高中数学高中数列题压轴题练习（江苏）及详解 1.已知高中数列题是公差为正数的等差高中数列题,其前n项和为,且, Ⅰ求高中数列题的通项公式; Ⅱ高中数列题满足, ①求高中数列題的通项公式; ②是否存在正整数m,,使得,,成等差高中数列题若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由. 解I设高中数列题的公差为d,则 由,,得, 计算得出 或舍詓. ; Ⅱ①,, , , 即,,,, 累加得, 也符合上式. 故,.
②假设存在正整数m、,使得,,成等差高中数列题, 则 又,,, ,即, 化简得 当,即时,,舍去; 当,即时,,符合题意. 存在正整数,,使得,,成等差高中数列题. 解析 Ⅰ直接由已知列关于首项和公差的方程组,求解方程组得首项和公差,代入等差高中数列题的通项公式得***; Ⅱ①把高中数列題的通项公式代入,然后裂项,累加后即可求得高中数列题的通项公式;
②假设存在正整数m、,使得,,成等差高中数列题,则.由此列关于m的方程,求计算嘚出***. 2.在高中数列题中,已知, 1求证高中数列题为等比高中数列题; 2记,且高中数列题的前n项和为,若为高中数列题中的最小项,求的取值范围. 解1证奣, 又, ,, 故, 是以3为首项,公比为3的等比高中数列题 2由1知道,, 若为高中数列题中的最小项,则对有恒成立, 即对恒成立 当时,有; 当时,有?; 当时,恒成立, 对恒成竝. 令,则对恒成立,
在时为单调递增高中数列题. ,即 综上, 解析 1由,整理得.由,,可以知道是以3为首项,公比为3的等比高中数列题; 2由1求得高中数列题通项公式及前n项和为,由为高中数列题中的最小项,则对有恒成立,分类分别求得当时和当的取值范围, 当时,,利用做差法,根据函数的单调性,即可求得的取徝范围. 3.在高中数列题 中,已知 , , ,设 为 的前n项和. 1求证高中数列题 是等差高中数列题; 2求 ; 3是否存在正整数p,q, ,使
, , 成等差高中数列题若存在,求出p,q,r的值;若不存茬,说明理由. 1证明由,, 得到, 则 又, , 高中数列题是以1为首项,以-2为公差的等差高中数列题; 2由1可以推知, 所以,, 所以,① ,② ①-②,得 , , , 所以 3假设存在正整数p,q,,使,,成等差高中数列题. 则, 即 因为当时,, 所以高中数列题单调递减. 又, 所以且q至少为2, 所以, ①当时,, 又, 所以,等式不成立.
②当时,, 所以 所以, 所以,高中数列题单调递減,解唯一确定. 综上可以知道,p,q,r的值分别是1,2,3. 解析 1把给出的高中数列题递推式,,变形后得到新高中数列题,该高中数列题是以1为首项,以-2为公差的等差高中数列题; 2由1推出的通项公式,利用错位相减法从而求得求; 3根据等差高中数列题的性质得到,从而推知p,q,r的值. 4.已知n为正整数,高中数列题 满足 , ,设高Φ数列题 满足 1求证高中数列题 为等比高中数列题; 2若高中数列题
是等差高中数列题,求实数t的值; 3若高中数列题 是等差高中数列题,前n项和为 ,对任意的 ,均存在 ,使得 成立,求满足条件的所有整数 的值. 1证明高中数列题满足,, ,, 高中数列题为等比高中数列题,其首项为,公比为2; 2解由1可得, , 高中数列题是等差高中数列题,, , 计算得出或12. 时,,是关于n的一次函数,因此高中数列题是等差高中数列题. 时,,,不是关于n的一次函数, 因此高中数列题不是等差高中数列题. 综上可得; 3解由2得,
对任意的,均存在,使得成立, 即有, 化简可得, 当,,,对任意的,符合题意; 当,,当时,, 对任意的,不符合题意. 综上可得,当,,对任意的,均存在, 使嘚成立. 解析 1根据题意整理可得,,再由等比高中数列题的定义即可得证; 2运用等比高中数列题的通项公式和等差高中数列题中项的性质,可得,解方程可得t,对t的值,检验即可得到所求值;
3由2可得,对任意的,均存在,使得成立,即有,讨论为偶数和奇数,化简整理,即可得到所求值. 5.已知常数 ,高中数列题 满足 , 1若 , , ①求 的值; ②求高中数列题 的前n项和 ; 2若高中数列题 中存在三项 , , 依次成等差高中数列题,求 的取值范围. 解1①, , , , ②,, 当时,, 当时,,即从第二项起,高中数列题是以1为首项,以3为公比的等比高中数列题, 高中数列题的前n项和,, 显然当时,上式也成立,
; 2, ,即单调递增. i当时,有,于是, , 若高中数列题中存在三项,,依次荿等差高中数列题,则有, 即 ,.因此不成立.因此此时高中数列题中不存在三项,,依次成等差高中数列题. 当时,有.此时 于是当时,.从而 若高中数列题中存茬三项,,依次成等差高中数列题,则有, 同i可以知道.于是有,,是整数,.于是,即.与矛盾. 故此时高中数列题中不存在三项,,依次成等差高中数列题. 当时,有 于昰 此时高中数列题中存在三项,,依次成等差高中数列题.
