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2.3.5 几个重要的函数
2.3.5 几个重要的函数
袁崇义/屈婉玲 等译
机械工业出版社
《离散数学及其应用（原书第6版）》第2章基本结构：集合、函数、数列与求和，本章将介绍数列的概念，它表示有序的元素排列。还将介绍一些重要类型的数列，讨论一个从几个初始条件确定的数列模式问题。用排序数列的概念将定义集合可数的含义，也就是说，能用一个数列列出集合的所有元素。本节为几个重要的函数。
2.3.5 几个重要的函数
下面介绍离散数学中两个重要的函数，即下取整函数和上取整函数。令x为实数。下取整函数把x下舍入到小于或等于x又最接近x的整数，而上取整函数则把x上舍入到大于或等于x又最接近x的整数。在统计对象个数时常使用这两个函数。在分析解一定规模的问题的计算机过程使用的步数时，这两个函数起着重要的作用。
下取整函数指派给实数x的是小于或等于x的最大整数。下取整函数在x的值用x表示。上取整函数指派给实数x的是大于或等于x的最小整数。上取整函数在x的值用x表示。
下取整函数也常称为最大整数函数，这时往往用［x］表示。
例24下面是下取整函数和上取整函数的若干值:
图2-17显示的是下取整函数和上取整函数的图像。在图2-17a中，显示下取整函数x。这个函数在［n,n+1)区间取同样的值n，然后，当x=n+1时，鹊跳到n+1。在图2-17b中，显示上取整函数x。这个函数在（n,n+1］区间取同样的值n+1，然后，当x取略大于n+1时，鹊跳到n+2。
（点击查看大图）图2-17a）下取整函数图像；b）上取整函数图像
下取整函数和上取整函数有广泛的应用，包括用于数据存储和数据传输。考虑例25和例26，这是研究数据库和数据通信问题时要完成的典型的基本计算。
例25存在计算机磁盘上的数据或数据网络上传输的数据通常表示为字节串。每个字节由8个字位组成，?硎?00字位的数据需要多少字节?
解要决定需要的字节数，就要找出最小的整数，它至少要与100除以8的商一样大，8是每个字节的字位数。于是，需要的字节数是 。
例26异步传输模式（ATM）（用于骨干网络上的通信协议）下，数据按53个字节分组，每组称为一个信元。以速率每秒500千字位传输数据的连接上一分钟能传输多少个ATM信元?
解一分钟内这一连接能传输500 000×60=30 000 000字位。每个ATM信元长度是53字节，也就是53×8=424字位。要计算一分钟能传输多少信元，需计算不超过30 000 000除以424的最大整数。于是在每秒500千字位的连接上一分钟能传输的ATM信元数是
以x代表实数的表2-3给出了下取整函数和上取整函数的若干简单但重要的性质。由于这两个函数在离散数学中出现得十分频繁，看一看表中的恒等式是有益的。表中的每条性质都可以用下取整函数和上取整函数的定义来建立。性质（1a）,（1b）,（1c）和（1d）可以直接由定义得出。例如，（1a）说的是x=n当且仅当n小于或等于x而n+1大于x。这恰恰就是n?怀x的最大整数的含义，也就是x=n的定义。性质（1b），（1c）和（1d）可以类似地建立起来。我们使用直接证明法来证明（4a）是成立的。
表2-3 上取整函数和下取整函数的有用性质（n为整数）
证假定x=m，其中m为整数。由（1a）知，m≤x＜m+1。在这一不等式中加上n得　m+n≤x+n＜m+n+1。再次利用（1a），可知x+n=m+n=x+n，这正是我们要证明的。其他性质的证明推迟到练习中去做。
除了表2-3列出的性质，上取整函数和下取整函数还有许多其他有用的性质。也有许多关于这些函数的语句看似正确，实则不然。我们将在例27和例28中考虑与上取整函数和下取整函数有关的语句。
在考虑下取整函数相关的语句时，一个有用的方法是令x=n+ε,其中n=x是一个整数，ε是x的分数部分，满足不等式0≤ε＜1。类似地，考虑上取整函数时，通常写x=n-ε，其中n=x且0≤ε＜1。
证明：若x是一个实数，则
有几类函数是本课本一直要用到的，其中包括多项式、对数和指数函数。附录2给出了课本中需要的这些函数之性质的简要回顾。本书中用记号logx表示x以2为基的对数，因为2是我们将经常使用的对数基数。我们用logb x表示以b为基的对数，其中b是大于1的任意实数。用lnx表示自然对数。
另一个我们将在本书中使用的函数是阶乘函数f:N→Z+,表示为f（n）=n!。f（n）=n！的值是前几个正整数的积，因此f（n）=1?2…（n-1）?n［f（0）=0!=1］。
我们有f(1)＝1！＝1，f(2)＝2！＝1?2＝2，f(6)＝6！＝1?2?3?4?5?6＝720，f(20)＝1?2?3?4?5?6?7?8?9?10?11?12?13?14?15?16?17?18?19?20＝2 432 902 008 176 640 000。
