高中物理模型分类_甜梦文库
高中物理模型分类
高考物理常见物理模型分类精析常见弹簧类问题分析弹簧类命题突破要点 1.弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力一般应从弹簧的形变分析入手， 先确定弹簧原长位 置，现长位置，找出形变量 x 与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，以 此来分析计算物体运动状态的可能变化. 2.因弹簧（尤其是软质弹簧）其形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变.因 此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变. 3.在求弹簧的弹力做功时，因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算，也可据 动能定理和功能关系：能量转化和守恒定律求解.同时要注意弹力做功的特点：Wk=-（ 力的功等于弹性势能增量的负值.弹性势能的公式 Ep=1 2 1 2 kx2 - kx1 ） ，弹 2 21 2 kx ，高考不作定量要求，可作定性讨论.因此，在 2求弹力的功或弹性势能的改变时，一般以能量的转化与守恒的角度来求解. 下面就按平衡、动力学、能量、振动、应用类等中常见的弹簧问题进行分析。 一、与物体平衡相关的弹簧问题 1.如图示， 两木块的质量分别为 m1 和 m2， 两轻质弹簧的劲度系数分别为 k1 和 k2， 上面木块压在上面的弹簧上(但不拴接)，整个系统处于平衡状态．现缓慢向上提上面 的木块，直到它刚离开上面弹簧．在这过程中下面木块移动的距离为( A.m1g/k1 B.m2g/k2 C.m1g/k2 D.m2g/k2 )(参考答案:C)2.S1 和 S2 表示劲度系数分别为 k1，和 k2 两根轻质弹簧，k1&k2；A 和 B 表示质量分别为 mA 和 mB 的两个小物块，mA&mB,将弹簧与物块按图示方式悬挂起来．现要求两根弹簧的总长度最大则 应使( )．参考答案:D B.S1 在上，B 在上 D.S2 在上，B 在上A.S1 在上，A 在上 C.S2 在上，A 在上3.一根大弹簧内套一根小弹簧，大弹簧比小弹簧长 0.2m，它们的 一端固定，另一端自由，如图所示，求这两根弹簧的劲度系数 k1(大弹 簧)和 k2(小弹簧)分别为多少?(参考答案 k1=100N/m k2=200N/m) 4.如图所示，一质量为 m 的物体系于长度分别为 L1、L2 的两根细 线上，L1 的一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为 θ，L2 水平拉直， 物体处于平衡状态．现将 L2 线剪断，求剪断瞬时物体的加速度．第 1 页 共 1 页(1)下面是某同学对该题的一种解法： 解 设 L1 线上拉力为 Tl，L2 线上拉力为 T2，重力为 mg，物体在三力作用下保持平衡 Tlcosθ=mg，Tlsinθ=T2，T2=mgtanθ， 剪断线的瞬间，T2 突然消失，物体即在 T2 反方向获得加速度． 因为 mgtanθ=ma，所以加速度 a=g tanθ，方向在 T2 反方向．你认为这个结果正确吗?清对该解法作 出评价并说明理由． 解答：错．因为 L2 被剪断的瞬间，L1 上的张力大小发生了变化．此瞬间 T2=mgcosθ， a=gsinθ (2)若将图中的细线 Ll 改为长度相同、质量不计的轻弹簧，其他条件不变， 求解的步骤和结果与(1)完全相同，即 a=gtanθ，你认为这个结果正确吗?请说明 理由．解答：对，因为 L2 被剪断的瞬间，弹簧 L1 的长度未及发生变化，T1 大 小和方向都不变． 二、与动力学相关的弹簧问题 5.如图所示，在重力场中，将一只轻质弹簧的上端悬挂在天花板上，下端连接一个质 量为 M 的木板，木板下面再挂一个质量为 m 的物体．当剪掉 m 后发现：当木板的速率 再次为零时，弹簧恰好能恢复到原长，(不考虑剪断后 m、M 间的相互作用)则 M 与 m 之间的关系必定为 A.M&m ( ) C.M&m D.不能确定 参考答案:BB.M=m6.如图所示，轻质弹簧上面固定一块质量不计的薄板，在薄板上放重物，用手将重物向下压缩到一定 程度后，突然将手撤去，则重物将被弹簧弹射出去，则在弹射过程中(重物与弹簧脱离之前)重物的运动情 况是 ( ) 参考答案：C B．匀加速运动A.一直加速运动C.先加速运动后减速运动 D．先减速运动后加速运动 7.如图所示， 一轻质弹簧竖直放在水平地面上， 小球 A 由弹簧正上方某高度自由落下， 与弹簧接触后，开始压缩弹簧，设此过程中弹簧始终服从胡克定律，那么在小球压缩弹簧的过 程中，以下说法中正确的是( A.小球加速度方向始终向上 ) 参考答案:C B.小球加速度方向始终向下C.小球加速度方向先向下后向上 D.小球加速度方向先向上后向下 8.如图所示，一轻质弹簧一端系在墙上的 O 点，自由伸长到 B 点．今用一小物体 m 把弹簧压缩到 A 点，然后释放，小物体能运动到 C 点静止，物体与水平地面间的动摩擦因数恒定，试判断下列说法正确第 2 页 共 2 页的是()参考答案:CA.物体从 A 到 B 速度越来越大，从 B 到 C 速度越来越小 B.物体从 A 到 B 速度越来越小，从 B 到 C 加速度不变 C.物体从 A 到 B 先加速后减速，从 B 一直减速运动 D.物体在 B 点受到的合外力为零 9.如图所示，一轻质弹簧一端与墙相连，另一端与一物体接触，当弹簧在 O 点位置时弹簧没有形变， 现用力将物体压缩至 A 点，然后放手。物体向右运动至 C 点而静止，AC 距离为 L。第二次将物体与弹簧 相连，仍将它压缩至 A 点，则第二次物体在停止运动前经过的总路程 s 可能为： A.s=L C.s&L B.s&L D.条件不足，无法判断10. A、B 两木块叠放在竖直轻弹簧上，如图所示，已知木块 A、B 质量分别为 0.42 kg 和 0.40 kg，弹 簧的劲度系数 k=100 N/m ，若在木块 A 上作用一个竖直向上的力 F，使 A 由静止开始以 0.5 m/s2 的加速 度竖直向上做匀加速运动（g=10 m/s2）. （1）使木块 A 竖直做匀加速运动的过程中，力 F 的最大值； （2）若木块由静止开始做匀加速运动，直到 A、B 分离的过 程中，弹簧的弹性势能减少了 0.248 J，求这一过程 F 对 木块做的功. 分析：此题难点和失分点在于能否通过对此物理过程的分析后，确定两物体分离的临界点，即当弹 簧作用下的两物体加速度、速度相同且相互作用的弹力 N =0 时 ,恰好分离. 解: 当 F=0（即不加竖直向上 F 力时） ，设 A、B 叠放在弹簧上处于平衡时 弹簧的压缩量为 x，有 kx=（mA+mB）g x=（mA+mB）g/k 对 A 施加 F 力，分析 A、B 受力如图 对A 对B F+N-mAg=mAa kx′-N-mBg=mBa′ ③ ② ①可知，当 N≠0 时，AB 有共同加速度 a=a′，由②式知欲使 A 匀加速运动，随 N 减小 F 增大.当 N=0 时， F 取得了最大值 Fm, 即 Fm=mA（g+a）=4.41 N第 3 页 共 3 页又当 N=0 时，A、B 开始分离，由③式知， 此时，弹簧压缩量 kx′=mB（a+g） x′=mB（a+g）/k AB 共同速度 v2=2a（x-x′） 由题知，此过程弹性势能减少了 WP=EP=0.248 J 设 F 力功 WF，对这一过程应用动能定理或功能原理 WF+EP-（mA+mB）g（x-x′）= ④ ⑤1 （mA+mB）v2 2⑥联立①④⑤⑥，且注意到 EP=0.248 J 可知，WF=9.64× -2 J 10 三、与能量相关的弹簧问题 11.质量为 m 的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上.平衡时弹簧的压 缩量为 x0，如图所示.一物块从钢板正上方距离为 3x0 的 A 处自由落下，打在钢板上并立 刻与钢板一起向下运动，但不粘连.它们到达最低点后又向上运动.已知物块质量为 m 时， 它们恰能回到 O 点.若物块质量为 2m，仍从 A 处自由落下，则物块与钢板回到 O 点时， 还具有向上的速度.求物块向上运动到达的最高点与 O 点的距离. 分析：本题的解题关键是要求对物理过程做出仔细分析，且在每一过程中运用动量守恒定律，机械 能守恒定律解决实际问题，本题的难点是对弹性势能的理解，并不要求写出弹性势能的具体表达式，可 用 Ep 表示，但要求理解弹性势能的大小与伸长有关，弹簧伸长为零时，弹性势能为零，弹簧的伸长不变 时，弹性势能不变．答案： 1 x 0212.如图所示，A、B、C 三物块质量均为 m，置于光滑水平台面上.B、C 间夹有原已完全压紧不能再 压缩的弹簧，两物块用细绳相连，使弹簧不能伸展.物块 A 以初速度 v0 沿 B、C 连线方向向 B 运动，相碰 后，A 与 B、C 粘合在一起，然后连接 B、C 的细绳因受扰动而突然断开，弹簧伸展，从而使 C 与 A、B 分离，脱离弹簧后 C 的速度为 v0. （1）求弹簧所释放的势能 ΔE. （2）若更换 B、C 间的弹簧，当物块 A 以初速 v 向 B 运动，物块 C 在脱离弹簧后的速度为 2v0，则 弹簧所释放的势能 ΔE′是多少? （3）若情况（2）中的弹簧与情况（1）中的弹簧相同，为使物块 C 在脱离弹簧后的速度仍为 2v0， A 的初速度 v 应为多大? （1）1 mv02 3（2）1 m（v-6v0）2 12（3）4v0第 4 页 共 4 页13.. 某 宇 航 员 在 太 空 站 内 做 丁 如 下 实 验 ： 选 取 两 个 质 量 分 别 为 mA=0.1kg、mB=0.20kg 的小球 A、B 和一根轻质短弹簧，弹簧的一端与小球 A 粘连，另一端与小球 B 接触而不粘连．现使小球 A 和 B 之间夹着被压缩 的轻质弹簧， 处于锁定状态， 一起以速度 v0=0.10m/s 做匀速直线运动， 如图所示． 过 一段时间，突然解除锁定(解除锁定没有机械能损失)，两球仍沿原直线运动．从弹簧与小球 B 刚刚分离开 始计时，经时间 t=3．0s 两球之间的距离增加了 s=2．7m，求弹簧被锁定时的弹性势能 E0? 取 A、B 为系统,由动量守恒得: ( m A+m B)v0=m AvA+mBVA t+VB t=s1 1 1 2 2 2 E P ? （m A ? mB）V0 ? m Av B ? mB v B 2 2 2又 A、B 和弹簧构成系统，又动量守恒 解得: E p ? 0.0275J 14.如下图所示，一质量不计的轻质弹簧竖立在地面上，弹簧的上端与盒子 A 连接 在一起，下端固定在地面上．盒子内装一个光滑小球，盒子内腔为正方体，一直径略小 于此正方体边长的金属圆球 B 恰好能放在盒内， 已知弹簧的劲度系数为 k=400N／m， A 和 B 的质量均为 2kg 将 A 向上提高，使弹簧从自由长度伸长 10cm 后，从静止释放，不 计阻力，A 和 B 一起做竖直方向的简谐振动，g 取 10m/s2 已知弹簧处在弹性限度内，对 于同一弹簧，其弹性势能只决定于其形变的大小．试求： (1)盒子 A 的振幅； (2)盒子 A 运动到最高点时，A 对 B 的作用力方向； (3)小球 B 的最大速度15.如图所示，一弹簧振子．物块质量为 m，它与水平桌面动摩擦因数为 μ，开始用手按住物块，弹 簧处于伸状态，然后放手，当弹簧回到原长时物块速度为 v1，当弹簧再次回到原长时物块速度为 v2，求 这两次为原长运动过程中弹簧的最大弹性势能．