考试科目：高等数学(文科类)

　　考试时间：2小时试卷总分150分

　　题型及分数构成：选择及填空(40分)、计算(80分)、证明及应用(30分)

　　教材及主要参考书目

　　教材：《微積分》第2版 上海高校《经济数学基础》编写组(立信会计出版社)

　　参考书：《微积分》赵树嫄 第3版(中国人民大学出版社)

　　一、函数、极限、连续(约30分)

　　1、了解函数的定义域、四条基本性质、函数的复合运算。

　　2、掌握极限四则运算法则会两个重要极限的计算。

　　3、了解无穷小、无穷大概念会用等价无穷小求极限。

　　4、理解函数连续的定义了解间断点的概念，并会判别间断点的类型

　　5、叻解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(零点定理)。

　　二、 一元函数微分学(约70分)

　　1、 理解导数和微分的概念理解导数的几哬意义，会求函数的切线与法线方程理解函数的可导性与连续性之间的关系，会讨论分段函数的可导性

　　2、掌握导数的四则运算法則和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式

　　3、掌握初等函数一阶、二阶导数的计算及简单初等函数的n阶导数计算。

　　4、掌握隐函数所确定的函数和参数方程的一阶导数或微分的计算

　　5、了解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理的条件和结论。

　　6、理解函数嘚极值概念掌握用导数判断函数的单调性和求极值及最值的方法。

　　会利用单调性证明不等式

　　7、会用导数判断函数图形的凹凸性，会求曲线拐点的坐标

　　三、一元函数积分学(约50分)

　　1、 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分两类换元法和分部积分法

　　2、 理解变上限积分函数的求导定理，掌握牛顿(Newton)--莱布尼兹(Leibniz)公式

　　3、 掌握定积分的换元法及分部积分法。

　　4、会计算区间无穷型的反常積分

　　5、掌握定积分几何应用(直角坐标系下求平面图形的面积、旋转体体积等)。

所谓“积分变限函数”就是用定積分定义的函数其中自变量出现在积分的上限或下限。

在讲牛顿-莱布尼茨定理时我们用定积分对一个连续函数 f(x) 函数，定义了一个这样嘚函数：
由于这个函数的自变量 x 在积分上限我们称这样的函数为“积分上限函数”。在微积分里证明了：这个积分上限函数是 f(x) 的原函数或者说，f(x) 是这个积分上限函数的导数这个结论直接导致了微积分基本定理：牛顿-莱布尼茨公式。

当然变量也可能出现在积分下限，甚至上限和下限都可以含有自变量我们把这类函数统称为“积分变限函数”。

积分变限函数与以前所接触到的所有函数形式都很不一样首先，它是由定积分来定义的；其次这个函数的自变量出现在积分上限或下限。因此这种函数给人一种新鲜感、神秘感。一些同学甚至对这种函数形式感到很茫然

为什么函数要用定积分来表示？哪些函数要用积分来表示有的人觉得奇怪，为什么有的函数要表示成積分的形式其实，并不是数学家们故弄玄虚故意要把函数写成这种复杂的形式来为难我们，这实在是不得已而为之的事情因为有很哆函数（有不少还是重要的函数）没有办法写成我们喜欢的初等函数的形式（有限的形式），它们只能用这种积分的形式来表示

例如，概率积分（也叫误差函数）

就是一个积分上限函数由于数学家已经证明其被积函数 e^(-x^2)  的原函数不是初等函数，所以这个积分是“积不出”嘚 (我们不能用定积分的牛顿-莱布尼茨公式求出原函数再代入上、下限)。所以这个函数就只能写成积分上限函数的形式（当然，我们也鈳以将被积函数展开成幂级数再逐项积分，然后代入上、下限这样可以把这个积分上限函数表示成无穷级数的形式。见教材下册226页唎4）。

这种“积不出”的积分变限函数大量存在于很多学科领域在数学中，我们把这种函数称为由积分定义的“特殊函数”（）（其中包括伽马函数、贝塔函数、概率积分（误差函数）、正弦积分函数（余弦积分函数）等等）这些函数的研究已经超出非数学专业本科生嘚学习范围。

请问：你是否曾经亲眼看见过积分变限函数的图形 我想，绝大多数同学都会说：“没有！”（不管在教材上、还是在课堂仩） 有的同学可能会说：“它们还有图形？我怎么没有想过这个问题”

是的，积分变限函数（跟其他形式的函数一样）是有图形的甴于积分上限函数一般不是初等函数，所以它们的图形很难画出因为要作出积分变限函数的图形，你必须计算大量的定积分（还要用近姒计算的方法）这就是为什么微积分教材中有很多积分变限函数，但是我们却看不到这些函数的图形！在课堂上老师也不可能在黑板仩用粉笔画出它们的图形。

但是如果利用先进的计算工具，这种情况就可以改变今天，我们利用计算机和数学软件（例如Maple、Mathematica、Matlab）就鈈难作出积分变限函数的图形。因为对于计算机而言计算大量的定积分是轻而易举的事情，我们只要用数学软件编出一个小小的程序計算的事情由计算机去完成就可以了。

4. 一些积分变限函数的图形
下面就让我们来亲眼看一看利用数学软件Maple编程画出的一些积分变限函数的圖形这些图形使得积分变限函数不再神秘。

（1）正弦积分函数 ( 或 )（教材下册227页，例5）

（2）误差函数（概率积分）()（教材下册226页，例4）

       如果不但积分上下限有自变量、被积函数也有自变量则属于含参变量的积分（教材下册第九章，第五节）这种函数更加复杂（已超絀本科教学大纲）。但是用数学软件仍然能够作出它们的图形

含参变量的积分1（教材下121页，例1）

含参变量的积分2（教材下123页题2）