例29表明阶乘函数随着n的增加而迅速递增。通过斯特林公式，阶乘函数的递增更加清楚，由高等数学可知，n!～2πn(n/e)n。我们用f(n)～g(n)这样的表示法,意思是随着n的无限递增，f(n)/g(n)趋近于1（即limn→∞ f(n)/g(n)＝1）。符号～读作“近似于”。斯特林公式以18世纪的苏格兰数学家詹姆斯?斯特林命名。
詹姆斯?斯特林()出生于苏格兰斯特林小镇。他的家人是斯图亚特王室继承不列颠王权思想的坚定支持者。关于斯特林已知的最早的信息是：他于1771年进入牛津大学贝列尔学院并取得了奖学金。然而后来，由于他不愿宣誓效忠不列颠王室而失去了奖学金。1715年，詹姆斯一世发动叛乱，斯特林被控与反叛者通信，而且诋毁英王乔治，但最终他被宣判无罪。尽管由于政治因素使得斯特林无法从牛津大学顺利毕业，他仍待在那里数年之久。1717年，斯特林发表其处女作，将牛顿对于平面曲线的研究进行了扩展和延伸。后来，斯特林到了威尼斯，因为他被承诺任命为那儿的数学研究会主席，不幸的是，那次任命最终成了泡影。虽然如此，斯特林仍然留在了威尼斯并继续他的数学研究。1721年，他进入帕多瓦大学，次年返回格拉斯哥。由于得知意大利玻璃制造业的诸多机密，斯特林遭到了玻璃生产商千方百计的暗杀，为避免横祸，他只得飞离意大利。
1724年后期，斯特林移居伦敦教授数学同时积极从事研究。1730年，发表其最重要作品《算法差异论》，其中给出了关于无穷级数、求和、插入、求面积等运算的诸多结果。对于n!的渐进公式也蕴含其中。除此之外，斯特林也从事万有引力和地球形态的研究，它曾宣称地球是扁圆的但并未作证明。1735年，斯特林回到苏格兰并被任命为苏格兰矿务公司的经理，他在该职务上的工作相当出色甚至发表过有关矿井通风问题的专业论文。与此同时，他继续其数学研究不过放慢了步调。斯特林试图通过建造一系列船闸使得克莱德河能够通航而进行的调查同样引人注目。为感谢其为此所做的工作，格拉斯哥人民赠给他一个银质水壶作为奖励。
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一种冲击噪声环境下的量子万有引力搜索动态DOA估计方法
项目编号：
技术简要说明
本发明涉及一种通过量子万有引力搜索机制和加权信号协方差极大似然方程的动态更新共同来实现的考虑在冲击噪声环境下对动态目标的波达方向进行鲁棒跟踪的冲击噪声环境下的量子万有引力搜索动态DOA估计方法。本发明包括：对空间D个信源信号进行快拍采样和加权处理；量子万有引力搜索机制的所有物体初始状态确定；确定最好目标函数值和最差目标函数值；计算在t次迭代的每个物体质量；计算目标函数值；判断是否达到最大迭代次数；对采样数据进行加权处理；判断最大跟踪次数；输出动态跟踪结果。本发明解决了冲击噪声环境下的动态目标方向跟踪问题，使用所设计的量子万有引力搜索机制作为搜索策略，所设计的方法具有快速和鲁棒性高的优点。
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专利权信息
专利类型：发明
专利申请日：
公开(公告)日：
申请(专利权)人：哈尔滨工程大学
申请人：哈尔滨工程大学
公开(公告)号：
分类号：G01S3/00(2006.01)I
发明(设计)人：高洪元;徐从强;胡韧;李晨琬
国别省市：黑龙江;23
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录入日期： 11:29
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一种冲击噪声环境下的量子万有引力搜索动态DOA估计方法，其特征在于： 步骤一，对空间D个信源信号进行快拍采样和加权处理，由M个全向阵元构成的无模糊线阵，D个中心频率相同的远场窄带信号从方向{θ1,θ2,…,θD}入射到阵列上，阵列接收第k次快拍采样数据为x(k)＝As(k)+n(k)，式中x(k)＝[x1(k),x2(k),…,xM(k)]T为阵列的接收数据矢量；A(θ)＝[a(θ1) a(θ2) … a(θD)]是信号导向矢量矩阵，θ＝(θ1,θ2,…,θD)是角度矢量，θd（d＝1,2,…,D）是第d个信源的来波方向；s(t)＝[s1(t),s2(t),…,sD(t)]T为信号矢量； n(k)＝[n1(k),n2(k),…,nM(k)]T是独立同分布的满足SαS分布的冲击噪声向量；第d个导向矢量为a(θd)＝[exp(-jω0τ1d),exp(-jω0τ2d),…,exp(-jω0τMd)]Τ，d＝1,2,…,D，式中，c为光速，f为入射信号的频率，λ为入射信号的波长，(l＝1,2,…,M)表示