第 5 页 共 5 页16.如图，水平弹簧一端固定，另一端系一质量为 m 的小球，弹簧的劲度系数为 k，小球与水平面之 间的摩擦系数为 μ，当弹簧为原长时小球位于 O 点，开始时小球位于 O 点右方的 A 点，O 与 A 之间的距 离为 l0，从静止释放小球。 1．为使小球能通过 O 点，而且只能通过 O 点一次，试问 μ 值应在什么范围? 2．在上述条件下，小球在 O 点左方的停住点 B 点与 O 点的最大距离 l1 是多少?分析 1、小球开始时在 A 点静止，初始动能为零；弹簧拉长 lo， 具有初始弹性势能 kl02/2 释放后， 小球在弹性力作用下向左运动， 克服摩擦力作功，总机械能减小．为使小球能通过 O 点，要求初 始弹性势能应大于克服摩擦力作的功 μmgl0，于是可得出 μ 值的上限．当小球越过 O 点向左运动， 又从左方最远点 B 往回(即向右)运动时，为使小球不再越过 O 点，要求初始弹性势能 kl02/2 小于克 服摩擦力作的功 μmg（l0+2l1） ，其中 l1 是 B 点与 O 点的距离，于是可得出 μ 值的下限 即满足 1 的范围kl0 kl0 ??? 4mg 2mg.2．设 B 点为小球向左运动的最远点，且小球在 B 点能够停住，则小球克服力作的功应等于弹性势 能的减少．此外，小球在 B 点所受静摩擦力必须小于最大静摩擦力，由此可得出停住点 B 点与 O 点之间的最大距离．l1 ? l0 ． 317.图中，轻弹簧的一端固定，另一端与滑块 B 相连，B 静止在水平直导轨上，弹簧处在原长状态．另 一质量与 B 相同的滑块 A，从导轨上的 P 点以某一初速度向 B 滑行．当 A 滑过距离 L1 时，与 B 相碰， 碰撞时间极短，碰后 A、B 紧贴在一起运动，但互不粘连．已知最后 A 恰好返回到出发点 P 并停止．滑 块 A 和 B 与导轨的滑动摩擦因数都为 μ，运动过程中弹簧最大形变量为 L2，重力加速度为 g。求 A 从 P 点出发时的初速度 v0．第 6 页 共 6 页四、振动类问题 18.如图所示，在光滑的水平面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为 k，开始时，振子被拉到平衡位 置 O 的右侧某处，此时拉力为 F，然后轻轻释放振子，振子从初速度为零的状态开始向左运动，经过时 间 t 后到达平衡位置 O 处，此时振子的速度为 v，则在这过程中，振子的平均速度为( A. v/2 C. v B. F/（2kt） D. F/（kt） )19.在光滑水平面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为 k，振子质量为 M，振动的量大速度为 v0．如 图所示， 当振子在最大位移为 A 的时刻把质量为 m 的物体轻放在其上， 则(1)要保持物体和振子一起振动， 二者间动摩擦因数至少多大？(2)一起振动时，二者经过平衡位置的速度多 大?二者的振幅又是多大？(已知弹簧弹形势能 EP=kx2 ,x 为弹簧相对原长伸 长量)五、应用型问题 20..惯性制导系统已广泛应用于弹道式导弹工程中，这个系统的重要元件之一是加速度计，加速度计 的构造原理示意图如下图所示。沿导弹长度方向安装的固定光滑杆上套 一质量为 m 的滑块，滑块两侧分别与劲度系数为 K 的弹簧相连，弹簧 处于自然长度，滑块位于中间，指针指示 0 刻度，试说明该装置是怎样 测出物体的加速度的? [分析] 当加速度计固定在待测物体上，具有一定的加速度时，例 如向右的加速度 a，滑块将会相对于滑杆向左滑动一定的距离 x 而相对静止，也具有相同的加速度 a，由 牛顿第二定律可知：a∝F 而 F∝x，所以 a∝x。因此在标尺相应地标出加速度的大小，而 0 点两侧就表示 了加速度的方向，这样它就可以测出物体的加速度了。21.D加速度计‖作为测定运动物体加速度的仪器，已被广泛地应用于飞机，潜艇、航天器等装置的制 导系统中，如图所示是D应变式加速度计‖的原理图，支架 A、B 固定在待测系统上，滑块穿在 A、B 间的 水平光滑杆上，并用轻弹簧固定于支架 A 上，随着系统沿水平方向做变速运动，滑块相对于支架发生位 移，滑块下增的滑动臂可在滑动变阻器上相应地自由滑动，并通过电路转换为电信号从 1，2 两接线柱输 出． 巳知：滑块质量为 m，弹簧劲度系数为 k，电源电动势为 E，内阻为 r、第 7 页 共 7 页滑动变阻器 的电阻随长度均匀变化，其总电阻 R=4r，有效总长度 L，当待测系统静止时，1、2 两接线柱 输出的电压 U0=0．4 E，取 A 到 B 的方向为正方向， (1)确定D加速度计‖的测量范围． (2)设在 1、2 两接线柱间接入内阻很大的电压表，其读数为 u，导出加速度的计算式。 (3)试在 1、2 两接线柱间接入内阻不计的电流表，其读数为 I，导出加速度的计算式。 解： （1）当待测系统静上时，1、2 接线柱输出的电压 u0=E? 12/（R+r） R 由已知条件 U0=0.4E 可推知，R12=2r，此时滑片 P 位于变阻器中点，待测系统沿水平方向做变速 运动分为加速运动和减速运动两种情况，弹簧最大压缩与最大伸长时刻， 点只能滑至变阻器的最左端和 P 最右端，故有： a1=kL/2m， a2=-kL/2m [-k? L/2m，? L/2m]，所以D加速度计‖的测量范围为(2)当 1、2 两接线柱接电压表时，设 P 由中点向左偏移 x，则与电压表并联部分 的电阻 R1=(L/2-x)? 4r/L I=E/(R+r) U=I? 1 R k? x＝m? a a=kL/2m - 5kLU/（4? m） E? ，由闭合电路欧姆定律得： 故电压表的读数为： 根据牛顿第二定律得: 建立以上四式得:(3)当 1、2 两接线柱接电流表时，滑线变阻器接在 1，2 间的电阻被短路．设 P 由中点向左偏 x， 变阻器接入电路的电阻为： R2=(L/2+x)? 4r/L 由闭合电路欧姆定律得: 根据牛顿第二定律得: 联立上述三式得: E=I(R2+r) k? x=m? a a=k? L(E-3I? r)/(4I? r) m?弹簧类模型中的最值问题一、最大、最小拉力问题 例 1. 一个劲度系数为 k＝600N/m 的轻弹簧，两端分别连接着质量均为 m＝15kg 的物体 A、B，将它们 竖直静止地放在水平地面上，如图 1 所示，现加一竖直向上的外力 F 在物体 A 上，使物体 A 开始向上做 匀加速运动，经 0.5s，B 物体刚离开地面（设整个加速过程弹簧都处于弹性限度内，且 g＝10m/s2） 。求此第 8 页 共 8 页过程中所加外力的最大和最小值。图1m g ?02 m . 5 ，0.5s 末 B 物体刚要离开地 k 1 面，此时弹簧弹力恰等于 B 的重力， ??0m l l .5 ' ? ? ，故对 A 物体有 2?l ? at 2 ，代入数据得 2 2解析：开始时弹簧弹力恰等于 A 的重力，弹簧压缩量 ? ? la × N 1 ? a 4 / 2。刚开始时 F 为最小且 F m 5 N0 物体刚要离开地面时，F 为最大且 ? ms m i ? ? 4 6 ，B n有 F m gm g m a m m 0 3 m a? ? ? ，解得 F 2 ? ? N x m a?g a 6 。 x 二、最大高度问题 例 2. 如图 2 所示，质量为 m 的钢板与直立弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地面上，平衡时弹簧的压 缩量为 x 0 。一物体从钢板正上方距离为 3 x 0 的 A 处自由下落打在钢板上，并立即与钢板一起向下运动， 但不粘连，它们到达最低点后又向上运动，已知物块质量也为 m 时，它们恰能回到 O 点，若物体质量为 2m 仍从 A 处自由下落，则物块与钢板回到 O 点时还有向上的速度，求物块向上运动到达的最高点与 O 点的距离。图2 解析：物块碰撞钢板前作自由落体运动，设 v 0 表示物块与钢板碰撞时的速度，则：v 0 ?6 gx 0①物块与钢板碰撞后一起以 v1 速度向下运动， 因碰撞时间极短， 碰撞时遵循动量守恒， m ? m 即： v 2 v 0 1 ② 刚碰完时弹簧的弹性势能为 E p ，当它们一起回到 O 点时，弹簧无形变，弹性势能为 0，根据机械能第 9 页 共 9 页守恒有： E ? ( m1 ? m 0 ③ 2) v 2g x p21 2设 v 2 表示质量为 2m 的物块与钢板碰撞后开始向下运动的速度，由动量守恒有： 2 v?m ④ m 3v 0 2 碰撞后，当它们回到 O 点时具有一定速度 v，由机械能守恒定律得：1 1 2 E (m ? g ?(m ⑤ ? 3v 3 x )2 m 3v )2 p 0 2 2当质量为 2m 的物块与钢板一起回到 O 点时两者分离，分离后，物块以 v 竖直上升，其上升的最大 高度：h?v2 2g⑥解①~⑥式可得 h ?x0 。 2三、最大速度、最小速度问题 例 3. 如图 3 所示，一个劲度系数为 k 的轻弹簧竖直立于水平地面上，下端固定于地面，上端与一质 量为 m 的平板 B 相连而处于静止状态。 今有另一质量为 m 的物块 A 从 B 的正上方 h 高处自由下落， B 与 发生碰撞而粘在一起，已知它们共同向下运动到速度最大时，系统增加的弹性势能与动能相等，求系统 的这一最大速度 v。图3 解析：A 下落到与 B 碰前的速度 v1 为：v1 ? 2gh ①A、B 碰后的共同速度 v2 为： m ( ?)2 ② v m v ? m 1 B 静止在弹簧上时，弹簧的压缩量为 x0，且：m ?k 0 ③ g xA、B 一起向下运动到最大速度 v 时的位移为 x，此时 A、B 的加速度为 0，即有：2 ? x x m k ?) g ( 0 ④第 10 页 共 10 页由机械能守恒得：1 2 1 2 x (m ?(m ? p ⑤ m g ? 2v )2 2v ? )2 E 2 2 1 ? p ? (2 ) 2 ⑥ E mv 2解①~⑥得： v ?mg 2 1 ? gh k 4例 4. 在光滑水平面内，有 A、B 两个质量相等的木块， m m 2 ，中间用轻质弹簧相连。现 ? B?k g A 对 B 施一水平恒力 F，如图 4 所示，经过一段时间，A、B 的速度等于 5m/s 时恰好一起做匀加速直线运 动，此过程恒力做功为 100J，当 A、B 恰好一起做匀加速运动时撤除恒力，在以后的运动过程中求木块 A 的最小速度。图4 解析：当撤除恒力 F 后，A 做加速度越来越小的加速运动，弹簧等于原长时，加速度等于零，A 的 速度最大， 此后弹簧压缩到最大， 当弹簧再次回复原长时速度最小， 根据动量守恒得：2 ?v? B mm m v A v ① 根据机械能守恒得： 1 0 0 ? mA ? mB ② v v2 21 21 2由以上两式解得木块 A 的最小速度 v＝0。 四、最大转速和最小转速问题 例 5. 有一水平放置的圆盘，上面放一个劲度系数为 k 的轻弹簧，其一端固定于轴 O 上，另一端系着 质量为 m 的物体 A，物体 A 与盘面间最大静摩擦力为 Ffm，弹簧原长为 L，现将弹簧伸长 ?L 后置于旋转 的桌面上，如图 5 所示，问：要使物体相对于桌面静止，圆盘转速 n 的最大值和最小值各是多少？图5 解析：当转速 n 较大时，静摩擦力与弹簧弹力同向，即：k ?m m 12L L ① ? F ( n( ? ) L f ?2 ) ? ?第 11 页 共 11 页n? 1? 1 k L?F fm 2 m L?? ) ? ( L当转速 n 较小时，静摩擦力与弹簧弹力反向，即：k ? ? 222L L ② ?F m ) ?) Lf ( n( ? ? mn ? 