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2013届高考数学理一轮复习课件：7.51 离散型随机变量的分布列、期望与方差
1．关于离散型随机变量分布列的计算方法如下： (1)写出ξ的所有可能取值． (2)用随机事件概率的计算方法，求出ξ取各个值的概率． (3)利用(1)(2)的结果写出ξ的分布列． 【命题立意】本题主要考查利用概率与统计知识求解实际应用问题的能力． D C A3
第51讲　离散型随机变量的分布列、
期望与方差
【学习目标】 1．了解离散型随机变量的期望、方差、标准差的意义，会求某些简单的离散型随机变量的概率分布； 2．会根据离散型随机变量的分布列求期望、方差或标准差； 3．理解二项分布的试验模型，会将某些特殊离散型随机变量的分布列，期望与方差转化化归为二项分布求解． C 4
离散型随机变量的概率分布还可以用条形图表示，如图所示． 0≤pi≤1，(i＝1,2，…)
p1＋p2＋…＋pi＋…＝1
为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布． x1p1＋x2p2＋…＋xnpn
偏离均值的平均程度
【点评】在研究实际随机变量的分布、期望与方差时，若实验模型具有独立重复的实验特征，则问题可化归为二项分布求解． 【点评】分析求解离散型随机变量的分布列、期望和方差综合问题，关键是认真阅读、理解题意，然后由题意确定随机变量的可能取值，同时对所取的每一个值的实际背景理解到位后，才能正确计算其概率，最后解决问题． 【基础检测】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．口袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任取2个钢球；设X表示所取2球的号码之和，则X的所有可能的值的个数为()A．25个
C．7个 D．6个【解析】X的可能取值是：1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝2＋3＝5，1＋5＝2＋4＝6,2＋5＝3＋4＝7,3＋5＝8,4＋5＝9，共7个．2．设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝k)＝，k＝0,1,2,3，则c＝.【解析】由P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝1得c＋＋＋＝1，故c＝.3．某批花生种子，每颗种子的发芽率为，若每坎播下5颗花生种子，则每坎种子发芽颗数的平均值为颗，方差为.【解析】ξ～B(5，)，Eξ＝nP＝5×＝4，Dξ＝nP(1－P)＝5××＝.4．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海()世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ＝ (结果用最简分数表示)．【解析】ξ可取0,1,2，因此P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，Eξ＝0×＋1×＋2×＝.5．随机变量ξ的分布列为ξ124P0.40.30.3则Eξ＝，Dξ＝，E(5ξ＋4)＝.【解析】Eξ＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2；Dξ＝(1－2.2)2×0.4＋(2－2.2)2×0.3＋(4－2.2)2×0.3＝1.56；E(5ξ＋4)＝5Eξ＋4＝5×2.2＋4＝15.【知识要点】1．离散型随机变量的概念随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，通常用字母X、Y表示．如果对于随机变量可能取到的值，可以按一一列出，这样的变量就叫离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列(1)设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…，xi，…，X取每一个值xi(i＝1,2，…)的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1,2，…)，则称下表为随机变量X的概率分布，简称X的分布列.Xx1x2…xi…Pp1p2…pi…(2)离散型随机变量的分布列具有以下性质：；；一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的．(3)两点分布：X01P1－pp像这样的分布列叫做两点分布列．如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，而称p＝P(X＝1)为．(4)超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰好有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M，NN*，此时称分布列：X01…mP…(5)二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(ξ＝k)＝Cpk?(1－p)n－k，其中k＝0,1,2，…，n，此时称ξ服从二项分布，记为ξ～B(n，p)，并称p为成功概率．3．离散型随机变量的期望与方差若离散型随机变量ξ的分布列为：ξx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称Eξ＝为随机变量ξ的均值，也称为期望，它反映了离散型随机变量取值的．把　　叫做随机变量的方差，Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的，记作.随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的．其中标准差与随机变量本身有．4．基本性质若η＝aξ＋b(a，b为常数)，则Eη＝E(aξ＋b)＝；Dη＝D(aξ＋b)＝；若ξ服从两点分布，则Eξ＝，Dξ＝，若X服从二项分布，即ξ～B(n，p)，则Eξ＝，Dξ?．一、超几何分布及应用例1有10张大小形状相同的卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为X，求X的分布列、期望与方差．【解析】依题设X的可能取值为6、9、12.则X＝6表示取出的3张卡片上均标有数字2，P(X＝6)＝＝，X＝9表示取出的3张卡片上有2张标有数字2,1张标有数字5，P(X＝9)＝＝，X＝12表示取出的3张卡片上有2张标有数字5,1张标有数字2，P(X＝12)＝＝.