不知道他的座位在哪儿，他就随机选了一个座位坐下。以后每一个乘客登机时，如果他的座位是空着的，那么就在他的座位坐下；否则，他就随机选一个仍然空着的座位坐下。请问，最后一个人登机时发现唯一剩下的空位正好就是他的，其概率是多少？解析：当最后一个乘客登机时，最后一个空位要么就是他的，要么就是第一个乘客的。由于所有人选择座位时都是随机选择的，这两个位置的“地位”相等，它们所面对的“命运”是相同的，不存在哪个概率大哪个概率小的问题。因此，它们成为最后一个空位的概率是均等的。也就是说，最后一个人发现剩下的空位正好是他的，其概率为50%。----------------------------------------------------- 我 是 分 割 线 -----------------------------------------------------请问中这句话：“当最后一个乘客登机时，最后一个空位要么就是他的，要么就是第一个乘客的。”怎么解释？...我还有一个大胆的猜想...（实际上就是数学水平不高没法去实践证明对错...）：如果真是这样，100个客人时概率是50%的话，那么会不会200个人是的概率也是50%，如果是的话50个人，10个人，直至减少到2个人也是50%...2.问题：桌子上有10件东西。你随机取走几件，请问你手上的物体个数是奇数的可能性大还是偶数的可能性大？所谓“随机取物”，是说每一个物体被取走的概率都是1/2。因此，你有可能取走所有的物体，也有可能一样都没拿。 继续看下去之前，请你先思考一下。把桌子上的物品个数换成5个，你的答案又是多少？继续看下去之前，请你先思考一下。显然，当桌子上物品数为5时，取走物品的个数是奇是偶概率一样，因为取0件和取5件的概率是相同的，取1件和取4件的概率也是相同的，取2件和取3件的概率还是相同的，最终算下来取奇数件和取偶数件的概率相同。现在再回过头去想想物品数为10的情况，仍然坚持你原来的答案吗？或者有什么新的想法？继续看下去之前，请你先思考一下。当桌子上有10件物品时，取走物品的个数是奇是偶概率仍然一样。把这10件物品平分成两堆，左边5件，右边5件，那么你会发现：左边和右边所取物品的个数有四种概率相等的组合：奇偶、偶奇、奇奇、偶偶。前两种情况下总的数目是奇数，后两种情况下总的数目是偶数。奇数和偶数的概率仍然相同。----------------------------------------------------- 我 是 分 割 线 -----------------------------------------------------好...问题和解答到这里就都结束了...如果不把十个物品分成5&5两拨的话好像算出的奇偶概率并不相同，可是如果分开算的话却有相同，难道十个物品不分开直接拿的话这从0~10这十种概率不是平均的？不是随机取物么？概率应该相同啊...
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1.最后一个乘客登机的时候,第一个机票掉了的乘客要么坐的是他自己的位置要么坐的是最后那个乘客的位置当机票掉了的乘客坐的自己的位置时最后发现剩下的空位就正好是最后那个乘客的嘛~所以50%~
教育无边界字幕组概率课组长
第二个没理解，第一个很好理解。假设某会场100名与会人员入会时需要领取一个写有自己名字牌子。第一名与会人员没找到自己的牌子，于是随便拿了个牌子（有百分之一的可能性刚好是自己的。但他没有进一步检查）又来了98个会员，他们都找到了自己的牌子（假设第一个会员拿到的不是自己的牌子，且那个牌子的主人最后才来）。最后来的会员，拿了剩下的那个牌子（也就是第一个会员的牌子。）
引用 的话：1.最后一个乘客登机的时候,第一个机票掉了的乘客要么坐的是他自己的位置要么坐的是最后那个乘客的位置当机票掉了的乘客坐的自己的位置时最后发现剩下的空位就正好是最后那个乘客的嘛~所以50%~谢谢...懂了...求问第二道题...谢谢...
