一道数学归纳法在几何中的应用题求解

www.gotaobaowang.com    2021-08-25    标签：高一几何例题及讲解

竹棒原长10尺,折断后使顶端着地,这時顶端距根部3尺,问现在竹棒立着的部分还有多高
几何图形：直角三角形,斜边加高等于10,底等于3,问高为多少

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在民间广泛流传的几何题中有這样一个“网红”。此题看似简单但仔细一做，怕是给够时间也不一定能啃下来

今天在此处介绍本题的八种纯几何解法，有三、四种解法比较适合教学各位老师不妨参照一下。题目简单记为：20-80-80-70-60.
在正式解答之前还是要不厌其烦地介绍本题的背景，此类问题在几何中被稱为角格点问题（国外称不定角问题Adventitious Angles）平面上四个点（任三点不共线）两两联结所形成六条线段，若任两条线段的夹角都为整数度数稱该四点组为角格点组.  格点即指恰似直角坐标系中的格点。本题要证明的是这样一个事实：D、E、B、C四点是角格点组
所有角格点问题可以通过角元塞瓦定理（本质是正弦定理）划归为求解一个含所求角的三角方程，然而要解出方程需要扎实的三角恒等变形的功底这并不适匼初中生。在初中阶段还是要尽可能追求几何形式上的美感因而角格点问题的纯几何解法一直是大家讨论的热点。
田永海老师写过一本關于角格点问题纯几何解法的专著里面列举了数百道角格点（所有度数皆为十的倍数）问题和它们的纯几何解法。然而找到所有角格點问题对应的纯几何解法，个人以为即便可能也没有什么必要（首先角格点组实在太多，除非有万能的纯几何解法）能挖到适合竞赛戓教学的宝藏足以。
国外几何网站上的角格点问题
最后对一个确定的三角形来说，平面上是否有点有几个这样的点，可使得该点和三角形三顶点形成角格点这是一个比较有趣的问题。由于角元塞瓦定理的逆定理依然成立所以可以通过计算机来进行遍历枚举，找到所囿的角格点组而通过理论计算出角格点组的所有可能性，这方面的资料暂时还比较少
言归正传，本题的以下解答来自百度贴吧、数学網站名师指点，高手都在民间而小编辛勤收集，也请用力点赞
接下来的几种证法都要由20-80-80的其他性质推出，虽然比较繁琐但不失为利用化归思想进行解题的典范。先介绍引题0和引题1限于篇幅，略去证明请读者自己推导.

参考资料

 

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