第d个信号到达第l个阵元时相对于参考阵元的时延，El为第l个阵元的位置，接收数据的加权信号为h(k)＝x(k)/max{|x1(k)|0.7,|x2(k)|0.7,…,|xM(k)|0.7}，max{}为取最大值函数，定义阵元接收数据之间的加权信号协方差为C(k)，第一次采样数据的加权信号协方差为C(1)＝h(1)hH(1)，根据经典信息论准则估计信源个数D，t代表量子万有引力搜索机制的迭代次数，初始时设t＝0；步骤二，量子万有引力搜索机制的所有物体初始状态确定，由N个物体组成的系统，每个物体在D维搜索空间中运动，第i个物体的量子位置定义如下： (i＝1,2,…,N)，为有效量子位置，为辅助量子位置，0≤yid(t)≤1(d＝1,2,…,D)表示第i个物体在第d维的有效量子位，zid为第i个物体在第d维的辅助量子位，[yid(t)]2+[zid(t)]2＝1，把第i个物体的量子位置第一行即有效量子位置影射到定义区间，就是物体的当前位置qi(t)＝[qi1(t),qi2(t),…,qiD(t)]，对于所有的i＝1,2,…,N，qid(t)＝yid(t)[ud(k)-ld(k)]+ld(k)，d＝1,2,…,D，第i个物体对应的速度为vi(t)＝[vi1(t),vi2(t),…,viD(t)]，-0.2≤vid(t)≤0.2(d＝1,2,…,D)表示第i个物体的第d维速度，t代表迭代次数，量子位置在定义的量子域[0，1]间随机初始化，在[-0.2，0.2]随机初始 化速度的每一维，确定初始搜索空间为D个角度的搜索区间向量，ud(k)和ld(k)分别为第k次采样数据处理第d维的角度搜索区间的上限和下限值，最大迭代次数设置为，其中为取整函数，zz为取整倍数；步骤三，第i个物体位置qi(t)＝[qi1(t),qi2(t),…,qiD(t)]的加权信号协方差极大似然方程的目标函数值为，正交投影矩阵，tr()表示矩阵的求迹运算，根据目标函数评价物体位置的优劣，代表有效量子位置映射到搜索范围中的位置计算的目标函数值，即把影射到参数范围后，使用fit[qi(t)]计算物体的目标函数值，第i个物体到现在为止所经历的最优量子位置的第一行定义为该物体的局部最优位置，记作pi(t)＝[pi1(t),pi2(t),…,piD(t)]，pid(t)为第i个物体到第t次迭代为止所经历最优有效第d维量子位，d＝1,2,…,D，所有物体到现在所经历最优量子位置的第一行记作全局最优量子位置，也就是目标函数值最大的有效量子位置，记作b(t)＝[b1(t),b2(t),…,bD(t)]，bd(t)为所有物体到第t次迭代为止所经历最优有效第d维量子位，d＝1,2,…,D，确定最好目标函数值best(t)和最差目标函数值worst(t)，步骤四，计算在t次迭代的每个物体质量：Mai＝Mpi＝Mii＝Mi,i＝1,2,…,N,Mpi表示被作用物体i的质量，Mai表示作用到物体i的质量，Mii为物体i的引力质量，Mi(t)为第i个物体的惯性质量，计算N个物体的万有引力的合力，对于第d维，第j个物体作用在第i个物体上的引力大小为引力系数T为最大迭代次数，Rij(t)是第j个物体和第i个物体的欧氏距离，G0和γ为常系数，Rij(t)＝||pi(t),pj(t)||2，对于 第d维，作用在第i个物体上的总作用力i＝1,2,…,N，d＝1,2,…,D，randj是[0，1]间的随机数，更新所有物体的加速度、速度和量子位置，第i个物体的第d维加速度为前N/2个物体速度根据引力方程进行更新，则第i个物体的第d维速度更新为i＝1,2,…,N/2，d＝1,2,…,D；其他N/2个物体速度根据群行为
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我还以为是信用卡
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mepengc 发表于
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wnxeacdn 发表于
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卡很美观，恭喜楼主。。
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ferrari458 发表于
卡很美观，恭喜楼主。。
嘿嘿~~下一个目标期待亚洲万里通白金卡了~~~
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其实我也想办张这样的卡~
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