引用 的话：第二个没理解，第一个很好理解。假设某会场100名与会人员入会时需要领取一个写有自己名字牌子。第一名与会人员没找到自己的牌子，于是随便拿了个牌子（有百分之一的可能性刚好是自己的。但他没有进一步检查）又来了98个会员，他们都找到了自己的牌子（假设第一个会员拿到的不是自己的牌子，且那个牌子的主人最后才来）。最后来的会员，拿了剩下的那个牌子（也就是第一个会员的牌子。）这个貌似比机票更好理解了...谢谢~
10个物品不分开算的时候楼主是这样算的吧：0个和10个概率相同1个和9个概率相同……4个和6个概率相同注意这时候跟5个的算法是不同的
10个分成两堆，左边取5个，就是右边取0个，所以问题是不是出在重复计算上了。没仔细想也不知道对不对~
NGA论坛著名版主
第二个问题的答案明显的在挖坑骗人吧？每组有0-5的取法。可是如果分2组就有对应关系了吧？0-0、0-1、0-2、0-3、0-4、0-51-0、1-1、1-2、1-3、1-4、1-52-0、2-1、2-2、2-3、2-4、2-53-0、3-1、3-2、3-3、3-4、3-54-0、4-1、4-2、4-3、4-4、4-55-0、5-1、5-2、5-3、5-4、5-5所以你发现问题了么？似乎按这个的说法……取0个概率是1/36，取1个概率是1/18，取2个概率是1/12？这样算的？那如果我按4-6分组呢？0-0、0-1、0-2、0-3、0-4、0-5、0-61-0、1-1、1-2、1-3、1-4、1-5、1-62-0、2-1、2-2、2-3、2-4、2-5、2-63-0、3-1、3-2、3-3、3-4、3-5、3-64-0、4-1、4-2、4-3、4-4、4-5、4-6咦，怎么变1/35了？所以，分组后，每组出现的概率真的是一致的么？
引用 的话：10个物品不分开算的时候楼主是这样算的吧：0个和10个概率相同1个和9个概率相同……4个和6个概率相同注意这时候跟5个的算法是不同的会不会不分开算的时候5应该被算两遍，所以最后概率相同？
引用 的话：10个分成两堆，左边取5个，就是右边取0个，所以问题是不是出在重复计算上了。没仔细想也不知道对不对~可能就是因为看似相同的概率其实不同...
引用 的话：第二个问题的答案明显的在挖坑骗人吧？每组有0-5的取法。可是如果分2组就有对应关系了吧？0-0、0-1、0-2、0-3、0-4、0-51-0、1-1、1-2、1-3、1-4、1-52-0、2-1、2-2、2-3、2-4、2-53-0、3-1、3-2、3-3、3-4、3-54-0、4-1、4-2、4-3、4-4、4-55-0、5-1、5-2、5-3、5-4、5-5所以你发现问题了么？似乎按这个的说法……取0个概率是1/36，取1个概率是1/18，取2个概率是1/12？这样算的？那如果我按4-6分组呢？0-0、0-1、0-2、0-3、0-4、0-5、0-61-0、1-1、1-2、1-3、1-4、1-5、1-62-0、2-1、2-2、2-3、2-4、2-5、2-63-0、3-1、3-2、3-3、3-4、3-5、3-64-0、4-1、4-2、4-3、4-4、4-5、4-6咦，怎么变1/35了？所以，分组后，每组出现的概率真的是一致的么？是啊，这种问题应该跟著名的主持人问题（参见《决战21点》）有相同之处...可是这选0的概率咋就不一样了呢...悖论？...
