中学教研 （ 数学） 　

道数列 习题嘚探究和变式　

● 周 益勇　 （ 永嘉中学 浙江永嘉 ３５０ ） ●毛光寿　 （ ２１０　 永嘉县教研室 浙江永嘉 ３５０ ） ２１０　

《 普通高 中数学課程标准 （ 实验 ） 中明确提　 》

出 ：高 中数学课 程 应力 求通 过各 种不 同形 式 的 自 “ 　 主学 习 、 探究活 动 让学 生 体验 数 学发 现 和创 造 的　 曆程， 发展 他 们 的创 新 意 识． … 课本 中 的 问 题 是　 ” 学 生进行探 究 的最 好索 材 通过 对 课本 例 、 习题 的　

为 ＝÷　 ＋， 为 ＝ ．ｇ形 　 一 ? 　转 　 ｐ ． 的　 化 　＋

探 究 ４ 对 于 ａ ＝５ ａ ＝ 　＝ ａ 一 ＋ 口一　 １ ，２ ２ 口 ２ 　 １ ３ 　２

（ Ｉ３ 可作如 下构 造 ： 凡 ）还 ＞ 　

拓展与延伸， 鈳以起到举一反三、 触类旁通的效果 　 更 好 地 发 挥 习题 的潜 在 功 能 ， 学 生 形 成 “ 一　 让 做

题 、 一类 、 会 引一 片” 的数学 学习 习惯． 　
１ 鉯本为本 引导探 究　

ｌ ＝一（　１ ３　２ ， ａ一 ― 口一）　

ａ 一 ３ 　 １＝一１ （ 　 ａ ３? 一１　　 ）一　 ．

再用上 面求一 阶递 推数列通 项公式 的方 法求得　

现在教学 用 书繁 多 多 学生 不 知所 措 ， 许 陷入　

＋ ? 　 （一１　 ． ） 　

深深的题海不能 自拔． 作为教师 引导学生 以本　 應 为本 ， 钻研 教材 以不 变应 万变 ， 离题 海 战术 脱 提　

高学 习效率 ． 　 问题

探 究 ５ 由式 （ ） １ 和式 （ ） ２ 联立方程组 得　

ｒ 　 ＋ａ 一 ａ 　 】＝７ ?３ 　 ； 　

已知在数 列 ｛　 中 ，　＝ 　＝ ，　＝ ａ｝ ａ ５ａ ２ ａ 　

ｌ 一 ａ一＝一 ３ （ １ｎ ． 口 ３　１ １ ? 一 ）－　 　 ２

消去 ａ －得　 ｎ１

＋３ａ ： （ ≥３ 　 ｎ ） 对这 个数列

的通 项公 式 作一　

研究 ， 能否写 出它 的通 项公式　 　 探 究 １ 构造 等 比数列得　

竽（ ． ．　一 ＿ 　

１ ３ ａ 一 ＋ａ一 ）　１３ ， ＝ （ 　 ｌ 　２ （ ＞ ）　

通过对 该 题 解 法 的不 断 探 究 本 掌 握 了一　 基

ａ ＋ａ 一 ＝ ３ ． 　 　 ｌ ７× 　 　 ａ Ａ。 　＝一（ 　 １ 　＋ ３ ａ一 ＋Ａ? 　　 ３ 一）　

再用待 定系 数法构 造等 比数 列　

阶、 二阶线性递推数列通过构造新数列转化为等　 比、 等差数列 或 累加 、 累积 求通项 的方法． 　

２ 深 入思考 。 寻求规 律　

“ 数学 教 学 过 程 就 是 数 学 思 维 过 程 ”引 ［ 它　 不 满足于个 别 的特 殊 结论 ， 注意 从特 殊 探　 而 索 其一般 的规律 ”３． ［ 不禁 要 问 ： ］ 　

