韩信暗点兵
说两则韩信的故事吧。
我还是六、七岁时，就听老人说，当时百八十兵点数时，并不是像现在学校模式，站成一排“报数”。韩信只是让全体士兵站成三人一排，再五人一排，再七人一排，则立即算出士兵总人数。
所谓，亘古之奇，韩信暗点兵，现觉得知晓之人寥寥，记之，供玩味，其原理莫测，百事均鉴，不妨一试。
歌诀：三人同行七十稀& 五束梅花二十一&
妻子团圆整半月& 剖百零五便得知
示例：如士兵总数为90
三人一排90被3除& 余数0
五人一排90被5除& 余数0
七人一排90被7除& 余数6
歌诀内诀窍：
如果被3除余1，为70。余2则为140，
&&&&如果被5除余1，为21，余2为42，余3就是63，余4就是84。
&&&&如果被7除余1，为15，余2为30，余3为45，余4为60，余5为75，余6为90。
&&&&然后得数再减105，不够不减，若减完还超过105，则再继续减105，依此类推。
故上例说明，被3除是0，5除是0，7除余6，即等于90。
韩信暗点兵现代玩法：在餐桌、酒会、聚餐、逗小孩、耍小聪明、增添乐趣时，都可以做此游戏。让一人心想一个数字（在105以内数），并告诉除3除5除7的余数，然后，表演者便神奇魔幻般的将总数说出。游戏重点记住歌诀中的数字。
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韩信暗点兵
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三人冈行七十里
五马二十一人骑
七子回家半个月
除百零五十佳期
今有一物不知数
法月三数剩一即七十里
五数剩四即二十一只
期亡数剩一即回归半月
和共数一百六十九只
除百零五实是六十口只
谁能猜出其中隐藏的秘密啊。
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秦王暗点兵问题和韩信乱点兵问题，都是后人对物不知其数问题的一种故事化。
物不知其数问题出自一千六百年前我国古代数学名著《孙子算经》。原题为：&今有物不知其数，三三数之二，五五数之三，七七数之二，问物几何？&
这道题的意思是：有一批物品，不知道有几件。如果三件三件地数，就会剩下两件；如果五件五件地数，就会剩下三件；如果七件七件地数，也会剩下两件。问：这批物品共有多少件？
变成一个纯粹的数学问题就是：有一个数，用3除余2，用5除余3，用7除余2。求这个数。
这个问题很简单：用3除余2，用7除也余2，所以用3与7的最小公倍数21除也余2，而用21除余2的数我们首先就会想到23；23恰好被5除余3，所以23就是本题的一个答案。
这个问题之所以简单，是由于有被3除和被7除余数相同这个特殊性。如果没有这个特殊性，问题就不那么简单了，也更有趣得多。
我们换一个例子；韩信点一队士兵的人数，三人一组余两人，五人一组余三人，七人一组余四人。问：这队士兵至少有多少人？
这个题目是要求出一个正数，使之用3除余2，用5除余3，用7除余4，而且希望所求出的数尽可能地小。
如果一位同学从来没有接触过这类问题，也能利用试验加分析的办法一步一步地增加条件推出答案。
例如我们从用3除余2这个条件开始。满足这个条件的数是3n+2，其中n是非负整数。
要使3n+2还能满足用5除余3的条件，可以把n分别用1，2，3，…代入来试。当n=1时，3n+2=5，5除以5不用余3，不合题意；当n=2时，3n+2=8，8除以5正好余3，可见8这个数同时满足用3除余2和用5除余3这两个条件。
最后一个条件是用7除余4。8不满足这个条件。我们要在8的基础上得到一个数，使之同时满足三个条件。
为此，我们想到，可以使新数等于8与3和5的一个倍数的和。因为8加上3与5的任何整数倍所得之和除以3仍然余2，除以5仍然余3。于是我们让新数为8+15m，分别把m=1，2，…代进去试验。当试到m=3时，得到8+15m=53，53除以7恰好余4，因而53合乎题目要求。
我国古代学者早就研究过这个问题。例如我国明朝数学家程大位在他著的《算法统宗》（1593年）中就用四句很通俗的口诀暗示了此题的解法：
三人同行七十稀，
五树梅花甘一枝，
七子团圆正半月，
除百零五便得知。
&正半月&暗指15。&除百零五&的原意是，当所得的数比105大时，就105、105地往下减，使之小于105；这相当于用105去除，求出余数。