第二问分不分开算概率都是一样的，这是某个组合数公式设n个元素取m个元素的组合数为C(m,n)则有C(0,n)+C(2,n)+C(4,n)...=C(1,n)+C(3,n)+C(5,n)...=2^(n-1)比如：1+6+1=4+4=2^（4-1）
（对于1 4 6 41）
我一直都认为规律只有1/2，要么。。。要么。。。
第二题应该用超几何分布做不是吗？
引用 的话：第二个问题的答案明显的在挖坑骗人吧？每组有0-5的取法。可是如果分2组就有对应关系了吧？0-0、0-1、0-2、0-3、0-4、0-51-0、1-1、1-2、1-3、1-4、1-52-0、2-1、2-2、2-3、2-4、2-53-0、3-1、3-2、3-3、3-4、3-54-0、4-1、4-2、4-3、4-4、4-55-0、5-1、5-2、5-3、5-4、5-5所以你发现问题了么？似乎按这个的说法……取0个概率是1/36，取1个概率是1/18，取2个概率是1/12？这样算的？那如果我按4-6分组呢？0-0、0-1、0-2、0-3、0-4、0-5、0-61-0、1-1、1-2、1-3、1-4、1-5、1-62-0、2-1、2-2、2-3、2-4、2-5、2-63-0、3-1、3-2、3-3、3-4、3-5、3-64-0、4-1、4-2、4-3、4-4、4-5、4-6咦，怎么变1/35了？所以，分组后，每组出现的概率真的是一致的么？你这些都不是等概率了，怎么能1/35或1/36？0-0的概无论如何都是1/1024。
引用 的话：我一直都认为规律只有1/2，要么。。。要么。。。
要么...要么...要么什么？...
引用 的话：第二题应该用超几何分布做不是吗？请教什么是超几何分布？...谢谢~
引用 的话：第二问分不分开算概率都是一样的，这是某个组合数公式设n个元素取m个元素的组合数为C(m,n)则有C(0,n)+C(2,n)+C(4,n)...=C(1,n)+C(3,n)+C(5,n)...=2^(n-1)比如：1+6+1=4+4=2^（4-1）
（对于1 4 6 41）我只知道C(m,n)=n!/(m!(n-m)!) TT
引用 的话：第二题应该用超几何分布做不是吗？二项分布吧...引用 的话：我只知道C(m,n)=n!/(m!(n-m)!) TT我不该用“组合数公式”这个字眼的...C(0,n)+C(2,n)+C(4,n)...=C(1,n)+C(3,n)+C(5,n)...=2^(n-1) 这个应该叫一条组合恒等式第二问求概率的话，两边同时除以2^n，就是C(0,n)/2^n+C(2,n)/2^n+C(4,n)/2^n...=C(1,n)/2^n+C(3,n)/2^n+C(5,n)/2^n...=2^(n-1) /2^n = 1/2，明显奇偶概率相等
引用 的话：第二个没理解，第一个很好理解。假设某会场100名与会人员入会时需要领取一个写有自己名字牌子。第一名与会人员没找到自己的牌子，于是随便拿了个牌子（有百分之一的可能性刚好是自己的。但他没有进一步检查）又来了98个会员，他们都找到了自己的牌子（假设第一个会员拿到的不是自己的牌子，且那个牌子的主人最后才来）。最后来的会员，拿了剩下的那个牌子（也就是第一个会员的牌子。） 为什么说那个牌子的主人最后才来？
教育无边界字幕组概率课组长
引用 的话： 为什么说那个牌子的主人最后才来？只是假设，什么时候来不重要，假设他第二个就上来了，发现自己的牌子被人拿了，于是拿了第三个上来的人的牌子，第三个拿个第四个，第四个拿了第五个，这样最后拿个就拿了剩下的第一个。
第一个不解释 多读题第二个，分歧在这里，不分堆的话，你若不取一个物体，那就是0 即 0=0
分成AB两堆的话，你若不取一个物体，那就是A为0，B也为0 即 0+0=0 或者这样理解若0也为一个元素，则不分堆的话共有11个元素 分堆得话由于每一堆均可以取0 共有12个元素 So……
（个人理解）
NGA论坛著名版主