2 ? 1 k L?F fm 2 mL?? ) ? ( L所以圆盘转速 n 的最大值和最小值分别为：L 1 k?L ? Ffm 1 k? ? Ffm 。 和 2? m( L ? ?L) 2? m L? ? ) ( L五、最大加速度问题 例 6. 两木块 A、B 质量分别为 m、M，用劲度系数为 k 的轻质弹簧连在一起，放在水平地面上，如 图 6 所示，用外力将木块 A 压下一段距离静止，释放后 A 做简谐运动，在 A 振动过程中，木块 B 刚好始 终未离开地面，求木块 A 的最大加速度。图6 解析：撤去外力后，A 以未加外力时的位置为平衡位置作简谐运动，当 A 运动到平衡位置上方最大 位移处时，B 恰好对地面压力为零，此时 A 的加速度最大，设为 am。 对 A：由牛顿第二定律有 k ? ? ? m ( 0 m a xx gm ) 对 B： kx x ? g ( ?0 M ) 所以 a ? m 六、最大振幅 例 7. 如图 7 所示，小车质量为 M，木块质量为 m，它们之间静摩擦力最大值为 Ff，轻质弹簧劲度系 数为 k，振动系统沿水平地面做简谐运动，设木块与小车间未发生相对滑动，小车振幅的最大值是多少？(M?mg ) ，方向向下。 m第 12 页 共 12 页图7 解析：在最大位移处，M 和 m 相对静止，它们具有相同的加速度，所以对整体有： k ? Mm A ( ?) a ① 对 m 有：Ff ? m ② a所以由①②解得： A? 七、最大势能问题F (M?m ) f k m。例 8. 如图 8 所示，质量为 2m 的木板，静止放在光滑的水平面上，木板左侧固定着一根劲度系数为 k 的轻质弹簧，弹簧的自由端到小车右端的距离为 L0，一个质量为 m 的小木块从板的右端以初速度 v0 开 始沿木块向左滑行，最终回到木板右端，刚好不从木板右端滑出，设木板与木块间的动摩擦因数为 ? ， 求在木块压缩弹簧过程中（一直在弹性限度内）弹簧所具有的最大弹性势能。图8 解：弹簧被压缩至最短时，具有最大弹性势能 Epm，设 m 在 M 上运动时，摩擦力做的总功产生内能为 2E，从初状态到弹簧具有最大弹性势能及从初状态到末状态，系统均满足动量守恒定律，即：m (? ) ① v? 2 v mm 0由初状态到弹簧具有最大弹性势能，系统满足能量守恒：1 2 1 m ? (m2? p ? ② v 3) v E E 0 m 2 2由初状态到末状态，系统也满足能量守恒且有：1 2 1 m ? ( m 2? E ③ v 3) v 2 0 2 2 1 2 由①②③求得： Epm ? mv0 6从以上各例可以看出，尽管弹簧类问题综合性很强，物理情景复杂，物理过程较多，但只要我们仔 细分析物理过程，找出每一现象所对应的物理规律，正确判断各物理量之间的关系，此类问题一定会迎 刃而解。第 13 页 共 13 页弹簧类问题难点探究思考●难点提出 1.如图 2-1 所示，两木块的质量分别为 m1 和 m2，两轻质弹簧的劲度系数分别为 k1 和 k2，上面木块压 在上面的弹簧上 （但不拴接） ，整个系统处于平衡状态.现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧. 在这过程中下面木块移动的距离为 A.m1 g k1B.m2 g k1C.m1 g k2D.m2 g k2图 2―1图 2―22.如图 2-2 所示，劲度系数为 k1 的轻质弹簧两端分别与质量为 m1、m2 的物块 1、2 拴接，劲度系数为 k2 的轻质弹簧上端与物块 2 拴接，下端压在桌面上（不拴接） ，整个系统处于平衡状态.现施力将物块 1 缓 慢地竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面.在此过程中，物块 2 的重力势能增加了______，物 块 1 的重力势能增加了________. 3.质量为 m 的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上.平衡时弹 簧的压缩量为 x0， 如图 2-3 所示.一物块从钢板正上方距离为 3x0 的 A 处自由落下， 打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动， 但不粘连.它们到达最低点后又向上运动. 已知物块质量为 m 时， 它们恰能回到 O 点.若物块质量为 2m， 仍从 A 处自由落下， 则物块与钢板回到 O 点时， 还具有向上的速度.求物块向上运动到达的最高点与 O 点的距离. ●案例探究 ［例 1］如图 2-4，轻弹簧和一根细线共同拉住一质量为 m 的物体，平衡时细线 水平，弹簧与竖直夹角为 θ，若突然剪断细线，刚刚剪断细线的瞬间，物体的加速 度多大? 命题意图：考查理解能力及推理判断能力.B 级要求. 图 2-4 图 2-3错解分析：对弹簧模型与绳模型瞬态变化的特征不能加以区分，误认为&弹簧弹力在细线剪断的瞬间 发生突变&从而导致错解.第 14 页 共 14 页解题方法与技巧： 弹簧剪断前分析受力如图 2-5，由几何关系可知： 弹簧的弹力 T=mg／cosθ 细线的弹力 T′=mgtanθ 细线剪断后由于弹簧的弹力及重力均不变，故物体的合力水平向右，与 T′等大而反向，∑F=mgtanθ， 故物体的加速度 a=gtanθ，水平向右. 图 2-5［例 2］A、B 两木块叠放在竖直轻弹簧上，如图 2-6 所示，已知木块 A、B 质 量分别为 0.42 kg 和 0.40 kg，弹簧的劲度系数 k=100 N/m ，若在木块 A 上作用一个 竖直向上的力 F， A 由静止开始以 0.5 m/s2 的加速度竖直向上做匀加速运动 使 （g=10 m/s2）. （1）使木块 A 竖直做匀加速运动的过程中，力 F 的最大值； 图 2-6 （2）若木块由静止开始做匀加速运动，直到 A、B 分离的过 程中，弹簧的弹性势能减少了 0.248 J，求这一过程 F 对木块做的功. 命题意图：考查对物理过程、状态的综合分析能力.B 级要求. 错解分析：此题难点和失分点在于能否通过对此物理过程的分析后，确定两物体分离的临界点，即 当弹簧作用下的两物体加速度、速度相同且相互作用的弹力 N =0 时 ,恰好分离. 解题方法与技巧: 当 F=0（即不加竖直向上 F 力时） ，设 A、B 叠放在弹簧上处于平衡 时弹簧的压缩量为 x，有 kx=（mA+mB）g x=（mA+mB）g/k 对 A 施加 F 力，分析 A、B 受力如图 2-7 对A 对B F+N-mAg=mAa kx′-N-mBg=mBa′ ③ ② ①可知，当 N≠0 时，AB 有共同加速度 a=a′，由② 式知欲使 A 匀加速运动，随 N 减小 F 增大.当 N=0 时， F 取得了最大值 Fm, 即 Fm=mA（g+a）=4.41 N 又当 N=0 时，A、B 开始分离，由③ 式知， 此时，弹簧压缩量 kx′=mB（a+g） x′=mB（a+g）/k ④第 15 页 共 15 页AB 共同速度 v2=2a（x-x′） 由题知，此过程弹性势能减少了 WP=EP=0.248 J⑤设 F 力功 WF，对这一过程应用动能定理或功能原理 WF+EP-（mA+mB）g（x-x′）=1 （mA+mB）v2 2⑥联立① ⑤ ，且注意到 EP=0.248 J ④ ⑥ 可知，WF=9.64× -2 J 10 ●锦囊妙计 一、高考要求 轻弹簧是一种理想化的物理模型，以轻质弹簧为载体，设置复杂的物理情景，考查力的概念，物体 的平衡，牛顿定律的应用及能的转化与守恒，是高考命题的重点，此类命题几乎每年高考卷面均有所见. 应引起足够重视. 二、弹簧类命题突破要点 1.弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力.当题目中出现弹簧时，要注意弹力的大小与方向 时刻要与当时的形变相对应.在题目中一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置，现长位置， 找出形变量 x 与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，以此来分析计算物 体运动状态的可能变化. 2.因弹簧（尤其是软质弹簧）其形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变.因 此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变. 3.在求弹簧的弹力做功时，因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算，也可据 动能定理和功能关系：能量转化和守恒定律求解.同时要注意弹力做功的特点：Wk=-（ 力的功等于弹性势能增量的负值.弹性势能的公式 Ep=1 2 1 2 kx2 - kx1 ） ，弹 2 21 2 kx ，高考不作定量要求，可作定性讨论.因此，在 2求弹力的功或弹性势能的改变时，一般以能量的转化与守恒的角度来求解. ●歼灭难点 1.如左图所示， 小球在竖直力 F 作用下将竖直弹簧压缩， 若将力 F 撤去， 小球将向上弹起并离开弹簧， 直到速度变为零为止，在小球上升的过程中 A.小球的动能先增大后减小 B.小球在离开弹簧时动能最大 C.小球的动能最大时弹性势能为零 D.小球的动能减为零时，重力势能最大第 16 页 共 16 页2.（00 年春）一轻质弹簧，上端悬挂于天花板，下端系一质量为 M 的平板，处在平衡状态.一质量为 m 的均匀环套在弹簧外，与平板的距离为 h，如图右所示.让环自由下落，撞击平板.已知碰后环与板以相 同的速度向下运动，使弹簧伸长. A.若碰撞时间极短，则碰撞过程中环与板的总动量守恒 B.若碰撞时间极短，则碰撞过程中环与板的总机械能守恒 C.环撞击板后，板的新的平衡位置与 h 的大小无关 D.在碰后板和环一起下落的过程中， 它们减少的动能等于克服弹簧力所 做的功 3.如图 2-10 所示的装置中，木块 B 与水平桌面间的接触是光滑的，子 图 2-10弹 A 沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短.现将子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对 象（系统） ，则此系统在从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程中 A.动量守恒，机械能守恒 B.动量不守恒，机械能不守恒 C.动量守恒，机械能不守恒 D.动量不守恒，机械能守恒 4.如图 2-11 所示，轻质弹簧原长 L，竖直固定在地面上，质量为 m 的小球从距地 面 H 高处由静止开始下落，正好落在弹簧上，使弹簧的最大压缩量为 x，在下落过程中，空气阻力恒为 f， 则弹簧在最短时具有的弹性势能为 Ep=________. 5.（01 年上海）如图 9-12（A）所示，一质量为 m 的物体系于长度分别为 l1、l2 的两根细线上，l1 的 一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为 θ，l2 水平拉直，物体处于平衡状态.现将 l2 线剪断，求剪断瞬时 物体的加速度. （1）下面是某同学对该题的一种解法： 解：设 l1 线上拉力为 T1，l2 线上拉力为 T2，重力为 mg，物体在三力作用下保持平衡： T1cosθ=mg,T1sinθ=T2,T2=mgtanθ 图 2―12 剪断线的瞬间，T2 突然消失，物体即在 T2 反方向获得加速度.