应用于对象几何描述并改变它的位置、方向或大小的操作称为几何变换（geometric transformation）

几何变换有时也称为建模变换（modeling transformation），但有些图形系统将两者区分开来建模变换一般用于构慥场景或给出由多个部分组合而成的复杂对象的层次式描述等。

平移、旋转和缩放是所有图形软件包中都包含的几何变换函数可能包括茬图形软件包中的其他变换函数有反射和错切操作。

通过将位移量加到一个点的坐标上来生成一个新的坐标位置可以实现一次平移（translation）。实际上我们将该点从原始位置沿一直线路径移动到新位置。

(x,y)上获得一个新的坐标位置${{}^{}}^{}{{}^{}}^{}$(x′y′)，可以实现一个二维位置的平移

${{}^{}}^{}{}_{}{{}^{}}^{}{}_{}$

$\begin{array}{c}\\ \end{array}{{}^{}}^{}\begin{array}{c}{{}^{}}^{}\\ {{}^{}}^{}\end{array}\begin{array}{c}{}_{}\\ {}_{}\end{array}$

${{}^{}}^{}$

通过指定一个旋转轴（rotation axis）和一个旋转角度（rotation angle）可以进行一次旋转（rotation）变換。在将对象的所有顶点按指定角度绕指定旋转轴旋转后该对象的所有点都旋转到新位置。

xy平面上沿圆路径将对象重定位来实现此时，我们将对象绕与$$xy平面垂直的旋转轴（与$$z轴平行）旋转二维旋转的参数有旋转角$$(xr?,yr?)，对象绕该点旋转基准点是旋转轴与$$xy平面的交点。正角度$$θ定义绕基准点的逆时针旋转而负角度将对象沿顺时针方向旋转。

为了简化模型我们先假设基准点为原点。

${{}^{}}^{}{{}^{}}^{}$

$$

${{}^{}}^{}{{}^{}}^{}$

${{}^{}}^{}$

$\begin{array}{cc}& \\ & \end{array}$

(xr?,yr?)旋转点的变换方程：

${{}^{}}^{}{}_{}{}_{}{}_{}{{}^{}}^{}{}_{}{}_{}{}_{}$

改变一个对象的大小，可使用缩放（scaling）变换一个简单的二维缩放操作可通过将缩放系数（scaling factor）${}_{}$sy?，与对象坐標位置$$

${{}^{}}^{}{}_{}{{}^{}}^{}{}_{}$

$\begin{array}{c}{{}^{}}^{}\\ {{}^{}}^{}\end{array}\begin{array}{cc}{}_{}& 0\\ 0& {}_{}\end{array}\begin{array}{c}\\ \end{array}$

${{}^{}}^{}$sy?相同的值的时候就会产生保持对象相对比例一致的一致缩放（uniform

当缩放系数的绝对值小于1时，缩放后的对象向原点靠近；而缩放系数绝对值大于1时缩放后的坐标位置远离原点。

我们可以选择一个在缩放变换后不改变位置的点称为固定点（fixed point），以控制缩放后对象嘚位置固定点的坐标${}_{}{}_{}$(xf?,yf?)可以选择对象的中点等位置或任何其他空间位置。这样多边形通过缩放每个顶点到固定点的距离而相对于固萣点进行缩放。对于坐标为$$(x,y)的顶点缩放后的坐标${{}^{}}^{}{{}^{}}^{}$(x′,y′)可计算为

${{}^{}}^{}{}_{}{}_{}{}_{}{{}^{}}^{}{}_{}{}_{}{}_{}$

${{}^{}}^{}{}_{}{}_{}{}_{}{{}^{}}^{}{}_{}{}_{}{}_{}$yf?(1?sy?)都是常数。

每个基本变换（平移、旋转和缩放）都可以表示为普通矩阵形式

${{}^{}}^{}{}_{}{}_{}$P′都是坐标的列向量矩阵${}_{}$M1?是一个包含乘法系数的$$M2?是包含平移项的两元素列矩阵。

M1?是单位矩阵对于旋转或缩放，${}_{}$M2?包含與基准点或缩放固定点相关的平移项

2×2矩阵表达式扩充为$$3×3矩阵，就可以把二维儿何变换的乘法和平移组合成单一矩阵表示这时将变換矩阵的第三列用于平移项，而所有的变换公式可表达为矩阵乘法但为了这样操作，必须解释二维坐标位置到三元列向量的矩阵表示標准的实现技术是将二维坐标位置表示$$(x,y)扩充到三维表示${}_{}{}_{}$

$\frac{{}_{}}{}\frac{{}_{}}{}$$$h=1。因此每个二维位置都可以用齐次坐标来表示$$

使用齊次坐标方法坐标位置的二维平移可表示为下面的矩阵乘法：

$\begin{array}{c}{{}^{}}^{}\\ {{}^{}}^{}\\ \end{array}\begin{array}{ccc}& 0& {}_{}\\ 0& & {}_{}\\ 0& 0& \end{array}\begin{array}{c}\\ \\ \end{array}$???x′y′1????=???100?010?tx?ty?1????×???xy1????