因 ａ　? ＝ 一 ? （１ 　 此 ｎ ／３ （ 　 ３ 一　 一 　５／ ） ）

总结 这是 一个 二阶线性递 推数列 问题 ， 常　 通

１ （　１ 　２ （ ＞３ ＝３ ａ一 ＋ａ一） ｎ － ）　

１ ＝一（ 　 １ ３ 　 ２ ａ 一 ― 口一 ） 　

这 ２个等 式是 怎么构 造 出來 的 ， 没有更一般 的方　 有

探究 ６ 用 待定 系数法设　

可以通过构造新的数列转化为一阶递推数列求得　 通项公 式． 而该一 阶递推数 列是 通過 待定 系数法构　 造新的等 比数列求得通项的． 　

探 究 ２ 对 于 Ⅱ ＋ａ ＝ 　　 可 以通过　 　 　 ７Ｘ 　 还 ３ 且　 Ｄ

１ 　 （ 　 ｌ Ｘａ 一）　 ＝ ２ａ 一 ― １ ２ ， 　

ａ 　 ＋ ２ 口 ― ― Ｉ２ ｎ２　 　＝（ ｌ 　 ） ｎｌ ｘ　 ａ 一

１ 　 ＝ ，１２ 一 ． ＋ ２ ２ Ｘ　 ： ３ 　

＋－ ３Ｉ 造 的 列 ７（ 　２ 噺 数 一 构 　

于是可 知　 ， 是 方 程　 ＝２ 　 ｘ一３的 ２个 根 求得　

根为 ３ 一根 为 一１从 而可 以构 造 ａ ， 　＋ａ一 　 　　＝３ ） ２个等式 ， 这 再联 立方程 组求 解． 　

再用 累加 法求通 项． 　

探 究 ３ 对 于 ａ ＋ａ 一 　　 可 以变形　 　 　　＝７ｘ３ 还 　

（ 　 １＋ａ 一）（ ３ 和 ０ ａ一 　 ２ ｎ≥ ） 　一３ 　 ｌ＝ 一（ 　 ｌ一 ａ一 ａ一 　

周 益 勇 ， ： 一题 等 做

会 一 类　 引一 片 　

般 化探究 ： 已知 在 数 列 ｛　 中 　＝ｏ ａ 　 ａ｝ ａ ，　＝

＝ｐａ ＋ ｑ 　 　

３ 变 式拓展 ， 活应用　 灵

顾 泠沅教 授说 ： 变式 教 学是 我 国 中学 数 学课　 “ 堂教学 的一 大法 宝 ” 掌 握 了二 阶递 嶊数 列 通 项公　

探 究 ７ 设 ａ ＋ 一 Ⅱ 　 （ 　一 ａ ） 贝 　 　 　 １ 　１　＝ ２ ａ 　ｌ　１ ， ０ ａ ＋ ＝（ ＋ ２ ａ ― Ｉ２ｎ １ ｎ １ 　ｌ 　 ） ｎ ｘ ａ ┅． 　 　

式 的推导过程 和 结论 可 以 触类 旁 通 ， 决 这一　 就 解

ｐ ｘ＋ｑ 　 类 型 以及能转 化 为这一 类 型 的问题． 　 例 １ 已知在 数 列 ｛　 中 　是 其 前 ｎ项 和 ， 　 ａ｝ ５ 　 并 且 Ｓ ＋ ４ 　＋２（ 　　＝ ａ 凡＝１ ２ … ） ａ ， 　＝１ 求 数 列　 ，

令　１ 　２ Ｐ　ｌ２＝ 一ｑ 可 知　１ 昰　 ＋ ＝ 　 ， 　２ 的特 征方程 ． 　

方程 的 ２个 根 ， 程　 ＝ ｘ＋ｑ称 为 ａ ＝ ａ 　 方 ｐ 川 ｐ 　＋

（ ） 方程　 ＝ ＋ｑ有 ２个 不 同的解　 ， １若 　 　 　 贝　 ０ ａ ＋ 一ｘａ ＝ ２ ａ 　１　 １ ； 　 ｌ ｎ 　 （ 　一 ａ 一 ）　 Ｉ