这四句口诀暗示的意思是：当除数分别是3、5、7时，用70乘以用3除的余数，用21乘以用5除的余数，用15乘以用7除的余数，然后把这三个乘积相加。加得的结果如果比105大，就除以105，所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解。
按这四句口诀暗示的方法计算韩信点的这队士兵的人数可得：
70×2+21×3+15×4=263，
263=2×105+53，
所以，这队士兵至少有53人。
在这种方法里，我们看到：70、21、15这三个数很重要，稍加研究，可以发现它们的特点是：
70是5与7的倍数，而用3除余1；
21是3与7的倍数，而用5除余1；
15是3与5的倍数，而用7除余1。
70×2是5与7的倍数，用3除余2；
21×3是3与7的倍数，用5除余3；
15×4是3与5的倍数，用7除余4。
如果一个数除以a余数为b，那么给这个数加上a的一个倍数以后再除以a，余数仍然是b。所以，把70×2、21×3与15×4都加起来所得的结果能同时满足&用3除余2、用5除余3、用7除余4&的要求。一般地，
70m+21n+15k (1≤m＜3, 1≤n＜5,1≤k＜7)
能同时满足&用3除余m 、用5除余n 、用7除余k&的要求。除以105取余数，是为了求合乎题意的最小正整数解。
我们已经知道了70、21、15这三个数的性质和用处，那么，是怎么把它们找到的呢？要是换了一个题目，三个除数不再是3、5、7，应该怎样去求出类似的有用的数呢？
为了求出是5与7的倍数而用3除余1的数，我们看看5与7的最小公倍数是否合乎要求。5与7的最小公倍数是5×7=35，35除以3余2，35的2倍除以3余2，35的2倍除以3就能余1了，于是我们得到了&三人同行七十稀&。
为了求出是3与7的倍数而用5除余1的数，我们看看3与7的最小公倍数是否合乎要求。3与7的最小公倍数是3×7=21，21除以5恰好余1，于是我们得到了&五树梅花甘一枝&。
为了求出是3与5的倍数而用7除余1的数，我们看看3与5的最小公倍数是否合乎要求。3与5的最小公倍数是3×5=15，15除以7恰好余1，因而我们得到了&七子团圆正半月&。
3、5、7的最小公倍数是105，所以&除百零五便得知&。
例如：试求一数，使之用4除余3，用5除余2，用7除余5。
解：我们先求是5与7的倍数而用4除余1的数；5与7的最小公倍数是5×7=35，35除以4余3，3×3除以4余1，因而35×3=105除以4余1，105是5与7的倍数而用4除余1的数。
我们再求4与7的倍数而用5除余1的数；4与7的最小公倍数是4×7=28，28除以5余3，3×7除以5余1，因而28×7=196除余5余1，所以196是4与7的倍数而用5除余1的数。
最后求的是4与5的倍数而用7除余1的数：4与5的最小公倍数是4×5=20，20除以7余6，6×6除以7余1，因而20×6=120除以7余1，所以120是4与5的倍数而用7除余1的数。
利用105、196、120这三个数可以求出符合题目要求的解：
105×3+196×2+120×5=1307。
由于4、5、7的最小公倍数是4×5×7=140，1307大于140，所以1307不是合乎题目要求的最小的解。用1037除以140得到的余数是47，47是合乎题目的最小的正整数解。
105m+196n+120k (1≤m＜4,1≤n＜5,1≤k＜7)
是用4除余m,用5除余n,用7除余k的数(105m+196n+120k)除以140所得的余数是满足上面三个条件的最小的正数。
上面我们是为了写出105m+196n+120k这个一般表达式才求出了105这个特征数。如果只是为了解答我们这个具体的例题，由于5×7=35既是5与7的倍数除以4又余3，就不必求出105再乘以3了。
35+196×2+120×5=1027
就是符合题意的数。
由此也可以得出符合题意的最小正整数解47。
《算法统宗》中把在以3、5、7为除数&物不知其数&问题中起重要作用的70、21、15这几个特征数用几句口诀表达出来了，我们也可以把在以4、5、7为除数的问题中起重要作用的105、196、120这几个特征数编为口诀。留给读者自己去编吧。
凡是三个除数两两互质的情况，都可以用上面的方法求解。
上面的方法所依据的理论，在中国称之为孙子定理，国外的书籍称之为中国剩余定理。
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趣味数学：秦王暗点兵(一)