引用 的话：你这些都不是等概率了，怎么能1/35或1/36？0-0的概无论如何都是1/1024。本来我就没说这是等概率的。但你看原帖的里的意思不就是这样么？
引用 的话：本来我就没说这是等概率的。但你看原帖的里的意思不就是这样么？原帖是分为55两组，每组都奇偶等概率，然后再判断两组组合的奇偶性，而你拿来组合的0123456，则不是等概率的，当然会出现矛盾了。其实不一定非要分55，只要是奇数组合都可以简单判断，比如91分组，易知9个这组奇偶等概率，1个的选中的奇偶性就相反，没选中奇偶性就不变，那自然是奇偶等概率了。
引用 的话：谢谢...懂了...求问第二道题...谢谢...你的懂点真低啊???一楼说的是错的，二楼只是把座位换成了牌子，跟没说一样，你就懂了？第一个登机的人A是随机坐的，坐到自己的位置和坐到最后登机的Z的位置的概率都是1/100，假设他坐了B的位置，在B登机前登机的人都坐在自己的位置上，B登机后只能随机坐，B之后还有n人未登机，那么B坐到A位置和Z位置的概率都是1/(n+1)，依此类推，直到有人坐了A的位置，之后登机的人都坐在自己的位置上(包括最后登机的Z)，或者有人坐到了Z的位置上，之后登机的其他人都坐在自己的位置上，把A位置留给了Z，由于每个随机坐的人坐到A或Z的概率都相等，所以最后剩下A或Z也是等概率的。
NGA论坛著名版主
引用 的话：原帖是分为55两组，每组都奇偶等概率，然后再判断两组组合的奇偶性，而你拿来组合的0123456，则不是等概率的，当然会出现矛盾了。其实不一定非要分55，只要是奇数组合都可以简单判断，比如91分组，易知9个这组奇偶等概率，1个的选中的奇偶性就相反，没选中奇偶性就不变，那自然是奇偶等概率了。那也不对啊……按土办法算下。0、2、4、6、8、10的概率=C（10,0）+C（10,2）+C（10,4）+C（10,6）+C（10,8）+C（10,10）=1+45+210+210+45+1=5121、3、5、7、9的概率=C（10,1）+C（10,3）+C（10,5）+C（10,7）+C（10,9）=10+120+252+120+10=512好吧……我被绕进去了，反直觉了下。也就是说其实这道题目证明里一点……如果是随机偷，那么偷走奇数和偶数，与实际上有多少完全没关系……永远是50%
引用 的话：你的懂点真低啊???一楼说的是错的，二楼只是把座位换成了牌子，跟没说一样，你就懂了？第一个登机的人A是随机坐的，坐到自己的位置和坐到最后登机的Z的位置的概率都是1/100，假设他坐了B的位置，在B登机前登机的人都坐在自己的位置上，B登机后只能随机坐，B之后还有n人未登机，那么B坐到A位置和Z位置的概率都是1/(n+1)，依此类推，直到有人坐了A的位置，之后登机的人都坐在自己的位置上(包括最后登机的Z)，或者有人坐到了Z的位置上，之后登机的其他人都坐在自己的位置上，把A位置留给了Z，由于每个随机坐的人坐到A或Z的概率都相等，所以最后剩下A或Z也是等概率的。谢谢你！我去认真的想一想...概率神马的最头痛了...
通信专业博士生，编程爱好者
第二题你们都搞复杂了啊。题目少说一个条件，每个物体是否被取走都是独立的。我们只需要考虑先确定前9个物体数目是奇数的概率，虽然我们知道是1/2，但其实是多少都无所谓。因为最后一个物品是否被取是独立的1/2概率，也就是一半的概率奇偶翻转，一半的概率不变，那最终结果一定是奇偶概率各半另外 没看懂原题的解法。首先他默认每个物体被取是独立的。那两堆被取的数目也是互相独立的。然后利用了之前给出的5个随机取奇偶各半的结论得出每一堆的数目也是奇偶各半，然后才有后面的结论。矩阵67同学不会傻到硬套古典概型
(C)2016果壳网&&&&京ICP证100430号&&&&京网文[-239号&&&&新出发京零字东150005号关于求概率问题从5双不同的手套中任取4只,其中至少有2只配成一双 - 爱问知识人
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关于求概率问题
中任取4只,其中至少有2只配成一双的概率为多少?