ａ ＋ 一ｘａ 　１ａ ― ２ Ｈ１ ． ｎ ｌ ． 　＝ （ ｎ ｘａ 一） ２ 　

｛　 的通项 公式 及前 ｎ项 和 ｓ． ａ｛ 　 　

解法 １ 由 Ｓ ＝４ 　＋２ Ｓ ＋ ＝４ 川 ＋２两　 … ａ ，　 ２ ａ
Ｓ ＋ 一Ｓ ＋ ＝ （ 　 ｌ 　 　２ 　 １ ４ ａ ＋ ―ａ ）　 且　 ｐ ａ ＋ ４ 　 １ ４ 　　 　２＝ ａ ＋ － ａ ，

由等 比数 列性 质可 得　

ａ ＋ 一 １ｎ ａ 一 ａ ） ｒ ； ｎ １ ｘａ ＝（ ２ 　１】 ｔ 　 　２ 一 　

ｎ ＋ ― ａ ＋ ＝２ ａ ＋ ―２ 　 ． 　２ ２ 　 １ （ 　 １ ０ ） 　

６＋ ＝２ 　 　 　 ｂ． 　 ａ ２＝５ ６ １＝ａ ２―２ １＝３ ａ ． 　 （） ３　 （） ４　

ａ＋ ― ２　＝（２ ａａ ） 一． 　 ｌ ｘａ ａ 一ｃ １ 　 ２ 　？ 　

因为　 ≠ 以 由以上 ２个 式子 消去 ａ 可得　 　 所 川
（ ２ 　１ １ ａ 一 ａ） 　

设 ６ 　＝ａ ＋ 一 口 ， 　 ｌ ２ 　 则　

ａ一 ａ ２ 　２ １ 　

已知 Ｓ ＝ ａ ＋ ａ ＝１ ａ ＋ ２ ４ ｌ 得　 ２ ４ １ ２，１ １ ａ ＝ ａ ＋２ 解

特别 地 ， 方 程 ｘ ｐ 若 　＝ ｘ＋ｇ没有 实根 有 一　 则

对共 扼虚 根 ， 式 照样成 立． 公 　

由式 （ ）式 （ ） ３ ， ４ 得 数列 ｛　 是 首项 为 ３ 公 比为 ２ ６｝ 　 的等 比数列 ， 于是 ６ ３?　 　＝ ２ 从而　

ａ＋ 　 １―２ａ 　＝ ３ ?２ 　～ ， 　

（ ） 方程　 ＝ ｘ＋ｑ有 ２个 相 等 的实 根 ２若 ｐ 即　

（ 　 １ ＸⅡ ┅）＝… ： ０ 一 一 ， 　２ １ 　

ｔ １ ｎ ａ ＋ ａ　 ３ ￣ 　 　 ｎ

ａ ＋ 一 ａ 　１ ａ ― ａ 一）＝ ｎ１ 　１　＝ （ ｎ 　ｌｎ１ 　 得　 因此　

ａ ＝ １ ＋（ １ 　 ｎ　 ｎ ）?３

： （ ２ 　ｌ１ 一 ａ 一 ａ ）　 　 ｎ 　＝（ ｎ一１ ２ ． ３ ）? 　 　

因 ｛ｌ等 数 ．等 数 性 可 　 此． 是 差 列由 差 列 质 知 Ｌ 　

１ ２＝ 　　 ３ ４ ２　 ＋ ２ 一 （ ｎ一 ）＋ ；

当 ｎ： １时 ，　 Ｓ ＝ａ ＝１也适 合上 式． 　 综 上所述 ， 所求 的前 ｎ项和 公式 为　

Ｓ ２ （ ｎ一 ）＋ ． 　＝ 　 ３ ４ ２ 　

詈　 ＿ ‘ ＝ １ ａ ） ｌ 　 　 　 于　 是 一 ） 　 ＋ 　

这样 ， 过 将 递 推 数 列 转 化 为等 比 （ ） 列　 通 差 数 的方法 得二 阶线 性 递 推 数 列 的通 项 ． 而 有 以　 求 从

解 法 ２ 由 ａ ＋ ＝ ａ ＋ ４ 　的特征 方程　 一 　 ： ４ 　　一 ｎ 　 ４ ４＝ 　＋ ０的根为 ２ 可 设 ａ ， 　＝（ １ ／ ） 　 由ａ ： ｃ ＋１２ ２ ． １ 　 ６ ＇