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　　秦王暗点兵问题和韩信乱点兵问题，都是后人对物不知其数问题的一种故事化。
　　物不知其数问题出自一千六百年前我国古代数学名着《孙子算经》。原题为：&今有物不知其数，三三数之二，五五数之三，七七数之二，问物几何？&
　　这道题的意思是：有一批物品，不知道有几件。如果三件三件地数，就会剩下两件；如果五件五件地数，就会剩下三件；如果七件七件地数，也会剩下两件。问：这批物品共有多少件？
　　变成一个纯粹的数学问题就是：有一个数，用3除余2，用5除余3，用7除余2。求这个数。
　　这个问题很简单：用3除余2，用7除也余2，所以用3与7的最小公倍数21除也余2，而用21除余2的数我们首先就会想到23；23恰好被5除余3，所以23就是本题的一个答案。
　　这个问题之所以简单，是由于有被3除和被7除余数相同这个特殊性。如果没有这个特殊性，问题就不那么简单了，也更有趣儿得多。
　　我们换一个例子；韩信点一队士兵的人数，三人一组余两人，五人一组余三人，七人一组余四人。问：这队士兵至少有多少人？
　　这个题目是要求出一个正数，使之用3除余2，用5除余3，用7除余4，而且希望所求出的数尽可能地小。
　　如果一位同学从来没有接触过这类问题，也能利用试验加分析的办法一步一步地增加条件推出答案。
　　例如我们从用3除余2这个条件开始。满足这个条件的数是3n+2，其中n是非负整数。
　　要使3n+2还能满足用5除余3的条件，可以把n分别用1，2，3，&代入来试。当n=1时，3n+2=5，5除以5不用余3，不合题意；当n=2时，3n+2=8，8除以5正好余3，可见8这个数同时满足用3除余2和用5除余3这两个条件。
　　最后一个条件是用7除余4。8不满足这个条件。我们要在8的基础上得到一个数，使之同时满足三个条件。
　　为此，我们想到，可以使新数等于8与3和5的一个倍数的和。因为8加上3与5的任何整数倍所得之和除以3仍然余2，除以5仍然余3。于是我们让新数为8+15m，分别把m=1，2，&代进去试验。当试到m=3时，得到8+15m=53，53除以7恰好余4，因而53合乎题目要求。(后续)
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我还是六、七岁时，就听老人说，当时百八十兵点数时，并不是像现在学校模式，站成一排“报数”。韩信只是让全体士兵站成三人一排，再五人一排，再七人一排，则立即算出士兵总人数。
所谓，亘古之奇，韩信暗点兵，现觉得知晓之人寥寥，记之，供玩味，其原理莫测，百事均鉴，不妨一试。
歌诀：三人同行七十稀 五束梅花二十一 妻子团圆整半月 剖百零五便得知
示例：如士兵总数为90
三人一排90被3除 余数0
五人一排90被5除 余数0
七人一排90被7除 余数6
歌诀内诀窍：
如果被3除余1，为70。余2则为140，
如果被5除余1，为21，余2为42，余3就是63，余4就是84。
如果被7除余1，为15，余2为30，余3为45，余4为60，余5为75，余6为90。
然后得数再减105，不够不减，若减完还超过105，则再继续减105，依此类推。
故上例说明，被3除是0，5除是0，7除余6，即等于90。
韩信暗点兵现代玩法：在餐桌、酒会、聚餐、逗小孩、耍小聪明、增添乐趣时，都可以做此游戏。让一人心想一个数字（在105以内数），并告
诉除3除5除7的余数，然后，表演者便神奇魔幻般的将总数说出。游戏重点记住歌诀中的数字。
三人同行七十稀，
五树梅花廿一枝，
七子团圆正半月，
除百零五便得知。
这就是韩信点兵的计算方法，它的意思是：凡是用3个一数剩下的余数，将它用70去乘（因为70是5与7的倍数，而又是以3去除余1的数）；5个一数剩下的余数，将它用21去乘（因为21是3与7的倍数，又是以5去除余1的数）；7个一数剩下的余数，将它用15去乘（因为15是3与5的倍数，又是以7去除余1的数），将这些数加起来，若超过105，就减掉105，如果剩下来的数目还是比105大，就再减去105，直到得数比105小为止。这样，所得的数就是原来的数了。根据这个道理，你可以很容易地把前面的五个题目列成算式：
1&70＋2&21＋2&15－105
＝142－105
因此，你可以知道，原来这一堆蚕豆有37粒。
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