解一元三次方程_百度百科
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解一元三次方程
很早就掌握了的解法，但是对的研究，则是进展缓慢。、和等地的数学家，都曾努力研究过一元三次方程，但是他们所发明的几种，都仅仅能够解决特殊形式的三次方程，对一般形式的三次方程就不适用了。 在十六世纪的欧洲，随着数学的发展，一元三次方程也有了固定的求解方法。在很多数学文献上，把三次方程的求根公式称为“卡尔丹公式”。历史事实并不是这样，数学史上最早发现一元三次方程通式解的人，是十六世纪意大利的另一位数学家尼柯洛·冯塔纳（Niccolo Fontana）。
解一元三次方程历史过程
冯塔纳出身贫寒，少年丧父，家中也没有条件供他念书，但是他通过艰苦的努力，终于自学成才，成为十六世纪意大利最有成就的学者之一。由于冯塔纳患有“口吃”症，所以当时的人们昵称他为“”（Tartaglia）， 也就是意大利语中“结巴”的意思。后来的很多数学书中，都直接用“塔尔塔里亚”来称呼冯塔纳。经过多年的探索和研究，冯塔纳利用十分巧妙的方法，找到了一般形式的求根方法。这个成就，使他在几次公开的数学较量中大获全胜，从此名扬欧洲。但是冯塔纳不愿意将他的这个重要发现公之于世，因为那个年代意大利盛行打数学，冯塔纳把他解三次方程的秘诀作为，是他获得比赛的胜利的宝剑。
当时的另一位意大利数学家兼医生卡尔丹（有的资料也称为，卡尔达诺），对冯塔纳的发现非常感兴趣。他几次诚恳地登门请教，希望获得冯塔纳的求根公式。可是冯塔纳始终守口如瓶，滴水不漏。虽然卡尔丹诺屡次受挫，但他极为执着，软磨硬泡地向冯塔纳“挖秘诀”。后来，冯塔纳终于用一种隐晦得如同咒语般的语言，把三次方程的解法“透露”给了卡尔丹。冯塔纳认为卡尔丹诺很难破解他的“咒语”，可是卡尔丹的悟性太棒了，他通过解三次方程的对比实践，很快就彻底破译了冯塔纳的秘密。卡尔丹把冯塔纳的三次方程求根公式，写进了自己的学术著作《大法》中，但并未提到冯塔纳的名字。随着《大法》在欧洲的出版发行，人们才了解到三次方程的一般求解方法。由于第一个发表三次方程求根公式的人确实是卡尔丹，因此后人就把这种求解方法称为“”，有的资料也称为“”。卡尔丹他人的学术成果，并且据为已有，这一行为在人类数学史上留下了不甚光彩的一页。这个结果，对于付出艰辛劳动的冯塔纳当然是不公平的。但是，冯塔纳坚持不公开他的研究成果，也不能算是正确的做法，起码对于人类科学发展而言，是一种不负责任的态度。
卡尔丹是第一个把写在二次内的数学家，并由此引进了的概念，后来经过许多数学家的努力，发展成了的理论。从这个意义上，卡尔丹公式对数学的发展作出了巨大贡献，史称卡尔丹公式是伟大的公式。
解一元三次方程问题是世界数学史上较著名且较为复杂而又有趣味的问题，虚数概念的引进、复数理论的建立，就是起源于解三次方程问题。一元三次方程应用广泛，如电力工程、水利工程、建筑工程、机械工程、动力工程、数学教学及其他领域等。用根号解一元三次方程，虽然有著名的，并有相应的判别法，但是使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏性。上世纪80年代，中国的一名中学数学教师对解一元三次方程问题进行了深入的研究和探索，发明了比卡尔丹公式更实用的新求根公式——，并建立了简明的、直观的、实用的新判别法——盛金判别法，同时提出了盛金定理，盛金定理清晰地回答了解三次方程的疑惑问题，且很有趣味。盛金公式的特点是由最简重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd和总判别式Δ=B^2－4AC来构成，体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美，简明易记、解题直观、准确高效，特别是当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式3：X⑴=－b/a+K；X⑵=X⑶=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)，其表达式非常漂亮，不存在开方（此时的卡尔丹公式仍存在），手算解题效率高。盛金公式3被称为超级简便的公式。与判别法及定理形成了一套完整的、简明的、实用的、具有的解三次方程的理论体系，范盛金创造出的这套万能的系统方法，对研究解问题及提高解三次方程的效率作出了贡献。
南宋数学家至晚在1247年就已经发现一元三次方程的求根公式（秦九韶一元三次方程求根公式），欧洲人在400多年后才发现，但在中国的课本上这个公式仍是以那个的名字来命名的。（《数学九章》等）
解一元三次方程卡尔丹公式
卡尔丹公式法
特殊型一元三次方程X^3+pX+q=0 (p、q∈R)。
Δ=(q/2)^2+(p/3)^3。
X1=(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3)；
X2= (Y1)^(1/3)ω+(Y2)^(1/3)ω^2；
X3=(Y1)^(1/3)ω^2+(Y2)^(1/3)ω，
其中ω=(－1+i3^(1/2))/2；
Y(1,2)=－(q/2)±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)。
标准型一元三次方程aX ^3+bX ^2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
令X=Y—b/(3a)代入上式。
可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3+pY+q=0。
卡尔丹判别法
