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　　一.打开原图,先用画笔修复工具修复脸上的黑痣.然后建立曲线调整图层,将图像拉亮
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　　得到新通道ALPHA1,再进行计算得到新通道Alpha2.进行计算的目的是得出人物皮肤区域,以便我们进行更好的调整.这招也是我从网上学到的
　　三.进入通道,按住CTRL,点击Alpha2通道.选择RGB,返回图层面板.建立曲线调整图层
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软件教程文章：78167篇 总浏览次数：2.53亿次高等数学第三次习题课解答43
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高等数学第三次习题课解答43
第三次习题课；题型1用导数定义计算极限；例1已知f(x)在x0处可导，则（1）lim；h?0；f(x0?3h)?f(x0)f(x0?h)?f(；；（2）lim；；0h?h2h；1x；（4）lim；)]；；x?02nf(x0)?f(x0?x)；（3）limn[f(x0??f(x0?；n??；（5）lim；n??；f(x0?xn)?f(x0?yn)；(xn~yn
第三次习题课题型1用导数定义计算极限例1已知f(x)在x0处可导，则 （1）limh?0f(x0?3h)?f(x0)f(x0?h)?f(x0?h)；
（2）lim；0h?h2h1n1x（4）lim； )]；x?02nf(x0)?f(x0?x)（3）limn[f(x0??f(x0?n??（5）limn??f(x0?xn)?f(x0?yn)(xn~yn,n??).xnf(x0?xn)?f(x0?yn)(yn?x0?xn,limxn?limyn?x0)。n??n??xn?yn思考：limn??提示：变形成函数值的差与对应的自变量差的比的形式. （2）f?(x0)；（3）（1）?3f?(x0)；31（4）?；（5）2f?(x0). f?(x0)；2f?(x0)例2 设f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?n)，则f?(0)=
.提示：方法1：利用导数的定义；方法2：设g(x)?(x?1)(x?2)?(x?n)，f(x)?xg(x)，则f?(x)?g(x)?xg?(x)，从而f?(0)?g(0)?n!.练习1：设f(x)?(x?1)(x?2)?(x?n)1n?1，求f?(1).
答案为(?1).(x?1)(x?2)?(x?n)n(n?1)练习2:已知f(0)?0,g(0)?0，且f?(0),g?(0)存在；g?(0)?0，求limx?0f(x)f?(0)。答案为 g(x)g?(0)1h1?f(x?hx)?练习3： 已知函数f(x)在(0,??)内可导，f(x)?0,limf(x)?1，且满足lim??ex，求?x???h?0?f(x)?f(x).
提示：f(x)?e.例3. 设函数?(x)在点x?a处连续，且?(x)不恒为0，又设f(x)?(x?a)试讨论f(x)与g(x)在x?a处可导性.解：
题中只假定?(x)在连续，故只能从定义出发讨论f(x)与g(x)可导性?1x?(x)，g(x)?x?a?(x)，?x?0limf(a??x)?f(a)?x??(a??x)?lim??(a) ，即f(x)在x?a处可导的，且f?(a)??(a) ?x?0?x?x而g(a??x)?g(a)??x??(a??x)?x??(a??x)g(a??x)?g(a)??(a)?lim?x?0?x?0?x?x?x??(a??x)g(a??x)?g(a)lim????(a) ?lim??x?0?x?0?x?xlim?故当?(a)?0时，g(x)在x?a处可导，且g?(a)?0，当?(a)?0时，g(x)在x?a处不可导.，题型2 连续性、可导性和导函数连续性判断例4. 设f(x)???a?ln(1?x)?bx?2x?0，试确定常数a和b，使函数f(x)在x?0点可导. x?0x?0x?0x?0x?0f(x)?lim?a?ln(1?x)??a，lim?f(x)?lim??bx?2??2 解： 因为f(x)在x?0点应连续，由 lim??f(0)?2?a?2f??(0)?lim? 再看f(x)在x?0点左右导数，1?x)?2ln(1?x)f(x)?f(0)a?ln(?lim?lim?1??x?0x?0x?0x?0xxf(x)?f(0)bx?2?2??b f??(0)?limlimx?0?x?0?x?0x知b?1（另解：f??(0)?limf?(x)?lim?a?ln(1?x)?2??lim???x?0x?0x?0?1?1 1?x??lim