为什么不能用C(5 1)*C(8 2)/C(10 4)得出结果啊
C(5 1)*C(8 2)重复算了
如果有ABCDE5双手套
某一次：C(5 1)是选了A的2只,C(8 2)是选了B的2只
另一次：C(5 1)是选了B的2只,C(8 2)是选了A的2只
而这两种情况是一样的
正确算法是
有2双：C(5 2)
有且只有1双：C(5 1)*C(4 2)*C(2 1)*C(2 1)
概率是[C(5 2)+C(5 1)*C(4 2)*C(2 1)*A(2 1)]/C(10 4)=13/21
大家还关注随机事件的概率及计算
随机事件的概率及计算
随机事件的概率及计算
随机事件的概率、古典概型、几何概型及随机模拟
二. 课标要求：
1、在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别；
2、通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式；
3、通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
4、了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义；
5、通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。
三、命题走向
本讲内容在高考中所占比重不大，纵观近几年的高考形式对涉及到有关概念的某些计算要求降低，但试题中具有一定的灵活性、机动性。纵观近几年的高考对概率要求降低，几何概型是新加内容，考试涉及的可能性较大。
预测高考：
对概率考查的重点以互斥事件、古典概型、几何概型的概率事件的计算为主，而以实际应用题出现的形式多以选择题、填空题为主。
四、教学过程
（一）基本知识要点回顾
1、随机事件的概念
在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。
（1）随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；
（2）必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；
（3）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。
2、随机事件的概率
事件A的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）。
由定义可知0≤P（A）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。
3、事件间的关系
（1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；
（2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；
4、事件间的运算
（1）并事件（和事件）
若某事件的发生是事件A或事件B发生，则此事件称为事件A与事件B的并事件。
注：当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：
P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥）；且有P（A+）=P（A）+P（）=1。
（2）交事件（积事件）
若某事件的发生是事件A和事件B同时发生，则此事件称为事件A与事件B的交事件。
5、古典概型
（1）古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；
（2）古典概型的概率计算公式：P（A）=；
一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n个，即此试验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一基本事件的概率都是。如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率P（A）=。
6、随机数的概念
随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的。
7、随机数的产生方法
（1）利用函数计算器可以得到0~1之间的随机数；
（2）在Scilab语言中，应用不同的函数可产生0~1或a~b之间的随机数。
8、几何概型的概念
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；
9、几何概型的概率公式：
10、几种常见的几何概型
（1）设线段l是线段L的一部分，向线段L上任投一点.若落在线段l上的点数与线段L的长度成正比，而与线段l在线段L上的相对位置无关，则点落在线段l上的概率为：
P=l的长度/L的长度
（2）设平面区域g是平面区域G的一部分，向区域G上任投一点，若落在区域g上的点数与区域G的面积成正比，而与区域g在区域G上的相对位置无关，则点落在区域g上概率为：P=g的面积/G的面积
（3）设空间区域上v是空间区域V的一部分，向区域V上任投一点。若落在区域v上的点数与区域V的体积成正比，而与区域v在区域V上的相对位置无关，则点落在区域v上的概率为：P=v的体积/V的体积
【典型例题】
例1、判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？
（1）“抛一石块，下落”.
（）“在标准大气压下且温度低于℃时，冰融化”；
（）“某人射击一次，中靶”；
（）“如果＞，那么－＞”
（）“掷一枚硬币，出现正面”；
（）“导体通电后，发热”；
（）“从分别标有号数，，，，的张标签中任取一张，得到号签”；
（）“某电话机在分钟内收到次呼叫”；
（）“没有水分，种子能发芽”；
（）“在常温下，焊锡熔化”．
解：根据定义，事件（1）、（4）、（6）是必然事件；事件（2）、（9）、（10）是不可能事件；事件（3）、（5）、（7）、（8）是随机事件。
点评：熟悉必然事件、不可能事件、随机事件的联系与区别。针对不同的问题加以区分。
例2、（1）如果某种彩票中奖的概率为，那么买1000张彩票一定能中奖吗？请用概率的意义解释。
解：不一定能中奖，因为，买1000张彩票相当于做1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，即每张彩票可能中奖也可能不中奖，因此，1000张彩票中可能没有一张中奖，也可能有一张、两张乃至多张中奖。