当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3&0时，方程有一个实根和一对；
当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；
当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3&0时，方程有三个不相等的。
解一元三次方程其他方法
除了上文中的解法，还有其它解法，列举如下：
解一元三次方程因式分解法
法不是对所有的三次方程都适用，只对一些简单的三次方程适用．对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解。当然，对一些简单的三次方程能用因式分解求解的，当然用因式分解法求解很方便，直接把三次方程。
例如：x^3-x=0
对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0，得方程的三个根：x1=0；x2=1；x3=-1。
解一元三次方程一种换元法
对于一般形式的三次方程，先将方程化为x^3+px+q=0的特殊型。
令x=z-p/3z，代入并，得：z^3-p/27z+q=0。再令z^3=w，代入，得：w^2-p/27w+q=0．这实际上是关于w的。解出w，再顺次解出z，x。
解一元三次方程导数求解法
利用，求的函数的极大极小值，单调递增及递减区间，画出函数图像，有利于方程的大致解答，并且能快速得到方程解的个数，此法十分适用于高中数学题的解答。
如f(x）=x^3+x+1,得x^3+x=-1,设y1=x^3+x,y2=-1,
y1的导数y1'=3x^2+1,得y1'恒大于0，y1在R上单调递增，所以方程仅一个解，且当y1=-1时x在-1与-2之间，可根据f(x1)f(x2)&0的公式，无限逼近，求得较精确的解。
解一元三次方程盛金公式法
应用广泛。用根号解，虽然有著名的，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式——，并建立了新判别法——盛金判别法。
盛金判别法
解一元三次方程盛金定理
当b=0，c=0时，盛金公式1无意义；当A=0时，盛金公式3无意义；当A≤0时，盛金公式4无意义；当T&－1或T&1时，盛金公式4无意义。
当b=0，c=0时，盛金公式1是否成立？盛金公式3与盛金公式4是否存在A≤0的值？盛金公式4是否存在T&－1或T&1的值？盛金定理给出如下回答：
盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式1仍成立）。
盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时，适用盛金公式1解题）。
盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时，适用盛金公式1解题）。
盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ&0（此时，适用盛金公式2解题）。
盛金定理5：当A&0时，则必定有Δ&0（此时，适用盛金公式2解题）。
盛金定理6：当Δ=0时，若A=0，则必定有B=0（此时，适用盛金公式1解题）。
盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式3一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式3解题）。
盛金定理8：当Δ&0时，盛金公式4一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式4解题）。
盛金定理9：当Δ&0时，盛金公式4一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-1&T&1。
显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。
注意：盛金定理逆之不一定成立。如：当Δ&0时，不一定有A&0。
盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。
当Δ=0时，3不存在开方；当Δ=0(d≠0)时，仍存在开立方。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别较直观。重根判别式A=b^2-3ac；B=bc-9ad；C=c^2-3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式2中的式子(-B±(B^2-4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。
以上盛金公式解法的结论，发表在《海南师范学院学报（自然科学版）》（第2卷，第2期；1989年12月，中国海南。国内统一刊号：CN46-1014），第91—98页。，一元三次方程的新求根公式与新判别法。
解一元三次方程错解举例
虽然判别式正确，然而此公式不正确！
例1、X^3+4X^2+24X-404=0
a=1 b=4 c=24 d=-404
A=-56 B=3732 C=5424 △=
因为△&0，所以用②
ans^3+4ans^2+24ans-404≠0
例2、X^3-18X^2+107x-210=0
a=1 b=-18 c=107 d=-210
A=306 B=-36 C=109 △=-132120
∵△&0 ，∴用盛金公式④
arccos-1.=?