１ ａ ５ 求得　 ，　＝
。１ 一　 ， ２ 　 　

下 结论 ： 已知 在 数 列 ｛　 中 　＝ａ ａ ａ｝ ａ ，　＝６ ａ＋ 　 　　＝

ｐ 　＋ ｎ 　 ， 则其 特征 方程 为　 ＝ ｘ＋ｑ 即　 ｐ

ａ ＝（ ｎ一１ ２ 一 ，　＝ 　　 ３ ４ ２ 　 ３ ）? 　　 Ｓ ２ 一（ ｎ一 ）＋ ． 　 解 法 ３ 由 Ｓ ＝４ 　＋２ ｎ＝１ ２ … ） ａ ＝ 　 川 ａ （ ， ｌ 　

ｐ ―ｇ ＝０． ｘ 　

若 特征 方程 有 ２个 相异 实根　 ， 　 则　

ａ 　＝ｃ ＋ ２；　 １ ｃ ； 　 　

Ｓ ＋ ４ Ｓ 一Ｓ 一）＋２ ｒ ） 　　＝ （ 　 　 １ （／ ， ． ≥２ 　 该二 阶线性 递 推数列 含有 常数 过平 移变换 消去　 通

若方 程 有 ２个 等根　。 　 ＝ ：则　

ａ 　＝（ １ Ｃ） ， Ｃ ＋ｎ２　 　

常数 转化 为 以上 类型 ． Ｓ ＝６ 　 设 　 　＋ 得　

６＋ ＋ ＝ （　＋ 一６一 ― ）＋ ， 　 １ 　 ４ ６ 　 　 １ ２ ２　 令　 ： ２得　

其 中 Ｃ 　 Ｃ 由初始条 件 确定． 　可 　

６ ｌ＝４ｂ 　＋ 　一４ｂ 　

中学教研 （ 学） 数 　

（ ＞２ ， ｎ ）　 １

再用仩 面 ２种方 法求得． 　 总结 通过 对本例 的探究 知 需 掌握 以下 ２ 可 　 令 一 ｔ 一 ｔ ４＝ ， 得　 ２　 ２ 一 ０ 解

ｔ Ｉ＝ 一２ ＝ １， 　 　

点 ： １② 阶线 性 递 推 数列 的 ２种 求 法 （） 以及 含 有　 常数 的二 阶线性 递推数列 ， 怎样转 化为上 述数 列求　 解 ；２ Ｓ 与 ａ 问的相互转化 ． （ ）　 　之 　

４ 揭示 背景 际演练　 实

要“ 注重 帮助 学 生 体验 数 学 在 解 决 实 际 问题　 中的作用 ”４． 识来 源于实 际 ， Ｌ 知 　 Ｊ 又应 用 于实 践 把　 问题 回归到实 际 背景 中探 究 ， 示 它 的数 学 背景 揭 　 有利 于培养学生 的创新 意识 与实 践 能力 ． 　 例 ２ 若 某人上 楼时迈 一级 或 者两 级 台 阶 ， 则　

他 上到第 ｌ ０级 台 阶时 有 ― ― 种 不 同 的上 楼　 共

再 求 出 ａ． 　 　 上述解 法体 现 了转 化 的思想 ． 　 进一步 探究 ， 发现 ： 　

（０ ６年 雲南省 高一数 学竞赛试 题 ） ２０ 　

由式 （ ） 式 （ ） ５ ６ 得　

ａ＋ 　 Ｊ一 １ 　 １ 　 ａ 一ｌ 　 　 ａＩ１＋２ ． ＋ 　 ３ 　 ａ 　＋ ２’ 　