f??(0)?limf?(x)?lim（bx?2）b?b，从而b?1） ???x?0x?0x?0 例5 设f(x)在x?a的某个邻域内有定义，则f(x)在x?a处可导的一个充分条件是（
） （A）limh[f(a??f(a)]存在；（B）lim1f(a?2h)?f(a?h)存在；h???h?0hhf(a?h)?f(a?h)f(a)?f(a?h)（C）lim存在；（D）lim存在；h?0h?0hh2（B）（C）可用反例f(x)??提示：这四个选项都是必要条件，（A）?f??(a)存在，?1,x?a，则f(x)在?0,x?ax?a处间断，而极限都存在且为0，故选（D）.练习：设f(0)?0，则f(x)在x?0可导的充要条件是（
）11存在；
（B）f?f(1?eh)存在； (1cosh)lim2h?0hh?0h11（C）lim2f(h?sinh)存在；
（D）lim[f(2h)?f(h)]存在；.h?0hh?0h（A）lim?1,x?0提示：（A）（C）可用反例f(x)?x，（D）可用反例f(x)??，故选（B）.?0,0x?例6 设f(x)可导，F(x)?f(x)(1?sinx)，则f(0)?0是F(x)在x?0处可导的（
） （A）充分必要条件（B）充分但不必要（C）必要非充分（D）既非充分又非必要 提示：f(x)可导，F(x)在x?0处可导充要条件是?(x)?f(x)sinx在x?0点可导.而?(0)?lim??x?0?f(x)sinx?0f(x)sinx?0?f(x)sinxf(x)sinx?(0)?lim?lim?f(0)，???lim??f(0)??????x0x0x0x?0xx?0x即F(x)在x?0处可导?f(0)??f(0)?f(0)?0.练习：设f(x)在x?a处可导，证明f(x)在x?a处不可导的充要条件是f(a)?0且f?(a)?0。 等价于：设f(x)在x?a处可导，证明f(x)在x?a处可导的充要条件是f(a)?0或者f(a)?f?(a)?0。证明：设f(a)?0，不妨设f(a)?0，因为f(x)在x?a处可导，所以f(x)在x?a处连续，于是由极限的保号性知，???0,?x?U(0,?),f(x)?0，于是f(x)?f(x)，这样f(x)在x?a处可导。'设f(a)?0，于是f(x)x?a?limx?af(x)?f(a)f(x)f(x)?f(a)?lim?limx?ax?ax?ax?ax?a=?limx?af(x)?f(a)??f?(a)，x?a。 若f?(a)?0，则f(x)?x?a不存在；若f?(a)?0，则f(x)?x?a??0?0（存在）综上所述：若f(a)?0,?f(x)在x?a处可导； 若f(a)?f?(a)?0,?f(x)在x?a处可导；若f(a)?0,f?(a)?0,?f(x)在x?a处不可导；证毕！题型3 分段函数的导数计算例7 设f(x)?3x?xx，则使f32(n)(0)存在的最高阶数n为（
（D）32?4x3,x?0??24,x?0?24x,x?0??12x,x?0???????f(x)??提示：f(x)??， ?f(x)??2?f(x)??3x12,?012x,x?0?????2x,x?0?6x,x?0即f????(0)?24?f????(0)?12，故选（C）.练习：函数f(x)?(x?x?2)x?x不可导点的个数是(B).23(A)3,
(D)0. 对于左右导数，有如下的定理：（2）f(x)在(x0,x0??)上可导；（3）limf?(x)存在；则设（1）f(x)在[x0,x0??](??0)上连续；x?x0?0x?x0?0limf?(x)?f??(x0).1??x?0?xsin?例8
设f(x)??，其中?为常数，且当x?0时，使x有意义，讨论?取何值时，在x?0x?x?0?0点①f(x)连续；②f(x)可导；③f(x)的导函数连续. 解：