因此X的分布列如下：X6912P所以EX＝6×＋9×＋12×＝7.8，DX＝(6－7.8)2×＋(9－7.8)2×＋(12－7.8)2×＝3.36.【点评】超几何分布的特征是：样本空间的N个元素中可分为二类元素，其中一类元素共M个(M＜N)；从N个元素中取出n个元素，随机变量是这n个元素中含某类元素的个数．二、二项分布的辨析与化归例2一袋中有5个红球和10个白球，从袋中每次随机抽取1个球，有放回地抽取4次，求取得白球的次数ξ的分布列、期望及方差．【解析】每次抽取得白球的概率均为，ξ的所有取值为0,1,2,3,4.“ξ＝k”(k＝0,1,2,3,4)表示事件“4次取球中恰有k次得白球”．所以P(ξ＝k)＝C()k()4－k(k＝0,1,2,3,4)，即ξ～B(4，)，其分布列为ξ01234PEξ＝4×＝，Dξ＝4××＝.例3在一袋中装有1个红球和9个白球，每次从袋中任取1个球，取后放回，取到红球或共取球10次则停止取球，求取球次数ξ的分布列和期望．【解析】ξ的所有可能取值为：1,2，…，10.令Ak表示第k次取得红球，则由于每次取球相互独立，且取到红球的概率为0.1，于是得：P(ξ＝1)＝P(A1)＝0.1，P(ξ＝2)＝P(?A2)＝P()?P(A2)＝0.9×0.1，…，P(ξ＝k)＝P(??…?k－1?Ak)＝P()P()?…?P(k－1)P(Ak)＝(1－p)(1－p)?…?(1－p)?p＝0.9×0.9×…×0.9×0.1＝0.9k－1×0.1.P(ξ＝10)＝0.99因此分布列为：ξ123…910P0.10.9×0.10.92×0.1…0.98×0.10.99Eξ＝1×0.1＋2×0.9×0.1＋3×0.92×0.1＋…＋9×0.98×0.1＋10×0.99＝10－9×()9≈6.51.【点评】此例进一步可表述为：每次试验时，若事件A发生的概率为p，发生的概率为q＝1－p，则事件A首次发生的试验次数ξ是一个随机变量，它的取值为1,2，…，n，…，其分布列为：ξ123…k…ppqpq2p…qk－1p…这类分布称为几何分布，而非二项分布．三、随机变量的分布列及应用例4甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．(1)求甲获得这次比赛胜利的概率；(2)设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．【解析】记Ai表示事件：第i局甲获胜，i＝3,4,5.Bj表示事件：第j局乙获胜，j＝3,4.(1)记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利．因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B＝A3?A4＋B3?A4?A5＋A3?B4?A5，由于各局比赛结果相互独立，故P(B)＝P(A3?A4)＋P(B3?A4?A5)＋P(A3?B4?A5)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5)＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648.(2)ξ的可能取值为2,3.由于各局比赛结果相互独立，所以P(ξ＝2)＝P(A3?A4＋B3?B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.P(ξ＝3)＝1－P(ξ＝2)＝1－0.52＝0.48.ξ的分布列为ξ23P0.520.48Eξ＝2×P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＝2×0.52＋3×0.48＝2.48.四、期望与方差的实际应用例5某射手每次射击命中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响．(1)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；(2)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外一次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3次后的总得分，求ξ的分布列和期望．【解析】设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i＝1,2,3,4,5)(1)设“射手在5次射击中有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A.则P(A)＝P(A1A2A3 )＋P(A2A3A4)＋P( A3A4A5)＝()3×()2＋×()3×＋()2×()3＝.(2)依题设知ξ的可能取值为0、1、2、3、6.P(ξ＝0)＝P(
)＝()3＝，P(ξ＝1)＝P(A1 )＋P(A2)＋P( A3)＝×()2＋××＋()2×＝，P(ξ＝2)＝P(A1A3)＝××＝，P(ξ＝3)＝P(A1A2)＋P(A2A3)＝()2×＋×()2＝，P(ξ＝6)＝P(A1A2A3)＝()3＝.故ξ的分布列是ξ01236PEξ＝0×＋1×＋2×＋3×＋6×＝.〔备选题〕例6随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而生产1件次品亏损2万元，设1件产品的利润为ξ(单位：万元)．(1)求ξ的分布?；(2)求1件产品的平均利润；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品提高至70%，2013届高考数学理一轮复习课件：7.51 离散型随机变量的分布列、期望与方差--博才网
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A．a6÷a2=a4
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（1）用画树状图或列表法表示两次抽取卡片可能出现的所有情况（卡片可用A，B，C，D表示）；
（2）分别求抽取的两张卡片上算式都正确的概率．
提 示 请您或[登录]之后查看试题解析 重大消息：新手机注册悦考网免费送10天VIP和20个雨点！免费无广告查看试题解析和VIP半价提问袋中有6张卡片,编号分别是1,2,3,4,5,6.现在从袋中任意取出3张卡片,求抽取的3张卡片中最大号码为4的概率。_百度知道
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有3张都标着字母A ，6张分别标着1，2，3，4，5，6的卡片。若任取其中5张组成不同牌号的总数为多少？
要详细程谢谢~答案貌似4020
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