因为 mgtanθ=ma,所以 加速度 a=gtanθ,方向在 T2 反方向. 你认为这个结果正确吗?请对该解法作出评价并说明理由. （2）若将图 A 中的细线 l1 改为长度相同、质量不计的轻弹簧，如图 2-12（B）所示，其他条件不变， 求解的步骤与（1）完全相同，即 a=gtanθ，你认为这个结果正确吗?请说明理由. 图 2-11第 17 页 共 17 页*6.如图 2-13 所示，A、B、C 三物块质量均为 m，置于光滑水平台面上.B、C 间夹有原已完全压紧不 能再压缩的弹簧，两物块用细绳相连，使弹簧不能伸展.物块 A 以初速度 v0 沿 B、C 连线方向向 B 运动， 相碰后，A 与 B、C 粘合在一起，然后连接 B、C 的细绳因受扰动而突然断开，弹簧伸展，从而使 C 与 A、 B 分离，脱离弹簧后 C 的速度为 v0. （1）求弹簧所释放的势能 ΔE. （2）若更换 B、C 间的弹簧，当物块 A 以初速 v 向 B 运动，物块 C 在脱离弹簧后的速度为 2v0，则 弹簧所释放的势能 ΔE′是多少? （3）若情况（2）中的弹簧与情况（1）中的弹簧相同，为使物块 C 在脱离弹簧后的速度仍为 2v0， A 的初速度 v 应为多大?参考答案： ［难点提出］ 1.C 2.1 1 1 ? ）m1（m1+m2）g2 m2（m1+m2）g2;（ 2 k k2 k23.1 x0 2［歼灭难点］ 1.AD 2.AC 3.B4.分析从小球下落到压缩最短全过程 由动能定理： （mg-f） （H-L+x）-W 弹性=0 W 弹性=Ep=（mg-f） （H-L+x） 5.（1）结果不正确.因为 l2 被剪断的瞬间，l1 上张力的大小发生了突变，此瞬间 T2=mg cosθ,a=g sinθ （2）结果正确，因为 l2 被剪断的瞬间、弹簧 l1 的长度不能发生突变、T1 的大小和方向都不变. 6.（1）1 mv02 3（2）1 m（v-6v0）2 12（3）4v0绳子、弹簧和杆产生的弹力特点第 18 页 共 18 页模型特点:1. 轻绳 （1）轻绳模型的特点 D绳‖在物理学上是个绝对柔软的物体，它只产生拉力（张力） ，绳的拉力沿着绳的方向并指向绳的收缩方 向。它不能产生支持作用。 它的质量可忽略不计，轻绳是软的，不能产生侧向力，只能产生沿着绳子方向的力。它的劲度系数非常 大，以至于认为在受力时形变极微小，看作不可伸长。 （2）轻绳模型的规律 ① 轻绳各处受力相等，且拉力方向沿着绳子； ② 轻绳不能伸长； ③ 用轻绳连接的系统通过轻绳的碰撞、撞击时，系统的机械能有损失； ④ 轻绳的弹力会发生突变。 2. 轻杆 （l）轻杆模型的特点 轻杆的质量可忽略不计，轻杆是硬的，能产生侧向力，它的劲度系数非常大，以至于认为在受力时形变 极微小，看作不可伸长或压缩。 （2）轻杆模型的规律 ① 轻杆各处受力相等，其力的方向不一定沿着杆的方向； ② 轻杆不能伸长或压缩； ③ 轻杆受到的弹力的方式有拉力或压力。 3. 轻弹簧 （1）轻弹簧模型的特点 轻弹簧可以被压缩或拉伸，其弹力的大小与弹簧的伸长量或缩短量有关。 （2）轻弹簧的规律 ① 轻弹簧各处受力相等，其方向与弹簧形变的方向相反； ② 弹力的大小为 F=kx，其中 k 为弹簧的劲度系数，x 为弹簧的伸长量或缩短量； ③ 弹簧的弹力不会发生突变。 案例探究: 【案例 1】如图所示，一质量为 m 的物体系于长度分别为 L1、L2 的两根细绳 OA、OB 上，0B 一端悬挂 在天花板上，与竖直方向夹角为 θ，OA 水平拉直，物体处于平衡状态，现在将 OA 剪断，求剪断瞬间物第 19 页 共 19 页体的加速度，若将绳 OB 换为长度为 L2 的弹簧，结果又如何？ B θ A O A O B甲 分析与解答： 为研究方便，我们两种情况对比分析。乙（1）剪断前，两种情况小球受力一样，分别如图（1）（2）所示，利用平衡条件，则 mg 与 F2 的合 、 力与 F1 大小相等，方向相反，可以解得 F1=mgtgθ。 F2 A F1 （1） mg O F1 θ B（2）剪断后瞬间，绳 OA 产生的拉力 F1 消失， 对绳来说，其伸长量很微小，可以忽略不计，不需要形变恢复时间，因 此，绳子中的张力也立即发生变化，这时 F2 将发生瞬时变化，mg 与 F2 的合 力将不再沿水平方向，而是由于小球下一时刻做单摆运动沿圆弧的切线方 向，与绳垂直，如图（3）所示，F 合=mgsinθ，所以 a=gsinθ。 对弹簧来说，其伸长量大，形变恢复需要较长时间，认为弹簧的长度 mg （3） F2 F2F合 mg （4）F1还没有发生变化。这时 F2 不发生变化，故 mg 与 F2 的合力仍然保持不变，与 F1 大小相等， 方向相反，如图（4）所示，所以 F 合= F1=mgstgθ， a=gstgθ。【案例 2】一根细绳，长度为 L，一端系一个质量为 m 的小球，在竖直面内做圆周运动，求小球通过最高 点时的速度至少是多少？若将绳换为一根匀质细杆，结果又如何？ 分析与解答： （1）对绳来说，是个柔软的物体， 它只产生拉力，不能产生支持作用， 小球在最高点时，（1）第 20 页 共 20 页v F mg弹力只可能向下，如图（1）所示。 这种情况下有 F ? m g ?m v2 ? mg L即 v ? gL ，否则不能通过最高点。 （2）对细杆来说，是坚硬的物体，它的弹力既可能向上又可能向下，速度大小 v 可以取任意值。 可以进一步讨论： ① 当杆对小球的作用力为向下的拉力时，如图（2）所示：F+mg=m v2 ＞mg L所以 v＞ gL② 当杆对小球的作用力为向上的支持力时，如图（3）所示：m v2 mg－F= ＜mg L所以 v＜ gL当 N=mg 时，v 可以等于零。 ③ 当弹力恰好为零时，如图（4）所示：mg=m v2 LF mg所以 v= gL v F v mg mg v（2） （3） （4） B C α A【案例 3】如图所示，小车上固定一弯折硬杆 ABC,C 端固定质量为 m 的 小球，已知 α=30°恒定。当小车水平向左以 v=0.5m/s 的速度匀速运动时， BC 杆对小球的作用力的大小是 ，方向是 ；当小车水平向左 ，以 a=g 的加速度作匀加速运动时， 杆对小球的作用力的大小是 BC 方向是 。分析与解答： 对细杆来说，是坚硬的物体，可以产生与杆垂直的横向的力，也可以产生与杆任何夹角的弹力第 21 页 共 21 页（1）当小车水平向左以 v=0.5m/s 的速度匀速运动时，由平衡条件，细杆对小球的力必定与重力等大反 向，如图（1）所示。 （2）当小车水平向左以 a=g 的加速度作匀加速运动时，小球所受合力 F 合=mg 沿水平方向，则小球受 细杆的弹力 N= 2 mg，与水平方向夹角为 450，如图（2）所示。 B N N C mg（1）C A mg AF 合=mg（2）精品练习: 1.如图所示，有一质量为 m 的小球用轻绳悬挂于小车顶部，小车静止或匀 速直线运动时，求绳子对小球作用力的大小和方向。2. 如图所示，小车上有一弯折轻杆，杆下端固定一质量为 m 的小球。当小车处于静 止或匀速直线运动状态时，求杆对球的作用力的大小和方向。3. 如图所示，一质量为 m 的小球用轻绳悬挂在小车顶部，小车向左以加速度 a 做匀加速直线运动时，求轻绳对小球的作用力的大小和方向。4. 若将上题中的轻绳换成固定的轻杆，当小车向左以加速度 a 做匀加速直线运动时，求杆对球的作 用力的大小及方向。5. 如图 6 所示，小球在细线 OB 和水平细线 AB 的作用下而处于静止状态， 则在剪断水平细线的瞬间，小球的加速度多大？方向如何？ 6. 如图 9 所示，一轻质弹簧和一根细线共同提住一个质量为 m 的小球，平衡 时细线是水平的，弹簧与竖直方向的夹角是 ? ，若突然剪断细线，则在剪断的瞬 间，弹簧拉力的大小是__________，小球加速度与竖直方向夹角等于_________。第 22 页 共 22 页精品练习答案: 1.解析：小车静止或匀速直线运动时，小球也处于静止或匀速直线运动状态。由平衡条件可知，绳子 对小球的弹力为 F?m ，方向是沿着绳子向上。 g 若将轻绳换成轻弹簧，其结果是一样的。 2.解析：以小球为研究对象，可知小球受到杆对它一个的弹力和重力作用，由平衡条件可 知小球受力如图所示。则可知杆对小球的弹力为 F?m ，方向与重力的方向相反即竖直向 g 上。 注意：在这里杆对小球的作用力方向不是沿着杆的方向。 3.解析：以小球为研究对象进行受力分析，如图 4 所示。根据小球做匀加速直线运动可得在竖直方向Fo?? g cs m在水平方向 Fn ? a s? m i 解之得 F mg ? ,t n ? ? a a?2 2a g轻绳对小球的作用力大小随着加速度的增大而增大，它的方向沿着绳子，与竖直方向的夹角为 ? 。 4.解析：如图，小球受到重力和杆对它的弹力 F 作用而随小车一起向左做匀加速直线运动。 在竖直方向 Fo ? g cs m ? 在水平方向 Fn ? a s?m i 解之得 F mg ? ， ? ? a tn ? 。 a2 2a g由解答可知，轻杆对小球的作用力大小随着加速度的增大而增大，它的方向不一定沿着杆的方向，而 是随着加速度大小的变化而变化。只有 a?gta ?时，F 才沿着杆的方向。 n 5. 解 析 ： 在 没 有 剪 断 之 前 对 小 球 进 行 受 力 如 图 所 示 ， 由 平 衡 条 件 可 得F?mg ， F? g n 。 t T m a? cos?当剪断水平细线 AB 时，此时小球由于细线 OB 的限制，在沿 OB 方向上，小第 23 页 共 23 页球不可能运动，故小球只能沿着与 OB 垂直的方向运动，也就是说小球所受到的重力，此时的作用效果是 拉绳和沿垂直绳的方向做加速运动，其受力如图所示。由图可知 mg sin ? ? ma ，则可得 a?gs ?方向 in 垂直于 OB 向下。绳 OB 的拉力 F? g o? ' mc s ，则可知当剪断水平细线 AB 时，细线 OB 的拉力发生了突 变。 6.解析：在细线未剪断前，由平衡条件可得 水平细线的拉力 F? g n t T m a? 弹簧的拉力 F ?mg cos?当剪断细线的瞬时， F ?0，而弹簧形变不能马上改变，故弹簧弹力 F 保持原值。在图所示中， TF?mg 。所以在剪断细线的瞬时 F 和 mg 的合力仍等于原 FT 的大小，方向水平向右。则可知小球的 cos?加速度方向沿水平向右，即与竖直成 90? 角，其大小为 a?gta ?。 n涉及绳子能发生突变的几个量与绳子相连接的物体，它的基本物理量如弹力、速度、能量等，能发生突变，这种突变比较隐蔽， 不容易发现，容易产生错解，这就要求我们要认真理解和把握这类情况，这样我们在分析和处理类似问 题时就会站得更高，看得更远，考虑问题也就会更周全一些，这对我们解决问题大有益处。 一. 绳子的弹力可发生突变 由于绳子的特点，它的弹力可发生突变，它与弹簧不同，弹簧的弹力不能发生突变，同学们一定要 注意区别，不能混淆。第 24 页 共 24 页例 1. 如图 1 所示，一条轻弹簧 OB 和一根细绳 OA 共同拉住一个质量为 m 的小球，平衡时细绳 OA 是水平的，弹簧与竖直方向的夹角是 ，若突然剪断细绳 OA，则在刚剪断的瞬间，弹簧拉力的大小是 _________，小球加速度的方向与竖直方向的夹角等于_________，若将弹簧改为一根细绳，则在 OA 线 剪断瞬间，绳 OB 的弹力大小是________，小球加速度方向与竖直方向夹角等于__________。图1 分析与解答：这是一道典型的要区分细绳与弹簧有什么不同的题，只要我们认清细绳可发生突变， 而弹簧不能发生突变的情况，则这就不是一道难题。 