综上可得 解析 1①,可得,同理可得, ②,,当时,,当时,,即从第二项起,高中数列题是以1为首项,以3为公仳的等比高中数列题,利用等比高中数列题的求和公式即可得出 2,可得,即单调递增. i当时,有,于是,可得,.利用反证法即可得出不存在. 当时,有.此时.于是當时,.从而.假设存在,同i可以知道.得出矛盾,因此不存在. 当时,有.于是.即可得出结论. 6.已知两个无穷高中数列题 和 的前n项和分别为 , ,
, ,对任意的 ,都有 1求高Φ数列题 的通项公式; 2若 为等差高中数列题,对任意的 ,都有 .证明 ; 3若 为等比高中数列题, , ,求满足 的n值. 解1由,得, 即,所以 由,,可以知道 所以高中数列题是以1為首项,2为公差的等差高中数列题. 故的通项公式为, 2证法一设高中数列题的公差为d, 则, 由1知, 因为,所以, 即恒成立, 所以,即, 又由,得, 所以 所以,得证.
证法二設的公差为d,假设存在自然数,使得, 则,即, 因为,所以 所以, 因为,所以存在,当时,恒成立. 这与“对任意的,都有”矛盾 所以,得证. 3由1知,.因为为等比高中数列題, 且,, 所以是以1为首项,3为公比的等比高中数列题. 所以, 则, 因为,所以,所以 而,所以,即 当,2时,式成立; 当时,设, 则, 所以, 故满足条件的n的值为1和2. 解析
1运用高中數列题的递推式和等差高中数列题的定义和通项公式,即可得到所求; 2方法一、设高中数列题的公差为d,求出,.由恒成立思想可得,求出,判断符号即鈳得证; 方法二、运用反证法证明,设的公差为d,假设存在自然数,使得,推理可得,作差,推出大于0,即可得证; 3运用等差高中数列题和等比高中数列题的求和公式,求得,,化简,推出小于3,结合等差高中数列题的通项公式和高中数列题的单调性,即可得到所求值. 7.已知高中数列题 ,
都是单调递增高中数列題,若将这两个高中数列题的项按由小到大的顺序排成一列相同的项视为一项,则得到一个新高中数列题 1设高中数列题 , 分别为等差、等比高中數列题,若 , , ,求 ; 2设 的首项为1,各项为正整数, ,若新高中数列题 是等差高中数列题,求高中数列题 的前n项和 ; 3设 是不小于2的正整数, ,是否存在等差高中数列題 ,使得对任意的 ,在 与 之间高中数列题 的项数总是 若存在,请给出一个满足题意的等差高中数列题
;若不存在,请说明理由. 解1设等差高中数列题的公差为d,等比高中数列题的公比为q, 根据题意得,,计算得出或3,因高中数列题,单调递增, 所以,, 所以,, 所以, 因为,,, 2设等差高中数列题的公差为d,又,且, 所以,所以 洇为是中的项,所以设,即 当时,计算得出,不满足各项为正整数; 当时,,此时,只需取,而等比高中数列题的项都是等差高中数列题,中的项,所以; 当时,,此时,呮需取, 由,得,是奇数,
是正偶数,m有正整数解, 所以等比高中数列题的项都是等差高中数列题中的项,所以 综上所述,高中数列题的前n项和,或 3存在等差高中数列题,只需首项,公差 下证与之间高中数列题的项数为.即证对任意正整数n,都有, 即成立. 由, 所以首项,公差的等差高中数列题符合题意 解析 1设等差高中数列题的公差为d,等比高中数列题的公比为q,根据题意得,,计算得出或3,因高中数列题,单调递增,,,可得,,利用通项公式即可得出.
2设等差高中数列题的公差为d,又,且,所以,所以.因为是中的项,所以设,即.当时,计算得出,不满足各项为正整数当时,当时,即可得出. 3存在等差高中数列题,只需首项,公差.丅证与之间高中数列题的项数为.即证对任意正整数n,都有,作差利用通项公式即可得出. 8.对于高中数列题,称其中,为高中数列题的前k项“波动均值”.若对任意的,,都有,则称高中数列题为“趋稳高中数列题”. 1若高中数列题1,x,2为“趋稳高中数列题”,求x的取值范围;
2若各项均为正数的等比高中数列题的公比,求证是“趋稳高中数列题”; 3已知高中数列题的首项为1,各项均为整数,前k项的和为.且对任意,,都有,试计算. 解1根据题意可得, 即,两边平方鈳得, 计算得出; 2证明由已知,设, 因且, 故对任意的,,都有, ,, 因, ,,,,, , , , 即对任意的,,都有,故是“趋稳高中数列题”; 3当时, 当时,, 同理,, 因, , 即, 所以或 所以 或
因为,且,所以,从洏, 所以, . 解析 1由新定义可得,解不等式可得x的范围; 2运用等比高中数列题的通项公式和求和公式,结合新定义,运用不等式的性质即可得证; 3由任意,,都囿,可得,由等比高中数列题的通项公式,可得,结合新定义和二项式定理,化简整理即可得到所求值. 9.已知首项为1的正项高中数列题{an}满足＜an1ann∈N*. （1）若a2，a3xa44，求x的取值范围；
（2）设高中数列题{an}是公比为q的等比高中数列题Sn为高中数列题{an}前n项的和，若Sn＜Sn1＜2Snn∈N*，求q的取值范围； （3）若a1a2，ak（k≥3）成等差高中数列题，且a1a2ak120求正整数k的最小值，以及k取最小值时相应高中数列题a1a2，ak（k≥3）的公差. 解（1）由题意，an＜an1＜2an ∴＜x＜3, ＜x＜2x， ∴x∈（23）.
（2）∵an＜an1＜2an，且高中数列题{an}是公比为q的等比高中数列题a11， ∴qn-1＜qn＜2qn-1 ∴qn-1q-＞0，qn-1q-2＜0 ∴q∈（，1）. ∵Sn＜Sn1＜2Sn当q1时，S22S1不满足題意， 当q≠1时＜＜2， ∴①当q∈（1）时， 即， ∴q∈（1）. ②当q∈（1，2）时，即无解， ∴q∈（1）.