点评：买1000张彩票，相当于1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以做1000次试验的结果也是随机的，也就是说，买1000张彩票有可能没有一张中奖。
（2）在一场乒乓球比赛前，裁判员利用抽签器来决定由谁先发球，请用概率的知识解释其公平性。
解：这个规则是公平的，因为抽签上抛后，红圈朝上与绿圈朝上的概率均是0.5，因此任何一名运动员猜中的概率都是0.5，也就是每个运动员取得先发球权的概率都是0.5。
点评：这个规则是公平的，因为每个运动员先发球的概率为0.5，即每个运动员取得先发球权的概率是0.5。事实上，只能使两个运动员取得先发球权的概率都是0.5的规则都是公平的。
例3、某种菜籽在相同的条件下发芽试验结果如下表：（求其发芽的概率）
解：我们根据表格只能计算不同情况下的种子发芽的频率分别是：1，0.8，0.9，0.857，0.892，0.910，0.913，0.893，0.903，0.905。随着种子粒数的增加，菜籽发芽的频率越接近于0.9，且在它附近摆动。故此种子发芽的概率为0.9。
点评：我们可以用频率的趋向近似值表示随机事件发生的概率。
例4、（1）某战士在打靶中，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是（&& ）
&&&&&& （A）至多有一次中靶&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （B）两次都中靶
&&&&&& （C）两次都不中靶&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （D）只有一次中靶
点评：根据实际问题分析好对立事件与互斥事件间的关系。
（2）把标号为1，2，3，4的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一个。事件“甲分得1号球”与事件“乙分得1号球”是（&& ）
A、互斥但非对立事件&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B、对立事件
C、相互独立事件&&&&&&& &&&&&&&&&& &&&&&&&& D、以上都不对
点评：一定要区分开对立和互斥的定义，互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件。
例5、从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。
解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a1，a2）和，（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b2，a2）。其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品，用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，
则A=[（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）]，
事件A由4个基本事件组成，因而，P（A）==。
点评：利用古典概型的计算公式时应注意两点：（1）所有的基本事件必须是互斥的；（2）m为事件A所包含的基本事件数，求m值时，要做到不重不漏。
例6、现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：
（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；
（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率。
分析：（1）为返回抽样；（2）为不返回抽样。
解：（1）有放回地抽取3次，按抽取顺序（x，y，z）记录结果，则x，y，z都有10种可能，所以试验结果有10×10×10=103种；设事件A为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有8×8×8=83种，因此，P（A）= =0.512。
（2）可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x，y，z），则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8=720种．设事件B为“3件都是正品”，则事件B包含的基本事件总数为8×7×6=336， 所以P（B）= ≈0.467。
点评：关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误。
例7、掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率。
错解：掷两枚骰子出现的点数之和不同情况为{2，3，4，…，12}，故共有11种基本事件，所以概率为P=；
剖析：以上11种基本事件不是等可能的，如点数之和为2只有（1，1），而点数之和为6有（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）共5种．事实上，掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为P=。
点评：我们经常见的题里还有“投掷两枚硬币的结果”，划分基本事件“两正、一正一反、两反”，其中“一正一反”与“两正”、“两反”的机会是不均等的。
例8、一个实验是这样做的，将一条5米长的绳子随机地切断成两条，事件T表示所切两段绳子都不短于1米的事件，考虑事件T发生的概率。
分析：类似于古典概型，我们希望先找到基本事件组，即找到其中每一个基本事件。注意到每一个基本事件都与唯一一个断点一一对应，故引例中的实验所对应的基本事件组中的基本事件就与线段AB上的点一一对应，若把离绳AB首尾两端1的点记作M、N，则显然事件T所对应的基本事件所对应的点在线段MN上。由于在古典概型中事件T的概率为T包含的基本事件个数/总的基本事件个数，但这两个数字（T包含的基本事件个数、总的基本事件个数）在引例1中是无法找到的，不过用线段MN的长除以线段AB的长表示事件T的概率似乎也是合理的。
解：P（T）=3/5。
点评：本题是典型的几何概型.