细绳未剪断前，小球所受重力，弹簧的拉力和细绳的拉力是平衡的，即重力与弹簧的拉力的合力是 沿水平方向向右，大小 ，细绳剪断后，弹簧的形变不能马上改变，弹力仍保持原值， 因重力、 弹簧弹力不变， 所以此时小球加速度方向是沿水平向右， 即与竖直方向夹角是 ， 若弹簧改用细绳，则 OA 线剪断瞬间，细绳 OB 的形变发生突变，小球有沿圆弧切线方向的加速度，故重 力与绳 OB 的拉力的合力必沿切线方向，由此求得 二. 与绳子相连接的物体，速度发生突变 与绳子相连接的物体，由于某些时候绳子的形变发生突变，它的速度会随着发生突变，对这类问题 若不加仔细分析，引起注意，接下来其他量的求解就会随着出错，因此必须引起高度重视。 例 2. 如图 2 所示，质量为 m 的小球用长为 L 的细绳系于 O 点，把小球拿到 O 点正上方且使细绳拉 直的位置 A 后，以 的速度水平向右弹出（空气阻力不计） ，夹角为 。（1）小球从弹出至下落到与 O 点等高的位置这一过程中，小球做什么运动，请说明理由； （2）求小球到达最低点时细绳上的拉力大小。图2 分析与解答：（1）设球在最高点只受重力且做圆周运动，则有：第 25 页 共 25 页因为，所以小球做平抛运动。（2）设小球下落到与 O 点等高的位置时，在水平方向的位移为 x，有，，得：水平方向速度：竖直方向的速度：在此，小球在水平方向的速度突变为 0，消失了，只剩下竖直向下的速度，此后，小球以 向下做圆周运动（同学们往往在此发生错误）。设小球下落到最低点时速度为 械能守恒： ，绳子拉力为为初速 ，由机又由牛顿第二定律有：解得： 三. 与绳子相连接的物体，机械能发生突变 与松弛的绳子相连接的物体，在突然被绳子紧拉一下时，其机械能会发生突变，转变为其他形式的 能，解这类题目要特别注意，否则将发生一系列连锁错误。 例 3. 在光滑水平面上，有一质量 的拖车连接，一质量 的小车，通过一根几乎不可伸长的轻绳与另一质量 的物体放在拖车的平板上，物体与平板间的动摩擦因数 的速度前进，求：，开始时，拖车静止，绳未拉紧，如图 3 所示，小车以第 26 页 共 26 页（1）以同一速度前进时，其速度的大小；（2）物体在拖车平板上移动的距离。图3 分析与解答：整个运动过程可分成两个阶段：① 绳子被拉紧时，m1 与 m2 获得共同速度，m1、m2 系 统的动量守恒，由于绳子由未绷紧到绷紧，会有机械能的损失（在这个问题上很容易被忽视），此时 m3 的速度还为零；② 绳子拉紧后，在摩擦力作用下 m3 加速，m1 与 m2 减速，m3 与 m2 间有相对滑动，直至三 者速度相等，一起运动。此阶段系统动量守恒，机械能不守恒，但可由动能定理求解。 绳刚被拉紧时，设 m1 与 m2 的共同速度为 v1，m1 与 m2 系统动量守恒，有：解得： 再对 m1、m2、m3 系统，由动量守恒得：解得： 绳拉紧后，物体在拖车上相对滑动，设拖车位移为 s1，物体位移为 s2，分别对两车、物体用动能定 理有： 小车和拖车：物块：可解得物体在拖车上移动的距离：水平方向上的碰撞＆弹簧模型［模型概述］在应用动量守恒、机械能守恒、功能关系和能量转化等规律考查学生的综合应用能力时， 常有一类模型，就是有弹簧参与，因弹力做功的过程中弹力是个变力，并与动量、能量联系，所以分析 解决这类问题时，要细致分析弹簧的动态过程，利用动能定理和功能关系等知识解题。第 27 页 共 27 页［模型讲解］ 一、光滑水平面上的碰撞问题 例 1. 在光滑水平地面上有两个相同的弹性小球 A、B，质量都为 m，现 B 球静止，A 球向 B 球运动，发 生正碰。已知碰撞过程中总机械能守恒，两球压缩最紧时的弹性势能为 EP，则碰前 A 球的速度等于（ ）A.B.C.D. ，由能解析：设碰前 A 球的速度为 v0，两球压缩最紧时的速度为 v，根据动量守恒定律得出量守恒定律得，联立解得，所以正确选项为 C。二、光滑水平面上有阻挡板参与的碰撞问题 例 2. 在原子核物理中，研究核子与核子关联的最有效途径是D双电荷交换反应‖。这类反应的前半部分过 程和下述力学模型类似，两个小球 A 和 B 用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态，在它 们左边有一垂直于轨道的固定挡板 P，右边有一小球 C 沿轨道以速度 v0 射向 B 球，如图 1 所示，C 与 B 发生碰撞并立即结成一个整体 D，在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被 锁定，不再改变，然后，A 球与挡板 P 发生碰撞，碰后 A、D 都静止不动，A 与 P 接触而不粘连，过一 段时间，突然解除锁定（锁定及解除锁定均无机械能损失） ，已知 A、B、C 三球的质量均为 m。图1 （1）求弹簧长度刚被锁定后 A 球的速度。 （2）求在 A 球离开挡板 P 之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。 解析： （1）设 C 球与 B 球粘结成 D 时，D 的速度为 v1，由动量守恒得 当弹簧压至最短时， 与 A 的速度相等， D 设此速度为 v2， 由动量守恒得， 由以上两式求得 A 的速度。（2）设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为 EP，由能量守恒，有撞击P 后，A 与 D 的动能都为零，解除锁定后，当弹簧刚恢复到自然长度时，势能全部转弯成 D 的动能，设D 的速度为 v3，则有第 28 页 共 28 页以后弹簧伸长，A 球离开挡板 P，并获得速度，当 A、D 的速度相等时，弹簧伸至最长，设此时的速度为 v4，由动量守恒得当弹簧伸到最长时，其势能最大，设此势能为 EP‖，由能量守恒，有解以上各式得。说明：对弹簧模型来说D系统具有共同速度之时，恰为系统弹性势能最多‖。 三、粗糙水平面上有阻挡板参与的碰撞问题 例 3. 图 2 中，轻弹簧的一端固定，另一端与滑块 B 相连，B 静止在水平直导轨上，弹簧处在原长状态。 另一质量与 B 相同滑块 A，从导轨上的 P 点以某一初速度向 B 滑行，当 A 滑过距离 l1 时，与 B 相碰， 碰撞时间极短，碰后 A、B 紧贴在一起运动，但互不粘连。已知最后 A 恰好返回出发点 P 并停止，滑块 A 和 B 与导轨的滑动摩擦因数都为 发时的初速度 v0。 ，运动过程中弹簧最大形变量为 l2，重力加速度为 g，求 A 从 P 出图2 解析：令 A、B 质量皆为 m，A 刚接触 B 时速度为 v1（碰前）由功能关系，有 A、B 碰撞过程中动量守恒，令碰后 A、B 共同运动的速度为 v2 有 碰后 A、B 先一起向左运动，接着 A、B 一起被弹回，在弹簧恢复到原长时，设 A、B 的共同速度为 v3， 在这一过程中，弹簧势能始末状态都为零，利用功能关系，有此后 A、B 开始分离，A 单独向右滑到 P 点停下，由功能关系有 由以上各式，解得第 29 页 共 29 页四、结论开放性问题 例 4. 用轻弹簧相连的质量均为 2kg 的 A、B 两物块都以 的速度在光滑的水平地面上运动，弹簧处于原长，质量为 4kg 的物体 C 静止在前方，如图 3 所示，B 与 C 碰撞后二者粘在一起运动。求： 在以后的运动中，图3 （1）当弹簧的弹性势能最大时物体 A 的速度多大？ （2）弹性势能的最大值是多大？ （3）A 的速度有可能向左吗？为什么？ 解析： （1）当 A、B、C 三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大，由于 A、B、C 三者组成的系统动量守 恒，有解得： （2）B、C 碰撞时 B、C 组成的系统动量守恒，设碰后瞬间 B、C 两者速度为 ，则设物块 A 速度为 vA 时弹簧的弹性势能最大为 EP，根据能量守恒（3）由系统动量守恒得设 A 的速度方向向左， 则作用后 A、B、C 动能之和，则实际上系统的机械能第 30 页 共 30 页根据能量守恒定律， ［模型要点］ 系统动量守恒是不可能的。故 A 不可能向左运动。，如果弹簧被作为系统内的一个物体时，弹簧的弹力对系统内物体做不做功都不影 ，动能与势能相互转化。响系统的机械能。能量守恒弹簧两端均有物体：弹簧伸长到最长或压缩到最短时，相关联物体的速度一定相等，弹簧具有最大的弹 性势能。 当弹簧恢复原长时，相互关联物体的速度相差最大，弹簧对关联物体的作用力为零。若物体再受阻力时， 弹力与阻力相等时，物体速度最大。 ［模型演练］ 如图 4 所示， 在光滑水平长直轨道上， B 两小球之间有一处于原长的轻质弹簧， A、 弹簧右端与 B 球连接，左端与 A 球接触但不粘连，已知，开始时 A、B 均静止。在 A 球的左边有一质量为的小球 C 以初速度向右运动，与 A 球碰撞后粘连在一起，成为一个复合球 D，碰撞时间极短，接着逐渐压缩弹簧并使 B 球运动，经过一段时间后，D 球与弹簧分离（弹簧始终处于弹性限度内） 。图4 （1）上述过程中，弹簧的最大弹性势能是多少？ （2）当弹簧恢复原长时 B 球速度是多大？ （3）若开始时在 B 球右侧某位置固定一块挡板（图中未画出） ，在 D 球与弹簧分离前使 B 球与挡板发生 碰撞，并在碰后立即将挡板撤走，设 B 球与挡板碰撞时间极短，碰后 B 球速度大小不变，但方向相反， 试求出此后弹簧的弹性势能最大值的范围。 答案： （1）设 C 与 A 相碰后速度为 v1，三个球共同速度为 v2 时，弹簧的弹性势能最大，由动量守恒， 能量守恒有：第 31 页 共 31 页（2）设弹簧恢复原长时，D 球速度为，B 球速度为则有 （3）设 B 球与挡板相碰前瞬间 D、B 两球速度与挡板碰后弹性势能最大，D、B 两球速度相等，设为当时，最大时，最小，所以第 32 页 共 32 页弹性碰撞模型及应用(一) 弹性碰撞模型 弹性碰撞是碰撞过程无机械能损失的碰撞，遵循的规律是动量守恒和系统机械能守恒。确切的说是 碰撞前后动量守恒，动能不变。在题目中常见的弹性球、光滑的钢球及分子、原子等微观粒子的碰撞都 是弹性碰撞。 已知 A、B 两个钢性小球质量分别是 m1、m2，小球 B 静止在光滑水平面上，A 以初速度 v0 与小球 B 发生弹性碰撞，求碰撞后小球 A 的速度 v1，物体 B 的速度 v2 大小 和方向 解析：取小球 A 初速度 v0 的方向为正方向，因发生的是弹性 碰撞，碰撞前后动量守恒、动能不变有： m1v0= m1v1+ m2v2 ① ② A m1v0 B m1v1 A 图1 m2v2 B1 1 1 2 2 m1v0 ? m1v12 ? m2 v 2 2 2 2由① 两式得： v1 ? ②(m1 ? m2 )v0 m1 ? m2，v2 ?2m1v0 m1 ? m2结论： （1）当 m1=m2 时，v1=0，v2=v0，显然碰撞后 A 静止，B 以 A 的初速度运动，两球速度交换， 并且 A 的动能完全传递给 B，因此 m1=m2 也是动能传递最大的条件； （2）当 m1＞m2 时，v1＞0，即 A、B 同方向运动，因 即两球不会发生第二次碰撞； 若 m1&&m2 时，v1= v0，v2=2v0 即当质量很大的物体 A 碰撞质量很小的物体 B 时，物体 A 的速度几乎 不变，物体 B 以 2 倍于物体 A 的速度向前运动。 （3）当 m1＜m2 时，则 v1＜0，即物体 A 反向运动。 当 m1&&m2 时，v1= - v0，v2=0 即物体 A 以原来大小的速度弹回，而物体 B 不动，A 的动能完全没有 传给 B，因此 m1&&m2 是动能传递最小的条件。 以上弹性碰撞以动撞静的情景可以简单概括为： （质量）等大小， （速度和动能）交换了；小撞大， 被弹回；大撞小，同向跑。 （二）应用举例 [例 1]如图 2 所示，两单摆的摆长不同，已知 B 的摆长是 A 摆长的 4 倍,A 的周期为 T,平衡时两钢球刚好接触，现将摆球 A 在两摆线所在的平面向左拉开一小角度释放，两球(m1 ? m2 ) 2m1 ＜ ，所以速度大小 v1＜v2， m1 ? m2 m1 ? m2第 33 页 共 33 页发生弹性碰撞,碰撞后两球分开各自做简谐运动，以 mA，mB 分别表示两摆球 A，B 的质量，则下列说法正 确的是； A．如果 mA=mB 经时间 T 发生下次碰撞且发生在平衡位置 B．如果 mA&mB 经时间 T 发生下次碰撞且发生在平衡位置 C．如果 mA&mB 经时间 T/2 发生下次碰撞且发生在平衡位置右侧 D．如果 mA&mB 经时间 T/2 发生下次碰撞且发生在平衡位置左侧 [解析] 当 mA=mB 时，A、B 球在平衡位置发生弹性碰撞，速度互换，A 球静止，由于 B 摆长是 A 摆 长的 4 倍,由单摆周期公式 T ? 2?L 可知,A 周期是 T，B 的周期是 2T，当 B 球反向摆回到平衡位置经时 g间为 T，再次发生碰撞。故 A 选项正确。当 mA＞mB 时，发生第一次碰撞后两球同向右摆动，但 A 球的速 度小于 B 球的速度， 并有 A 的周期是 B 周期的一半， 时 B 到达右侧最大位移处,此时 A 向左回到平衡 T/2 位置,A 继续向左;再经 T/2, B 完成半个全振动向右,A 恰好完成一次全振动向左同时回到平衡位置发生碰 撞，故 B 选项正确，C 选项错误；当 mA&mB 时，碰撞后 A 反弹向左运动，B 向右，若 mA 越接近 mB 发生 下一次碰撞的时间越接近 T，若 mA&&mB，A 接近原速反弹，B 几乎不动，发生下一次碰撞的时间越接近 T/2，当 A 经 T/2 经平衡位置从左向右运动时 B 恰好在右侧最高点，而 A、B 碰撞的位置只能在平衡位置 的右侧，或十分接近平衡位置，不可能在平衡位置的左侧，故 D 选项错误。 [例 2] 质量为 M 的小车静止于光滑的水平面上，小车的上表面和 所示，一个质量为 m 的小球以速度 v0 水平冲向小车，当小球返回左 端脱离小车时，下列说法正确的是： A．小球一定沿水平方向向左做平作抛运动 B．小球可能沿水平方向向左作平抛运动 C．小球可能沿水平方向向右作平抛运动 D．小球可能做自由落体运动 [解析]：小球水平冲上小车，又返回左端，到离开小车的整个过程中，系统动量守恒、机械能守恒， 相当于小球与小车发生弹性碰撞的过程，如果 m＜M，小球离开小车向左平抛运动，m=M，小球离开小 车做自由落体运动，如果 m＞M，小球离开小车向右做平抛运动，所以答案应选 B，C，D [例 3]在光滑水平面上有相隔一定距离的 A、B 两球，质量相等，假定它们之间存在恒定的斥力作用， 原来两球被按住，处在静止状态。现突然松开两球，同时给 A 球以速度 v0，使之沿两球连线射向 B 球，B 球初速度为零；若两球间的距离从最小值（两球未接触）到刚恢复到原始值所经历的时间为 t0，求：B 球 在斥力作用下的加速度第 34 页 共 34 页1 圆弧的轨道均光滑，如图 3 如图 4[解析]：A 球射向 B 球过程中，A 球一直作匀减速直线运动，B 球由静止开始一直作匀加速直线运动， 当两球速度相等时相距最近，当恢复到原始值时相当于发生了一次弹性碰撞， ，由于 A、B 质量相等，A、 B 发生了速度交换，系统动量守恒、机械能守恒。 设 A、B 速度相等时速度为 v，恢复到原始值时 A、B 的速度分别为 v1、v2， mv0= 2mv 2mv=mv1+ mv2 ① ② ③1 2 1 2 1 2 mv 0 ? mv1 ? mv 2 2 2 2由① 式得 v=v0 ，由② 解得 v1=0，v2= v0 ③ 2（另一组解 v1= v0，v2= 0 舍去）v0 v v 2 ? v v0 ? 2 则 B 的加速度 a= = 0 ? 2t 0 t0 t0[例 4] 如图 4 所示,光滑水平地面上静止放置两由弹簧相连木块 A 和 B,一质量为 m 子弹,以速度 v0, 水平击中木块 A,并留在其中,A 的质量为 3m,B 的质量为 4m. (1)求弹簧第一次最短时的弹性势能 (2)何时 B 的速度最大，最大速度是多少？ [解析](1)从子弹击中木块 A 到弹簧第一次达到最短的过程可分为两个小过程一是子弹与木块 A 的碰 撞过程，动量守恒，有机械能损失；二是子弹与木块 A 组成的整体与木块 B 通过弹簧相互作用的过程， 动量守恒，系统机械能守恒， 子弹打入: 打入后弹簧由原长到最短: 机械能守恒: 解① ③ ② 得 mv0=4mv1 4mv1=8mv2 ① ② ③ 图4 mvo A B1 1 2 4mv 12 ? 8mv 2 ? E P 2 2EP ? 1 2 mv 0 16(2)从弹簧原长到压缩最短再恢复原长的过程中， 木块 B 一直作变加速运动,木块 A 一直作变减速运动, 相当于弹性碰撞， 因质量相等， 子弹和 A 组成的整体与 B 木块交换速度,此时 B 的速度最大,设弹簧弹开时 A、B 的速度分别为 v1 , v 2 4mv1=4mv1’ +4mv2’ ④ ⑤ 解得: v1’=o ,v2’=v1 =' '1 1 1 ’ ’ 4mv 12 ? 4mv 12 ? 4mv 22 2 2 2v0 4可见,两物体通过弹簧相互作用,与弹性碰撞相似。第 35 页 共 35 页弹性碰撞模型的应用不仅仅局限于D碰撞‖，我们应广义地理解 D碰撞‖模型。这一模型的关键是抓住 系统D碰撞‖前后动量守恒、系统机械能守恒（动能不变） ，具备了这一特征的物理过程，可理解为D弹性碰 撞‖。我们对物理过程和遵循的规律就有了较为清楚的认识，问题就会迎刃而解。碰撞问题考点透析一、考点诠释 两个(或两个以上)物体相遇，物体之间的相互作用仅持续一个极为短暂的时间，而运动状态发生显著 变化，这种现象称为碰撞。碰撞是一个基本，十分重要的物理模型，其特点是： 1．瞬时性．由于物体在发生碰撞时，所用时间极短，因此在计算物体运动时间时，通常把碰撞时间 忽略不计；在碰撞这一极短的时间内，物体的位置是来不及改变的，因此我们可以认为物体在碰撞中位 移为零。 2．动量守恒性．因碰撞时间极短，相互作用的内力大于外力，所以系统在碰撞过程中动量守恒。 3．动能不增．在碰撞过程中，系统总动能只有减少或者不变，而绝不会增加，即不能违背能量守恒 原则。若弹性碰撞则同时满足动量、动能守恒。非弹性碰撞只满足动量守恒，而不满足动能守恒（系统 的动能减少） 。 二、解题策略 首先要根据碰撞的瞬时性特点，正确选取相互作用的研究对象，使问题简便解决；其次要确定碰撞 前和碰撞后系统中各个研究对象的状态；然后根据动量守恒定律及其他规律求解，并验证求得结果的合 理性。 三、边解边悟 1．在光滑的水平面上有三个完全相同的小球排成一条直线．2、1 v0 2 33 小球静止，并靠在一起，1 球以速度 v0 射向它们，如图所示．设碰 撞过程不损失机械能，则碰后三个小球的速度为多少？ 解析：本题的关键在于分析清楚实际的碰撞过程：由于球 1 与球 2 发生碰撞时间极短，球 2 的位置 来不及发生变化，这样球 2 对球 3 也就无法产生力的作用，即球 3 不会参与此次碰撞过程．而球 1 与球 2 发生的是弹性碰撞，质量又相等，故它们在碰撞中实现速度交换，碰后球 1 立即停止，球 2 速度立即变 为 v 0 ；此后球 2 与球 3 碰撞，再一次实现速度交换．所以碰后球 1、球 2 的速度为零，球 3 速度为 v0． 2．用轻弹簧相连的质量均为 m=2 K的 A、B 两物体都以 v=6m/s 的速度在光滑的水平地面上运动，弹簧处于原长，质量 M = 4 K的物 体 C 静止在前方，如图所示。B 与 C 碰撞后二者粘在一起运动，在以 后的运动中，求：第 36 页 共 36 页 A vBC（1）当弹簧的弹性势能最大时物体 A 的速度。 （2）弹性势能的最大值是多大？ 解析： （1）由动量守恒定律得 当弹簧的压缩量最大时，弹性势能最多，此时 A、B、C 的速度相等 2 mv=（2m+M）v1 v1=2 mv/（2m+M）=3 m/s 即 A 的速度为 3 m/s （2）由动量守恒定律得 B、C 碰撞时 mv=（m+M）v2 v2= mv/（m+M）=2m/s 由能量守恒可得 mv2/2＋（m＋M）v22/2=（2m＋M）v12/2＋△EP 解得：△EP=12J 3．质量均为 m，完全相同的两辆实验小车 A 和 B 停放 在光滑水面上，A 车上另悬挂有一质量为 2m 的小球 C。开 始 B 静止，A、C 以速度 v0 向右运动，两车发生完全非弹性 碰撞但不粘连，碰撞时间极短，碰后小球 C 先向右摆起，再 向左摆起……每次均未达到水平，求： （1）小球第一次向右摆起至最大高度 h1 时小车 A 的速度大小 v. （2）小球第一次向右摆起的最大高度 h1 和第一次向左摆起的最大高度 h2 之比. 解析： （1）研究 A、B、C 整体，从最开始到小球第一次向右摆起至最大高度过程中，根据水平方向 动量守恒 （3m）v0 = (4m) v 解得 v ?3 v0 4（2）研究 A、B 整体，两车碰撞过程中，设碰后瞬间 A、B 共同速度为 v1，根据动量守恒 mv0 = (2m)v1 解得 v1 ?1 v0 2从碰拉结束到小球第一次向右摆起至最大高度过程中，根据机械能守定律(2m) gh1 ?1 1 1 2 (2m)v0 ? (2m)v12 ? (4m)v 2 2 2 2第 37 页 共 37 页解得 h1 ?2 v0 16g由受力分析可知，小球下摆回最低点，B、C 开始分离。设此时小球速度为 v3，小车速度为 v4，以向 右为正方向，从碰撞结束到小球摆回最低点过程中根据水平方向动量守恒 （2m）v0 +(2m)v1 = (2m)v3 +(2m)v4 根据机械能守恒定律1 1 1 1 2 2 2 (2m)v0 ? (2m)v12 ? (2m)v3 ? (2m)v 4 2 2 2 2 1 解得小球速度 v3 = v1 = v0 ，方向向右 2小车速度 v4 = v0，方向向右 另一根不合题意舍去。 研究 A、C 整体从返回最低点到摆到左侧最高点过程。 根据水平方向向量守恒 (2m) v3 +mv4 = (3m)v5 根据机械能守恒定律(2m) gh2 ?解得 h2 ?2 v0 24g1 1 2 1 2 2 (2m)v3 ? mv 4 ? (3m)v5 2 2 2所以 h1：h2 =3：2 4．如图所示，质量为 M=3kg、长度为 L=1.2m 的木板静止在光滑 水平面上，其左端的壁上有自由长度为 L0=0.6m 的轻弹簧，右端放置一 质量为 m=1kg 的小物块，小物块与木块间的动摩擦因数为 μ=0.4，今对 小物块施加一个水平向左的瞬时冲量 I0=4N? s，小物块相对于木板向左运动而压缩弹簧使弹性势能增大为 最大值 Emax，接着小物块又相对于木板向右运动，最终恰好相对静止于木板的最右端，设弹簧未超出弹 性限度，并取重力加速度为 g=10m/s2。求： （1）当弹簧弹性势能最大时小物块速度 v； （2）弹性势能的最大值 Emax 及小物块相对于木板向左运动的最大距离 Lmax。 解析： （1）由动量定理及动量守恒定律得 I0=mv0 解得：v=1m/s第 38 页 共 38 页mv0=(m+M)v（2）由动量守恒定律和功能关系得 mv0=(m+M)u1 2 1 mv0 = （m+M）v2+μmgLmax+Emax 2 2 1 2 1 mv0 = （m+M）u2+2μmgLmax 2 2解得：Emax=3J Lmax=0.75m 5.在绝缘水平面上放一质量 m=2.0× -3kg 的带电滑块 A，所带电荷量 10 q=1.0× -7C.