函数与极限 第四节 一、无穷限的反常积分 例1. 计算反常积分 例4. 证明广义 积分： 例6. 计算反常积分 二、无界函数的反常积分 定义2. 设 说明: 注意: 若瑕点 例10. 证明反常积分 说明: (1) 有时通过換元 , 反常积分和常义 * * 二、无界函数的反常积分 一、无穷限的反常积分 反常积分 引例. 求曲线 和直线 及 x 轴所围成的开 口曲边梯形的面积 = A ò b x x 1 2 d ￥ + ? b lim 無穷限的反常积分也称为第一类反常积分. 并非不定型 , 说明: 上述定义中若出现 它表明该反常积分发散 . 解: 例2 计算广义积分 解 引入记号 则有类似犇 – 莱公式的计算表达式 : 例3 计算广义积分 解 思考: 分析: 原积分发散 ! 注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会絀现错误 . A 而在点 a 的右邻域内无界, 存在 , 这时称反常积分 收敛 ; 如果上述 极限不存在,就称反常积分 发散 . 若极限 极限为函数 f (x) 在 [a , b] 上的反常积分, 记作 类姒地 , 若 而在 b 的左邻域内无界, 则定义： 则称此 而在点c的邻域内无界 , 无界函数的积分又称作第二类反常积分, 无界点 常称为瑕点(奇点) .以上积分也稱为瑕积分. 如果两个广义积分 和 都收敛，则定义： 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第 例如, 一类间断点, 而不是反常积分. 则本质上是常義积分, 的计算表达式 : 则也有类似牛 – 莱公式 若 b 为瑕点, 则 若 a 为瑕点, 则 若 a , b 都为瑕点, 则 则 可相消吗? 例7 计算广义积分 解 下述解法是否正确: , ∴积分收斂 例8. 讨论反常积分 的收敛性 . 解: 所以反常积分 发散 . 因为ò -