①要f(x)在x?0连续，即limxsin?x?01?0，只要??0； x②要f(x)在x?0可导，按导数定义应有x?sinlimx?01?01?limx??1sin?0存在，只要??1?0，即??1x?0x?0x??1③要f(x)的导函数在x?0点连续，由f?(0)?0及f?(x)??x
?x??2sin11?x??2cos xx11????xsin?cos?xx??只要lim?xx?0??211????xsin?cos??0得??2?0，??2.xx??x?0，其中g(x)是有界函数，则f(x)在x?0处（D ） 练习：1.设f(x)?x2g(x),x?0?（A）极限不存在 （B）极限存在但不连续 （C）连续，但不可导（D）可导??(x)?cosx,x?0?，其中?(x)具有二阶导数，且?(0)?1,??(0)?0， 2.设f(x)??x??a,
x?0（2）求f?(x)；（3）讨论f?(x)在x?0处的连续性. （1）确定a的值，使f(x)在x?0处连续；1??xarctan2,
x?0,3. （1995年高数三）设f(x)??讨论f?(x)在x?0处的连续性。 x??0,
x?0,xarctan提示：f?(0)?limx?0122??，limf?(x)?lim(arctan1?2x)??，x?0x?02x2x21?x4所以f?(x)在x?0处是连续。 题型4 利用导数定义求函数方程例9 设f(x)在(??,??)上有定义，且f?(0)?a(a?0)，对?x,y?(??,??)，f(x)?f(y)，求f(x).1?f(x)f(y)f(x?y)?提示：在条件中令x?y?0?f(0)?0，f(x)?f(h)?f(x)f(x?h)?f(x)f(h)[1?f2(x)]1?f(x)f(h)f?(x)?lim?lim?lim?f?(0)[1?f2(x)]h?0h?0h?0h[1?f(x)f(h)]hh于是解此微分方程得f(x)?tanax.练习：设f(x)在(??,??)上有定义，且f?(1)?a(a?0)，对?x,y?(??,??)，f(xy)?f(x)?f(y)，求f(x).（答案为f(x)?alnx）题型5 显函数的导数计算例10 求下列函数的导数： （1）y?arcsine；（2）y?； 11. （3）y?arctanln24?1?（4） 设f(t)?limt?1??x??x??2tx，求f?(x)（5） 设y?f?lnx?，其中f二阶可导，求y??. 提示：（1）y??；（2）y??y(1111??cot；x4x1224x2包含各类专业文献、幼儿教育、小学教育、中学教育、行业资料、生活休闲娱乐、高等教育、专业论文、文学作品欣赏、应用写作文书、各类资格考试、外语学习资料、高等数学第三次习题课解答43等内容。　
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核心提示：平时看个人照片时会不会感觉有些单调呢，本教程为大家介绍如何将照片制作成剪贴画的效果，大家就来看看效果吧。
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　　先来看看成品
　　其实制作步骤非常简单，5分钟就可以完成一张~~
　　具体思路是：勾出人物-剪切粘贴-加上阴影
　　具体过程如下：
　　1.用photoshop打开原图(建议先做好后期工作，例如修图、调色后合并图层)
　　2.然后选“钢笔工具”
　　用钢笔工具“勾出”人物，不必太仔细，可以随意点..
　　最后闭合路径
　　3.右键点击图像，选建立选区，将路径变成选区
　　弹出的窗口，“羽化半径”选“0”
　　4.剪切、粘贴选中的人物
　　粘贴后自动新建了一个图层
　　5.右键点击图层，选择“混合选项”，然后选中“投影”，根据图片调整数据。
　　加上阴影后可以看到立体效果了，下面扩大画布，让整张图片更加有层次
　　6.打开“图像―画布大小”，根据图片大小，扩大画布面积，背景色选白色。
　　7.最后用“移动工具”(快捷键V)，或者“自由变换”工具(CTRL+T)，调整剪切出来的图像位置、角度。
　　也可以将图片作不同裁剪，然后复制之前做好的阴影
　　(右击图层，选“拷贝图层样式”)，粘贴到新剪切的图层(“粘贴图层样式”)。
　　最后根据爱好，调整各个板块的排列，就完工啦～～
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