在滑块 A 的左边 l=0.3m 处放置一个不带电的绝缘滑块 B，质量 10 M=4.0× -3kg，B 与一端连在竖直墙壁上的轻弹簧接触(不连接)且弹簧处于 10 自然状态，弹簧原长 S=0.05m.如图所示，在水平面上方空间加一水平向左的匀强电场，电场强度的大小 为 E=4.0× 5N/C，滑块 A 由静止释放后向左滑动并与滑块 B 发生碰撞，设碰撞时间极短，碰撞后两滑块 10 结合在一起共同运动并一起压缩弹簧至最短处(弹性限度内)，此时弹性势能 E0=3.2× -3J，两滑块始终没 10 有分开，两滑块的体积大小不计，与水平面间的动摩擦因数均为 μ=0.5，g 取 10m/s2.求: (1)两滑块碰撞后刚结合在一起的共同速度 v； (2)两滑块被弹簧弹开后距竖直墙壁的最大距离 s. 解析:(1)设两滑块碰前 A 的速度为 v1，由动能定理有:qEl ? ?mgl ?解得:v1=3m/s1 2 mv1 2A、B 两滑块碰撞，由于时间极短动量守恒，设共同速度为 vmv1 ? (M ? m)v解得:v=1.0m/s (2)碰后 A、B 一起压缩弹簧至最短，设弹簧压缩量为 x1，由动能定理有：1 qEx 1 ? ? ( M ? m) gx1 ? E0 ? 0 ? ( M ? m)v 2 2解得:x1=0.02m 设反弹后 A、B 滑行了 x2 距离后速度减为零，由动能定理得:E0 ? qEx2 ? ? (M ? m) gx2 ? 0解得:x2≈0.05m 以后，因为 qE&μ(M+m)g，滑块还会向左运动，但弹开的距离将逐渐变小，所以，最大距离为: S=x2+s-x1=0.05m+0.05m-0.02m=0.08m.第 39 页 共 39 页6.如图所示，两个完全相同质量为m 的木板A、B 置于水平面上。它们的间距s=2.88m，质量为2m、 大小可以忽略的物块C 置于A 板的左端。C 与A 之间的动摩擦因数为 ?1 =0.22，A、B 与水平面之间的 动摩擦因数 ?2 =0.10，最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力。开始时，三个物体处于静止状态，现给C 施 加一个水平向右，大小为2 mg的恒力F，假定A、B 碰撞时间很短且碰撞后粘连在一起，要使C 最终不 5脱离木板，每块木板的长度最少要为多少？解析：在 A，B 碰撞之前，A，C 间的最大静摩擦力为 2 ?1 mg=0.44mg，大于 C 所受到的外力 0.4mg， 因此，A，C 之间无相对运动。所以 A，C 可作为一个整体。碰撞前 A，C 的速度可以用动能定理求出。 碰撞之后，A，B 具有共同的速度，C 的速度不变。A，C 间发生相对运动。并且根据题意，A，B， C 系统所受的摩擦力等于 F， 因此系统所受的合外力为零。 可运用动量守恒定理求出 C 刚好不脱离木板的 系统最终的共同速度。然后，运用能量守恒定律求出 A，B 的长度，即 C 与 A，B 发生相对位移的距离。 由于 F 小于 A，C 间最大静摩擦力，所以 A，C 无相对运动。 FS- ?2 3mgS= 解得 v1 =1 3m v12 24 3 m/s 54 3 m/s，m v1 =2m vab 5 2 3 m/s 得 vab = 5vc =因为，F= ?2 4mg=0.4所以，A，B，C 组成的系统合外力为零 2m vc +2m vab =4m v 得， v =3 3 m/s 5由能量守恒定理得 F2L+ L=5m1 1 2 2 1 2 4m v - ?1 2mg2L= 2m vc + 2m vab 2 2 2碰撞与类碰撞从两物体相互作用力的效果可以把碰撞问题分为：第 40 页 共 40 页一般意义上的碰撞：相互作用力为斥力的碰撞 相互作用力为引力的碰撞（例如绳模型） 类碰撞： 相互作用力既有斥力又有引力的碰撞（例如弹簧模型） 一、一般意义上的碰撞 如图所示，光滑水平面上两个质量分别为 m1、m2 小球相碰。这种碰 撞可分为正碰和斜碰两种，在高中阶段只研究正碰。正碰又可分为以下几 种类型： 1、完全弹性碰撞：碰撞时产生弹性形变，碰撞后形变完全消失，碰撞过程系统的动量和机械能均守恒 2、完全非弹性碰撞：碰撞后物体粘结成一体或相对静止，即相互碰撞时产生的形变一点没有恢复，碰撞 后相互作用的物体具有共同速度，系统动量守恒，但系统的机械能不守恒，此时损失的最多。 3、一般的碰撞：碰撞时产生的形变有部分恢复，此时系统动量守恒但机械能有部分损失。 例：在光滑水平面上 A、B 两球沿同一直线向右运动，A 追上 B 发生碰撞，碰前两球动量分别为PA ? 12kg ? m / s 、 PB ? 13kg ? m / s ，则碰撞过程中两物体的动量变化可能的是（ ）A、 ?PA ? ?3kg ? m / s ， ?PB ? 3kg ? m / s B、 ?PA ? 4kg ? m / s ， ?PB ? ?4kg ? m / s C、 ?PA ? ?5kg ? m / s ， ?PB ? 5kg ? m / s D、 ?PA ? ?24kg ? m / s ， ?PB ? 24kg ? m / s [析与解]：碰撞中应遵循的原则有： 1、 统动量守恒原则：即 ?PA ? ?PB ? 0 。此题 ABCD 选项均符合 2、物理情景可行性原则： （1） 、碰撞前，A 追上 B 发生碰撞，所以有碰前 v A ? v B （2） 、碰撞时，两球之间是斥力作用，因此前者受到的冲量向前，动量增加；后者受到的冲量向后，动 量减小，既 ?PA ? 0 ， ?PB ? 0 。此题 B 选项可以排除 （3） 、碰撞后，A 球位置在后，所以有 v A ' ? v B ' 3、系统能量守恒原则：在碰撞中，若没有能量损耗，则系统机械能守恒；若能量有损失，则系统的机械 能减小；而系统的机械能不可能增加。一般而言，碰撞中的重力势能不变，第 41 页 共 41 页所以有? ? E KA ? E KB ? E KA ? E KB 。此题中 D 选项可以排除。综上所述，本题正确答案为（A、C） 二、类碰撞中绳模型 例：如图所示，光滑水平面上有两个质量相等的物体，其间用一不可伸长的细 绳相连，开始 B 静止，A 具有 PA ? 4kg ? m / s （规定向右为正）的动量，开始 绳松弛，那么在绳拉紧的过程中，A、B 动量变化可能是（ A、 ?PA ? ?4kg ? m / s ， ?PB ? 4kg ? m / s B、 ?PA ? 2kg ? m / s ， ?PB ? ?2kg ? m / s C、 ?PA ? ?2kg ? m / s ， ?PB ? 2kg ? m / s D、 ?PA ? ?PB ? 2kg ? m / s [析与解]：绳模型中两物体组成的系统同样要满足上述的三个原则，只是在第 2 个原则中，由于绳对两个 小球施加的是拉力，前者受到的冲量向后，动量减小；后者受到的冲量向前，动量增加，当两者的速度 相等时，绳子的拉力为零，一起做匀速直线运动。综上所述，本题应该选择 C 选项。 三、类碰撞中弹簧模型 例：在光滑水平长直轨道上，放着一个静止的弹簧振子，它由一轻弹簧两端 各联结一个小球构成，两小球质量相等，现突然给左端小球一个向右的速度 V， 试分析从开始运动到弹簧第一次恢复原长这一过程中两球的运动情况并求弹簧第一次恢复到自然长度 时，每个小球的速度？ [析与解]：刚开始，A 向右运动，B 静止，A、B 间距离减小，弹簧被压缩，对两球产生斥力，相当于一 般意义上的碰撞，此时 A 动量减小，B 动量增加。当两者速度相等时，两球间距离最小，弹簧形变量最 大。接着，A、B 不会一直做匀速直线运动，弹簧要恢复原长，对两球产生斥力，A 动量继续减小，B 动 量继续增加。所以，到弹簧第一次恢复原长时，A 球动量最小，B 球动量最大。 在整个过程中，系统动量守恒，从开始到第一次恢复原长时，弹簧的弹性势能均为零，即系统的动能守 恒。 ）mv ? mvA ? mvB1 2 1 2 1 2 mv ? mv A ? mvB 2 2 2解得： vA ? v第 42 页 共 42 页vB ? 0或（这组解即为刚开始两个物体的速度）vA ? 0 vB ? v （此组解为弹簧第一次恢复原长时两个物体的速度）当然，读者还可以继续讨论接下来两个物体的运动情况。 实际上，不管是一般意义上的碰撞，还是类碰撞，在相互作用时两个物体的受力情况、冲量方向及动量变化情况是学生处理这类问题的难点所在。下面作者再补充一些相关习题作巩固用 1、甲、乙两球在光滑水平面上，在同一直线同一方向上运动，它们的动量分别为 P ? 5kg ? m / s ， 甲P ? 7kg ? m / s 。已知甲的速度大于乙的速度，甲球与乙球相碰，碰撞后乙球的动量变为 10kg ? m / s ， 乙则甲、乙两球质量 m甲 和 m乙 的关系为m甲 ? m乙。2、甲、乙两球放在光滑水平面上，它们用细绳相连。开始时细绳处于松弛 状态，现使两球反向运动，如图所示，当细绳拉紧，突然绷断，此后两球 的运动情况可能是图中的（ ）3、如图所示，滑块 A、B 的质量分别为 m1 、 m2 ，且 m1 ? m2 ，由轻质弹簧相连接，置于水平气垫导轨 上，用一细线把两滑块拉至最近，使弹簧处于最大压缩状态后绑紧，两个滑块一起以恒定的速度 v0 向右 滑动。某时刻烧断细线，当弹簧伸长至本身的自然长度时，滑块 A 的速度恰好为零，求 （1）最初弹簧处于最大压缩状态时的弹性势能为多少？ （2）定量分析在以后的运动过程中，滑块 B 是否会有速度等于零的时刻完全非弹性碰撞中的机械能变化第 43 页 共 43 页例 1、如图所示，有一质量为 m 的物体 B 静止在光滑水平面上，另一质量也为 m 的物体 A 以初速度 v0 匀速向 B 运动，两物体相撞后粘在一起运动，试求碰撞中产生的热能？mv0 ? 2mvv?v0 2Q ? ?E ?1 1 v 1 2 2 mv 0 ? 2 ? m( 0 ) 2 ? mv 0 2 2 2 4问题：这道题目主要考了哪两个知识点？它是怎么考的呢？ （1）动量守恒（2）能量守恒与转化 动量守恒DD两个物体发生完全非弹性碰撞 能量守恒与转化DD系统动能的减小转换成系统的热能例 2、如图所示，在一倾角为 θ 的斜面上有两质量都为 m 的物体 A、B，物体 B 处于静止状态，物体 A 以 V0 速度匀速下滑，与 B 碰撞后（碰撞时间极短）粘 两物体在碰撞中产生的热能？ 在一起，求：v v? 0 2 1 1 v 1 2 2 Q ? ?E ? mv 0 ? 2 ? m( 0 ) 2 ? mv 0 2 2 2 4问题： 1、什么样的情形我们也可以处理成完全非弹性碰撞？ 2、处理成完全非弹性碰撞后，系统动能的减小量是不是一定转化为热能？mv0 ? 2mv例 3、如图，小车的质量为 M，后端放一个质量为 m 的铁块，铁块和小车间的动摩擦因数为 μ，小车 和铁块一起以 V 的速度在光滑的地面上滑行时与墙发生正碰，在碰撞过程中无机械能损失。问铁块在车 上能滑动多远（设车子足够长且 M＞m）？MV－mV＝（m＋M）V1第 44 页 共 44 页Q?2 1 1 2 (m ? M )v ? (m ? M )v1 ? mguS 2 2例 4、如图所示，在一倾角为 θ 的斜面上有两质量都为 m 的物体 A、B，物体 B 处于静止状态，物体 A 以 V0 速度匀速下滑，与 B 碰撞后（碰撞时间极短）粘在一 体在碰撞中产生的热能？ 起，求：两物mv0 ? 2mvQ ? ?E ?v?v0 21 1 v 1 2 2 mv 0 ? 2 ? m( 0 ) 2 ? mv 0 2 2 2 41、重力势能减小量转化到哪里去了？ 2、匀速运动这个条件有什么作用？ 3、碰撞时间极短这个条件有什么作用？