例3、 X^3-29X^2+264X-720=0
A=49 B=-1176 C=7056 △=0
∵△=0 ，∴用③
K=144 X1=173 X2=X3=-72
而原方程之三根为5、12、12
5≠173 12≠-72
解一元三次方程正确解题
上述三个例子是没有正确运用盛金公式解题，因而得出错误的结果，但并不表示公式不正确。
正确地运用解答上述三个例子如下：
例1、解方程X^3+4X^2+24X—404=0
a=1，b=4，c=24，d=—404。
A=—56；B=3732；C=5424，△=。
∵△&0，∴应用用盛金公式2求解。
X2，X3=—4.±7.i。
X1+X2+X3=—3.；
X1(X2+X3)+X2X3=24；
X1X2X3=404.0000001。
—b/a=—4；
—d/a=404。
经用韦达定理检验，结果正确。
例2、X^3—18X^2+107X—210=0
a=1，b=—18，c=107，d=—210。
A=3；B=—36；C=109，△=—12。
∵△&0 ，∴应用盛金公式4求解。
把有关值代入盛金公式4，得：
X1=5；X2=7；X3=6。
用韦达定理检验：
X1+X2+X3=18；
X1(X2+X3)+X2X3=107；
X1X2X3=210。
—b/a=18；
—d/a=210。
经用韦达定理检验，结果正确。
例3、X^3—29X^2+264X—720=0解：
a=1，b=—29，c=264，d=—720。
A=49；B=—1176；C=7056，△=0。
∵△=0 ，∴应用盛金公式3求解。
把有关值代入盛金公式3，得：
X1=5；X2=X3=12。
用韦达定理检验：
X1+X2+X3=29；
X1(X2+X3)+X2X3=264；
X1X2X3=720。
—b/a=29；
—d/a=720。
经用韦达定理检验，结果正确。
在所得的结果是的情况下，如果把近似值代入原方程，那么原方程的左边不为零，此时用检验不能判断结果是否正确，要用韦达定理检验才能判断结果是否正确。
是精确的三次方程求根公式，只要运算过程操作不失误，在计算机允许输入足够的位数的情况下，就可达到所需要的足够的。2009年4月 总版技术专家分月排行榜第一
2009年11月 Linux/Unix社区大版内专家分月排行榜第一2009年6月 Linux/Unix社区大版内专家分月排行榜第一2009年4月 C/C++大版内专家分月排行榜第一2009年3月 C/C++大版内专家分月排行榜第一2009年3月 Linux/Unix社区大版内专家分月排行榜第一2009年2月 Linux/Unix社区大版内专家分月排行榜第一
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关于一元三次方程求解
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请教各位大神，经常在求特征值的时候碰到一元三次方程，请问应该怎么解啊？
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题目在这儿
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刚怎么没发出来。。
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就是这个矩阵，求特征值
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这个特征值方程，不知道该怎么解
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(λ-1)(λ+2)(λ-4)
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(λ-1)(λ+2)(λ-4)
额。。能不能请问下过程。。。
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不看题目就知道你啥问题了。。我以前也是化成了那种展开的三次方程。。算起来爽歪歪啊。。。就化简的时候就要避免化成展开式，要化成那种乘积的形式，直接能出结果的。
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不看题目就知道你啥问题了。。我以前也是化成了那种展开的三次方程。。算起来爽歪歪啊。。。就化简的时候就 ...
这个矩阵我化了好久都没化成那种乘积的形式诶。。。能不能麻烦答主帮忙化一下？
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额。。能不能请问下过程。。。
原式=λ?-3λ?+2λ-8λ+8=λ(λ-2)(λ-1)-8(λ-1)=(λ-1)(λ?-2λ-8)=(λ-1)(λ+2)(λ-4)
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原式=λ?-3λ?+2λ-8λ+8=λ(λ-2)(λ-1)-8(λ-1)=(λ-1)(λ?-2λ-8)=(λ-1)(λ+2)(λ-4)
额请问是怎么想到提取这个（λ-1）和（λ-2）的呢？担心以后碰到这种问题还是不知道怎么化简。。。
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额请问是怎么想到提取这个（λ-1）和（λ-2）的呢？担心以后碰到这种问题还是不知道怎么化简。。。 ...
这就是初中因式分解的一些基本技巧拆项法，和考研内容关系不大，可以多找这种因式分解的题目熟悉一下。
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1元3次方程怎么解的?
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最基本的思想就是降次,这也是所有高次方程的基本解题思想.另外,一元三次方程有求根公式,就是用系数来表示根 一元三次方程求根公式的解法 -------摘自高中数学网站 一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的,用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型.一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到,即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式.归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型,即为两个开立方之和.归纳出了一元三次方程求根公式的形式,下一步的工作就是求出开立方里面的内容,也就是用p和q表示A和B.方法如下：（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到 （2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3)) （3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3),所以（2）可化为 x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x,移项可得 （4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0,和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较,可知 （5）－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q,化简得 （6）A+B＝－q,AB＝-（p/3）^3 （7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题,因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根,而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理,即 （8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a (9)对比（6）和（8）,可令A＝y1,B＝y2,q＝b/a,-（p/3）^3＝c/a (10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为 y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a) y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a) 可化为 (11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2) y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2) 将(9)中的A＝y1,B＝y2,q＝b/a,-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得 (12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2) B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2) (13)将A,B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得 (14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3) 式 (14)只是一元三方程的一个实根解,按韦达定理一元三次方程应该有三个根,不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根,另两个根就容易求出了.
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