例9、（意大利馅饼问题）山姆的意大利馅饼屋中设有一个投镖靶，该靶为正方形板．边长为18厘米，挂于前门附近的墙上，顾客花两角伍分的硬币便可投一镖并可有机会赢得一种意大利馅饼中的一个，投镖靶中画有三个同心圆，圆心在靶的中心，当投镖击中半径为1厘米的最内层圆域时，可得到一个大馅饼；当击中半径为1厘米到2厘米之间的环域时，可得到一个中馅饼；如果击中半径为2厘米到3厘米之间的环域时，可得到一个小馅饼，如果击中靶上的其他部分，则得不到馅饼，我们假设每一个顾客都能投镖中靶，并假设每个圆的周边线没有宽度，即每个投镖不会击中线上，试求一顾客将赢得：
（a）一张大馅饼，
（b）一张中馅饼，
（c）一张小馅饼，
（d）没得到馅饼的概率
解：我们实验的样本空间可由一个边长为18的正方形表示。下图表明R和子区域r1、r2、r3和r4，它们分别表示得大馅饼、中馅饼、小馅饼或没得到馅饼的事件。
例10、假设车站每隔 10 分钟发一班车，随机到达车站，问等车时间不超过 3 分钟的概率？
解：以两班车出发间隔（0，10）区间作为样本空间 S，乘客随机地到达，即在这个长度是10的区间里任何一个点都是等可能地发生，因此是几何概率问题。
要使得等车的时间不超过 3 分钟，即到达的时刻应该是图中 A 包含的样本点，
p=== 0.3 。
例11、（1）在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，求发现大肠杆菌的概率。
解：由于取水样的随机性，所求事件的概率等于水样的体积与总体积之比，即。
（2）如果在一个5万平方公里的海域里有表面积达40平方公里的大陆架贮藏着石油，假如在这海域里随意选定一点钻探，问钻到石油的概率是多少?
解：由于选点的随机性，可以认为该海域中各点被选中的可能性是一样的，因而所求概率自然认为等于贮油海域的面积与整个海域面积之比，即等于40/8。
例12、随机地向半圆（为正常数）内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与轴的夹角小于的概率。
解：半圆域如图
&&& 设‘原点与该点连线与轴夹角小于’
&&& 由几何概率的定义
［思维小结］
本讲概念性强、抽象性强、思维方法独特。因此要立足于基础知识、基本方法、基本问题的练习，恰当选取典型例题，构建思维模式，造就思维依托和思维合理的定势。
1、使用公式P（A）=计算时，确定m、n的数值是关键所在，其计算方法灵活多变，没有固定的模式，可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不重复不遗漏。
复习这部分内容及解答此类问题首先必须明确判断两点：（1）对于每个随机实验来说，所有可能出现的实验结果数n必须是有限个；（2）出现的所有不同的实验结果数m其可能性大小必须是相同的。只有在同时满足（1）、（2）的条件下，运用的古典概型计算公式P（A）=m/n得出的结果才是正确的。
2、对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：
第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系；
第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的；
第三，两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的。
3、对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合A的对立事件记作，从集合的角度来看，事件所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集，即A∪=U，A∩=.对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。
事件A、B的和记作A+B，表示事件A、B至少有一个发生。当A、B为互斥事件时，事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的。
当计算事件A的概率P（A）比较困难时，有时计算它的对立事件的概率则要容易些，为此有P（A）=1－P（）。
对于n个互斥事件A1，A2，…，An，其加法公式为P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）。
分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想。
4、在应用题背景条件下，能否把一个复杂事件分解为若干个互相排斥或相互独立、既不重复又不遗漏的简单事件是解答这类应用题的关键，也是考查学生分析问题、解决问题的能力的重要环节。
5、几何概率是考研大纲上要求的基本内容，也是近年来新增考查内容之一；
6、有关几何概率的题目难度不大，但需要准确理解题意，利用图形分析问题。本讲将着重介绍如何利用图形解决几何概率的相关问题；
、关于几何概型：
（）我们是就平面的情形给出几何概型的，同样的方法显然也适用于直线或空间的情形，只需将“面积”相应地改变为“长度”、“体积”；
（2）几何概型并不限于向平面（或直线、空间）投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面（或直线、空间）中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决。