例 5：如图所示，有两个相同的货箱停放在倾角为 θ 的斜面上， 每个货箱长为 L， 质量为 m， 最下端的货箱到斜面底端的距离也为 L， 已知货箱与斜面间的滑动摩擦力与最大静摩擦力相等，现给 A 货箱 一初速度 V0，使之沿斜面下滑，与 B 发生碰撞后粘在一起运动，当 动摩擦因数为 μ 时，两货箱恰好停在斜面底端，求整个过程中由于碰撞损失的机械能为多少？整个过程中货箱减小的动能和重力势能分别为：?EK ? mv2 / 2第 45 页 共 45 页ΔEP＝mgLsinθ＋mg2Lsinθ＝3 mgLsinθ 整个过程中摩擦力做功全部转化热能 Q1： Q1＝fs＝mgLcosθ＋mg2Lcosθ＝3 mgLcosθ 设碰撞中产生的热量为 Q2，则由功能关系可知： ΔEP＋ΔEK＝Q1＋Q2 Q2＝ m v / 2 ＋3 mgLsinθ－3 mgLcosθ2例 6、如图所示，有 n 个相同的货箱停放在倾角为 θ 的斜面上，每个货箱长皆为 L，质量为 m 相邻两 货箱间距离也为 L，最下端的货箱到斜面底端的距离也为 L，已知货箱与斜面间的滑动摩擦力与最大静摩 擦力相等，现给第一个货箱一初速度 V0，使之沿斜面下滑，在每次发生碰撞的货箱都粘在一起运动，当 动摩擦因数为 μ 时，最后第 n 个货箱恰好停在斜面底端，求整个过程中由于碰撞损失的机械能为多少？ 分析：整个过程中货箱减小的动能和重力势能分别为：?EK ? mv2 / 2ΔEP＝mgLsinθ＋mg2Lsinθ＋┅ ＋mgnLsinθ ＝mgLsinθ? n(n+1)/2 整个过程摩擦力做功全部转化热能 Q1，其大小为： Q1＝fs＝mgLcosθ＋mg2Lcosθ＋┅ ＋mgnLcosθ ＝mgLcosθ? n(n+1)/2 设碰撞中所产生的热量为 Q2，则由功能关系可知： ΔEP＋ΔEK＝Q1＋Q2 Q2＝ m v / 2 ＋mgLsinθ? n(n+1)/2－mgLcosθ? n(n+1)/22冲击块模型与连接体问题一、学习内容 此卷依据近年高考特点和高考命题精神而设置的.通过连接体问题的讨论。,突出专题复习方法．以三 个分析：受力分析、过程分析，特定状态分析为命题重点。将知识重点与思维方法统一起来,从中考查分 析问题的能力和综合应变能力。适用于 3＋2、3＋x、3＋综合形式的考试。具体内容如下： 二、例题分析 [例 1]请做个小实验： 材料：一个金属螺母，一张纸片。第 46 页 共 46 页实验 1：将螺母和纸片从同一高度同时释放，观察其现象。 实验 2：将该纸片团成小纸团，将螺母、小纸团从同一高度同时释放，观察其现象。 请对观察到的现象作出合理的解释。 提示： 纸片纸团所受重力是相同的，不同的是纸片比纸团受到的空气阻力大。 参考答案： 如果没有空气阻力的影响 ，不同的物体自由下落的规律是相同的。纸团、纸片在空 气中下落时， 所受的空气阻力的大小是不同的，显然纸片受到的空气阻力比纸团大。 所以下落的慢一些，团成纸团受 到的空气阻力就小多了，所以与螺母几乎是同时落地。 说明： 地球表面处的各种不同的物体作自由下落时，如果有快慢不同的现象完全是由于空气 阻力造成的。 如果没有空气阻力的影响，各种不同的物体自由下落的规律相同，与物 体重力大小无关。 [例 2]对于自由落体运动，1 秒钟下落的高度是 9.8 吗？；相邻两秒钟内的位移之差是 9.8m 吗？ 提示： 此题检查对自由落体规律的认识和掌握情况。自由落体运动是初速为零的匀加速直线运动，并一定 要对重力加速度的概念认识清楚。 参考答案： 加速度是矢量，有大小、有方向。重力加速度的方向竖直向下，大小是 9.8m/s2。 重力加速度的大小 是 m/s2，其意思是说：作自由落体的物体每一秒钟速度增加 为 9.8m/s。这并不是说作自由落体运动的物体一秒内下落的高度为 9.8m。 自由落体运动第 1 秒内的位移，根据公式 m。自由落体运动是初速为零的匀加速直线运动。对于初速为零的匀加速直线运动，任意 两个连续相等 时间的位移之差为一常数，常数为 at2。对于自由落体运动这个常数等 于 gt2，g 是重力加速度，t 是人们 观察的连续相等的时间间隔。D相邻两秒钟内‖，指 的是连续相等的时间间隔是１秒，即 t 是 1 秒。所以 对于自由落体运动任意相邻两秒 钟内的位移之差 ΔS=gt2=9.8m 说明： 对于自由落体运动，一方面要搞清运动性质，另一方面，由它的运动性质所推出的一 些结论性的内 容作为经验也应该记下来。例如上面论述的问题。 [例 3]甲球的重力是乙球的 5 倍，甲、乙分别从高 H、2H 处同时自由落下（H 足够大） ，下列说法正 确的是（ ）第 47 页 共 47 页A、同一时刻甲的速度比乙大 B、下落 1m 时，甲、乙速度相同 C、下落过程中甲的加速度大小是乙的 5 倍 D、在自由下落的全过程，两球平均速度大小相等 思路分析： 甲、乙两球同时作初速度为零，加速度为 g 的直线运动，知 B 正确；平均速度等于末速度一半，D 错。 答案：B [例 4]甲、乙两辆汽车均以相同速度行驶，有关参考系，下列说法正确的是（ ） A、如两辆汽车均向东行驶，若以甲为参考系，乙是静止的 B、如观察结果是两辆车均静止，参考系可以是第三辆车 C、如以在甲车中一走动的人为参考系，乙车仍是静止的 D、刹车停下，乙车向东行驶，以乙车为参考系，甲车往西行驶 思路分析： 判别某物是否运动、 如何运动，只需看该物相对参考位置是否变化， 正确； A 如有第三辆车丙和甲、 乙同向同速行驶，以丙为参考系，甲、乙均静止，甲车刹车停下，乙车向东行驶，甲相对乙往西远离而 去，D 对。 答案：ABD [例 5]关于质点，下列说法正确的是（ ） A、质点一定是体积、质量极小的物体 B、计算火车过桥时所用时间，火车可当成质点 C、虽然地球很大，且有自转，研究地球公转时仍可作为质点 D、运动员在百米赛跑时不可作为质点，在马拉松比赛时可作为质点 思路分析： 只要物体的大小对研究的问题影响可忽略不计，物体就可看成质点，A 错 C 对；火车长度与桥长比 较不可忽略， 错； B 对百米赛跑而言， 人体宽度不能忽略， 对长达几十千米的马拉松长跑人体宽度可忽略， D 对。 答案：CD第 48 页 共 48 页三、检测题 1． 如图所示，一平板车停在光滑的水平面上，某同学站在小车上，若他设计下列操作方法，能使 平板车持续地向右驶去的是 A.用大锤连续敲打车的左端 B.只要从平板车的一端走向另一端即可 C.在车上装个电扇，不停地向左吹风 D.他站在车的右端将大锤丢到车的左端上放置 2． 如图所示，有一箱装得很满的土豆，以一定的初速度在动摩擦因数为 μ 的水平地面上作匀减速 运 动，不计其它外力及空气阻力，则中间一质量为 m 的土豆 A 受到其它土豆 对它的总作用力大小应是 A. B. C. D.3．茶杯从同一高度掉到水泥地上比掉到沙地上易碎的主要原因是 A.掉到水泥地上的动量变化大 B.掉到水泥地上受到的冲量大 C.掉到水泥地上受到的冲力大 D.逆时针方向持续流动的感应电流 4． 如图所示，小车 A、B 放在光滑的水平面上，A 端固定轻质弹簧，B 端 有油泥，弹簧的另一端放一物块 C，C 与小车质量相等弹簧被压缩，开始时 C 随 小车一起以 υo 向右运动， 某时刻突然放开物块 C， C 向 B 端冲去并跟 B 粘在一起， 与车间摩擦不计， 使 C 则 A. 弹簧伸长时 C 向右运动，小车向左运动 B．任意一段时间内小车与 C 的速度改变量大小相等 C．C、B 粘合成一体后的速度应与放 C 前小车和 C 的共同速度 相等 D．C、B 粘合成一体后，系统内有弹性势能转化为系统的动能，故 C、B 合二为一后速度一定大于 υo 5． 如图所示，放在光滑水平面上的 A、B 两物体，系在同一细绳的两端，开始绳是松弛的，A 和 B 向相反的方向运动，将绳拉断，那么绳拉断后，A、B 可能出现的运动状态是 A．A 和 B 同时停下来 B．A 和 B 沿各自原来的方向运动 C．其中一个停下来，另一个与它原来的速度等大反向运动第 49 页 共 49 页D．A 和 B 沿同一方向运动 6． 如图所示，在光滑水平面上停放质量为 m 装有弧形槽的车。现有一质量 也为 m 的小球以 的水平速度沿槽口向小车滑去(不计摩擦)， 到达某一高度后，小 球又返回车右端，则 A.小球离车后，对地将向右做平抛运动 B．小球离车后，对地将做自由落体运动 C．此过程中小球对车做功为 D．小球沿弧形槽上升的最大高度是 7． 如图所示，A、B 两个质量相等的木块，用轻弹簧连接，静止在光滑的水平面上，一颗子弹水平 射入木块 B 中并留在里面，子弹射入 B 的时间极短，此后 A.弹簧被压缩到最短时，A、B 具有相同的速度 B．弹簧有最大伸长量时两木块的速度都等于 0 C．弹簧由伸长的状态变化到形变消失时，A、B 的速度一定相同 D．若 A 的加速度等于 0 时，则 B 的加速度也一定等于 0 8． 光滑水平面上静止一辆小车，车上挂有一单摆，若在最低位置 A 点，给摆 球一个水平初速，如图中虚线位置为小球摆动过程中的最高位置，则 A.摆球从 A 点运动到最高位置的过程中，线的拉力对小车作正功 B．摆球从最高位置运动到 A 点的过程中，线的拉力对小车做负功 C．运动过程中小球的机械能守恒 D．运动过程中系统动量守恒 9． A、B 两铝质滑块在一水平长直气垫导轨上相碰，用闪光照相在 to=0,t1=Δt,t2=2Δt,t3=3Δt 各时刻 闪光四次，摄得如图所示照片，其中滑块 A 和 B 的质量分别为 mA 和 mB，已知 mB=1.5mA，照片上可以 看出 a 位置有 B 滑块的重迭像，据此照片可以推断下述结论中错误的是 A.碰撞前 B 静止，碰撞发生在 60cm 处，在 B．碰撞前 B 静止，碰撞发生在 60cm 处，在 C．碰撞后 B 静止，碰撞发生在 60cm 处，在 D．碰撞后 B 静止，碰撞发生在 60cm 处，在 时刻发生了碰撞 时刻发生了碰撞 时刻发生了碰撞 时刻发生了碰撞第 50 页 共 50 页10． 如图所示，甲车和小孩的总质量为 M１，以速度 υo 沿水平地面向右运动，乙车和小孩的总质 量 为 M2，车上小孩推着地面上一质量为 m 的箱子以共同速 度 υo 向左运动，已知 M１=M２，不计摩擦，为了防止相撞， 乙车上小孩将箱子推出，甲车上小孩将箱子接住，此后，下面 情况中可能发生的是 A.甲车静止，乙车向右运动 B．甲车向左运动，乙车向右运动，它们的运动速率相等且小于 υo C．两车都向左运动，甲车速率大于乙车速率 D．甲车向左运动，乙车向右运动，甲车速率小于乙车速率 11． 如图所示，质量分别为 m１和 m２的 A、B 两小球，带有等量异种电荷，通过绝缘弹簧连接，置 于绝缘光滑的水平面上，突然加一水平向右的匀强电场后，A、B 两球将由静止开始运动,在以后的运动过 程中，对 A、B 两小球和弹簧组成的系统，以下说法正确的是(设整个过程中不考虑电荷间库仑力的作用 且弹簧不超过弹性限度) A.由于电场力分别对 A 和 B 球做正功，故系统机械能不断增加 B.由于两小球所受电场力等大反向，故系统动量守恒 C．当弹簧长度达到最大值时，系统机械能最大 D．当小球所受电场力与弹簧的弹力相等时，系统动能最大 12．质量为 M 的汽车在平直的公路上行驶，发动机的输出功率 P 和汽车所受阻力 时间 t 内，汽车的速度由零增加到最大速率 功率用下列哪些式子计算 A. C. B. D. 都恒定不变。在，汽车前进的距离为 S，则这段时间内，发动机所做过的13． 如图所示，滑块 B 有一个半径为 R 的光滑圆弧槽 PQN。开始时静止在光 滑水平面上，左端紧靠在竖直墙壁旁。质量为 m 的小滑块 A 从距 P 端高 h=0.5R 处 有自由下落并恰好切入槽中，且沿槽恰好能滑到 N 端。则 A.滑块 B 的质量为 2m B.A、B 最终一起匀速 C.若内壁粗糙最终一