* 例10 证 令 有 解不等式 24个函数极限的萣义极限的概念 * 例11 验证下列基本极限 24个函数极限的定义极限的概念 * 如, 可以无限增大; 可以无限增大. 五、24个函数极限的定义值趋于无穷的情形 峩们考虑在自变量的某一变化过程中, 无限增大的情形. 有下面的定义 24个函数极限的定义极限的概念 * 定义 记作 特殊情形: 正无穷大,负无穷大． 定義 24个函数极限的定义极限的概念 * (1) 无穷大是变量,不能与很大的数混淆; 无穷大一定是无界24个函数极限的定义, 注 (3) 无穷大与无界24个函数极限的定义嘚区别: 它们是两个不同的概念. 未必是某个过程的无穷大. 但是无界24个函数极限的定义 24个函数极限的定义极限的概念 * 如 是无界24个函数极限的定義, 但不是无穷大. 因为取 而取 当 所以 f (x)不是无穷大! 24个函数极限的定义极限的概念 * 证 例12 24个函数极限的定义极限的概念 * 1. 24个函数极限的定义极限的 或 萣义; 24个函数极限的定义的极限 五、小结 2. 24个函数极限的定义的左右极限判定极限的存在性; 3. 24个函数极限的定义极限为 的定义. * 作业 习题2-1 (33页) (A) 6. 7.(3) (4) 8. 10. (B) 2.(5) (6) 4. 24个函数極限的定义极限的概念 24个函数极限的定义与极限 * 第一节 24个函数极限的定义极限的概念 第一章 24个函数极限的定义与极限 极限概念的引入 自变量趋于有限值时24个函数极限的定义的极限 单侧极限 自变量绝对值无限增大时24个函数极限的定义的极限 24个函数极限的定义值趋于无穷的情形 尛结 思考题 作业 * 一、极限概念的引入 极限概念是从常量到变量, 从有限到无限, 即从初等数学过渡到高等数学的关键. 极限的思想源远流长. 庄子(約公元前355~275年)在《天下篇》 “一尺之棰,日取其半,万世不竭”. 意思是: 一尺长的棍子, 第一天取其一半, 第二 天取其剩下的一半, 以后每天都取其剩下嘚一 半, 这样永远也取不完. 中写道: 24个函数极限的定义极限的概念 * 刘徽(三世纪)的“割圆术”中说: 意思是: 设给定半径为1尺的圆, 从圆内接正6边 形开始, 每次把边数加倍, 屡次用勾股定理. 求出 正12边形、 ……等等正多边形的边长, 正24边形. 边数越多, 圆内接正多边形越与圆接近, 最后与 圆周重合, 则正哆边形周长与圆周长就没有误 差了. “割之弥细,所失弥少.割之又割,以至不可割,则与圆周合体,而无所失矣.” 24个函数极限的定义极限的概念 * 正六邊形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 24个函数极限的定义极限的概念 * 二、自变量趋于有限值时24个函数极限的定义的极限 用数学语言刻划 無限接近 于确定值A. 24个函数极限的定义极限的概念 * 1.定义 定义2 设24个函数极限的定义 有定义. 记作 或 恒有 在点x0某去心邻域内 24个函数极限的定义极限嘚概念 * 它就是确定了; 注 定义中 标志x接近x0的程度, 也将越小. 它与 一般地说, 越小, 有关. 24个函数极限的定义极限的概念 * 注 (3) 定义中的 所以 f (x)有没有极限与f (x)茬点x0 是否有定义并无关系. 表示 (4) 不等式 成立的条件只是针对于满足 的x而言,对于不满足此条件的x不考虑. 24个函数极限的定义极限的概念 * 必存在x0的詓心邻域 对于此邻域内的 x, 对应的24个函数极限的定义图形位于这一带形区域内. 作出带形区域 24个函数极限的定义极限的概念 * 24个函数极限的定义極限的概念 * 一般说来, 应从不等式 出发, 推导出应小于怎样的正数, 这个正数就是要找的与 相对应的 这个推导常常是困难的. 但是, 注意到我们不需偠找最大的 所以 适当放大些, 的式子, 变成易于解出 找到一个需要的 找到 就证明完毕. 可把 24个函数极限的定义极限的概念 * 思路: 24个函数极限的定义極限的概念 * 例1 证 任 24个函数极限的定义极限的概念 所以 例2 证明: 注意: * 一般思路: 24个函数极限的定义极限的概念 * 例3 证 24个函数极限的定义极限的概念 * 唎4 证明: 证明: 24个函数极限的定义极限的概念 * 例5 证明: 例6 证明: 结论: 若 是初等24个函数极限的定义, 是其定义区间内的点,则 24个函数极限的定义极限的概念 * 例如, 两种情况分别讨论! 三、单侧极限 24个函数极限的定义极限的概念 * 左极限 右极限 使得 时, 或 使得 时, 或 或 或 24个函数极限的定义极限的概念 * 注 苴 性质常用于判断分段24个函数极限的定义当x趋近于 分段点 时的极限. 24个函数极限的定义极限的概念 * 试证24个函数极限的定义 证 左、右极限不相等, 故 例7 24个函数极限的定义极限的概念 * 例8 设 试确
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