【模拟试题】
一、选择题
1、下列叙述错误的是（&&&& ）
A、频率是随机的，在试验前不能确定，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
B、若随机事件发生的概率为，则
C、互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
D、张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到有奖奖券的可能性相同
2、从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（&&& ）
A、&&&&& B、&&&&& C、&&& &&D、无法确定
3、有五条线段长度分别为，从这条线段中任取条，则所取条线段能构成一个三角形的概率为（&& ）
A、&&&& B、&&& C、&&&&& D
4、从个同类产品（其中个是正品，个是次品）中任意抽取个的必然事件是（&& ）
A、个都是正品&& &&&&&&&&&& B、至少有个是次品　
C、个都是次品& &&&&&&&&&&& D、至少有个是正品
5、某产品分为甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为，出现丙级品的概率为，则对产品抽查一次抽得正品的概率是（&&&&& ）
A、&&&&& B、&&&& C、&&&&& D、
6、从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于的概率为，质量小于的概率为，那么质量在（ &）范围内的概率是（&& ）
A、&&&& B、&&&& C、&&&& D、
7、（07重庆理）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为
A、&&&&&&&&&&&&&&&&&& B、&&&&&&&&&&&&&&& C、&&&&&&&&&&&&&&&&&& D、
二、填空题
1、有一种电子产品，它可以正常使用的概率为，则它不能正常使用的概率是_________。
2、一个三位数字的密码键，每位上的数字都在到这十个数字中任选，某人忘记后一个号码，那么此人开锁时，在对好前两位数码后，随意拨动最后一个数字恰好能开锁的概率为_________。
3、同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是_________。
4、从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是_________。
5、在张卡片上分别写有数字然后将它们混合，再任意排列成一行，则得到的数能被或整除的概率是_________。
三、解答题
1、从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表，求：
（1）甲被选中的概率
（2）丁没被选中的概率
2、现有一批产品共有件，其中件为正品，件为次品：
（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续次取出的都是正品的概率；
（2）如果从中一次取件，求件都是正品的概率。
3、某路公共汽车分钟一班准时到达某车站，求任一人在该车站等车时间少于分钟的概率（假定车到来后每人都能上）
& 4、一个路口的红绿灯，红灯的时间为秒，黄灯的时间为秒，绿灯的时间为秒，当你到达路口时看见下列三种情况的概率各是多少?
（1） 红灯&&&& （2） 黄灯&& （3）& 不是红灯
5、投镖游戏中的靶子由边长为1米的四方板构成，并将此板分成四个边长为1/2米的小方块。实验是向板中投镖，事件A表示投中阴影部分为成功，考虑事件A发生的概率。
【试题答案】
一、选择题&&
1、A& 频率会稳定在某个常数上，这个常数叫做概率，
3、B& 能构成三角形的边长为三种，
4、D& 至少有一件正品&& 5& D&
二、填空题
5、&& 个位总的来说有种情况，符合条件的有种
三、解答题
1、解：（1）记甲被选中为事件，则
&&&&&&& （2）记丁被选中为事件，则
2、解：（1）有放回地抽取次，按抽取顺序记录结果，则都有种可能，所以试验结果有种；设事件为“连续次都取正品”，则包含的基本事件共有种，因此，
（2）可以看作不放回抽样次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录，则有种可能，有种可能，有种可能，所以试验的所有结果为种。设事件为“件都是正品”，则事件包含的基本事件总数为，所以。
3、解：可以认为人在任何时刻到站是等可能的。设上一班车离站时刻为，则该人到站的时刻的一切可能为，若在该车站等车时间少于分钟，则到站的时刻为，。
4、解：总的时间长度为秒，设红灯为事件，黄灯为事件，
（1）出现红灯的概率
（2）出现黄灯的概率
（3）不是红灯的概率
5、分析与解答：可以把此引例中的实验所对应的基本事件组与大的正方形区域联系在一起，即事件组中的每一个基本事件与大正方形区域中的每一个点一一对应，则事件A所包含的基本事件就与阴影正方形中的点一一对应，这样我们用阴影正方形的面积除以大正方形的面积表示事件A的概率是合理的。这一点我们完全可以用引例1的方法验证其正确性。
解：P（A）=（1/2）2/12=1/4。
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