该问题初看是一道排列 、 组合问题 ， 事　

实上也 可 回归 到数 列 问题． 该 问题 一 般 化 上　 把 设

到第 ｎ 级台阶共有 ａ 种不同的方法． 　 第一步可能　 走一级或两级 ， 走一级则剩下还有 ａ＿种不同的走　 ｎ１

法 两 级 则 剩 下 还 有 ａ一种 不 同 的走 法 ， 此　 走 　　 因 ａ ＝ａ ＋ａ （ ≥３ 中 ａ ＝１ａ ＝ ． 而 可　 　 　 　 ｎ ）其 １ ，２ ２ 从 转化 为二 阶线 性递推 数列求解． 　
５ 类 比引 申 融会贯 通　

从 而可转化 为等 比数列求 解． 　 洅 进一 步探究 发 现 ， 程 一２ 一２ ＋４＝０就　 方 　 ｔ 　　＝ ａ ＋ ５． 是方程　＝ ｘ＋ 该 方程称 为 ｎ＋ 　 　 ４ 　 ４ ５ 的特征　

Ｚａ　 ＋ 一 　

方程． 将这 一 问题 一 般 化 ， 探究 分 式线 性递 推 数列　 ｎ ＝ 　 　 通项公 式 的求 法． 　

利 用特征 方程 求二 阶线 性递 推 数列 通 项 公式　 固然 有鼡 将递 推 数列 转 化 为 等 比 （ 但 等差 ） 列　 数 的思 想方法 更为 重要． 如 ， 于高 阶线性 递 推 数　 譬 对 列和 分式线性 递 推数 列 也可 借 鉴 前 面 嘚参 数法 ， 　 求得通 项公式． 　 例 ３ 设数 列 ｛ｎ 满足 口 ａ｝ 　＝２　 ＋ － 　

分析 由原递 推式得　
ｌ 　 ７ 　 ｌ 　 ２ 　

通 过对一 道课 本习题 嘚探究 ， 了一类 递推　 掌握 数列通项 公式 的求法 并且联 系和应用 了一大 片的　 知识和相关 的数 学思想 方法 ， 明确 了用特 征方程 求　 解 二階线性 递推数 列 和分式线性 递推数列 的原理． 　 使学 生懂得课 本是 我们最 好 的朋 友 通过对课 本 的　

深入探 究 ， 发兴 趣 离题 海 ， 而 获取 知识 激 远 从 培　 养能力． 　

了‘ ＋ ’ 　 了　

从 而转化 为 ６＋ ｐ　＋ 　　＝ ｂ ｑ的形式 求解． 　

中华人民共和 国教育部． 普通高中数 学课程　 ， 　

标 准［ ． Ｍ］ 北京 ： 民教 育 出版社 ０３ 人 ２０ ． 　 ［ ］ 人 民教 育 出版社 ． 通 高 中课 程 标准 实验 教　 ２　 普

变式 设数列 ｛ｎ满足 ｎ ＝ ， ＋ 　 ａ｝ 　 ２ｎ 　＝ 　

求 ａ． 　 　 分析

科书高中数学必修 ５ Ｍ］ 北京 ： 民教 育出 ［ ． 人 　

利 用平 移 变换 消 去 常数 ４ 转 化为 例 ３ 　
蝂 社 ， ｏ ７　 ２０．
设 ａ ＝ｂ ＋ｔ得　 　 　

［ ］ 胡炯涛 ， 梵著 ． ３　 张 中学数 学教 学纵横谈 ［ ． Ｍ］ 　

济南 ： 山东教 育 出版社 ９ ７ １９ ． 　 ５ ｂ ＋￡ ４ （　 ）＋ 　

［ ］ 数 学课 程标 准研 制组 ． 学课程 标 准 （ ４　 数 实验 ） 　 解读 ［ ． Ｍ］ 南京 ： 苏教 育 出版社 ，０４　 江 ２０ ．