李松华老师的经典教案,送给所有實习或正要走上教师岗位的朋友们
设问二 怎么叙述“极限limf(x)存在(或收敛)”类似的判定准则?
(备注：其实质是如何用数学语言来描述“x无限趋近於a”和“x无限增大”)
写出设问二对应的判定准则
(至此写出今天所讲的内容的题目)
(1) 柯西极限收敛准则从理论上解决了函数极限的存在性问题(充分必要条件); (2) 柯西极限收敛准则把ε δ定义中x与a的之差换成x'与x"之差. 其好处在于无需借助函数以外的数b只要根据函数本身的特征就可以鉴別其（收）敛（发）散性; (注意与函数极限ε δ定义的比较)
(3) 柯西极限收敛准则的条件称为柯西极限条件，它反映这样的事实：极限存在的函數的变量愈接近a函数值彼此愈接近，以至于变量充分接近于a的任何两个函数值之差的绝对值
第二节 反常积分的收敛判别法;一、反常积分的Cauchy收敛原理;二、无穷区间形式;2、绝对收敛与条件收敛;2、绝对收敛与条件收敛;例1;3、一般函数反常积分的收敛判别法;阿贝尔（Abel,Niels Henrik,） 挪威数学家;非凡的数学家——阿贝尔 阿贝尔（Abel,Niels Henrik,） 挪威数学家。1802年8月5日生于芬岛 1829年4月6日卒于弗鲁兰。是克里斯蒂 安尼亚（现在的奥斯陆）敎区穷牧师的 六个孩子之一尽管家里很贫困，父亲 还是在1815年把阿贝尔送进克里斯蒂安尼亚的一所 中学里读书15岁时优秀的数学教师洪堡 （Bernt Michael Holmbo ）发现了阿贝尔的数学天才，对他给予指导使阿贝尔对数学产生了浓厚的兴趣。16岁时阿贝尔写了一篇解方程的论文;丹麦数学家戴根（Carl Ferdinand Degen ）看过这篇论文后，为阿贝尔的数学才华而惊叹当时数学界正兴起对椭圆积分的研究，于是他给阿贝尔回信写到：“...与其着手解决被認为非常难解的方程问题不如把精力和时间投入到对解析学和力学的研究上。例如椭圆积分就是很好的题目，相信你会取得成功...”於是阿贝尔开始转向对椭圆函数的研究。; 阿贝尔18岁时父亲去世了，这使生活变得更加贫困1821年在洪堡老师的帮助下，阿贝尔进入克里斯蒂安尼亚大学1823年，他发表了第一篇论文是关于用积分方程求解古老的“等时线”问题的。这是对这类方程的第一个解法开了研究积汾方程的先河。1824年他解决了用根式求解五次方程的不可能性问题。这一论文也寄给了格丁根的高斯但是高斯连信都未开封。 1825年他去柏林，结识了业余数学爱好者克莱尔（Auguste Leopold Crelle ）他与斯坦纳建议克莱尔创办了著名数学刊物《纯粹与应用数学杂志》。这个杂志头三卷发表了阿贝尔22篇包括方程论、无穷级数、椭圆函数论等方面的论文; 1826年，阿贝尔来到巴黎他会见了柯西极限、勒让德、狄利赫莱和其他人，但這些会面也是虚应故事人们并没有真正认识到他的天才。阿贝尔又太腼腆不好意思在陌生人面前谈论他的理论。虽然没有像克莱尔那樣的热心人但他仍然坚持数学的研究工作。撰写了??关于一类极广泛的超越函数的一般性质”的论文提交给巴黎科学院。阿贝尔在给洪堡的信中非常自信地说：“...已确定在下个月的科学院例会上宣读我的论文,由柯西极限审阅,恐怕还没有来得及过目。不过我认为这是一件非常有价值的工作，我很想能尽快听到科学院权威人士的意见现在正昂首以待...。”; 可是负责给阿贝尔审稿的柯西极限把论文放进抽屜里，一放了之（这篇论文原稿于1952年在佛罗伦萨重新发现）阿贝尔等到年末，了无音信一气之下离开了巴黎，在柏林作短暂停留之后於1827年5月20日回到了挪威他原希望回国后能被聘为大学教授，但是他的这一希望又一次落空他靠给私人补课谋生，一度当过代课教师由於过渡疲劳和营养不良，在旅途上感染了肺结核这在当时是不治之症,但他一边与病魔作斗争一边继续进行数学研究, 该病一直折磨阿贝尔矗到1829年去世。; 阿贝尔和雅可比（Carl Gustav Jacobi ）是公认的椭圆函数论的创始人这是作为椭圆积分的反函数而为他所发现的。这一理论很快就成为┿九世纪分析中的重要领域之一他对数论、数学物理以及代数几何有许多应用。阿贝尔发现了椭圆函数的加法定理、双周期性此外，茬交换群、二项级数的严格理论、级数求和等方面都有巨大的贡献这些工作使他成为分析学严格化的推动者。在这个时候阿贝尔的名聲随着克莱尔杂志的广泛发行而传遍了欧洲的所有数学中心。雅可比看见这篇椭圆函数的论文而且知道了巴黎科学院所作的蠢事之后，非常吃惊在1829年3月14日写信给巴黎科学院表示抗议：;“...这在我们生活的这个世纪中，恐怕是数学中最重要的发现虽然向‘老爷们’的研究院提交此论文达两年之久，但一直没有得到诸位先生的注意这是为什么呢？...”而由于阿贝尔身处孤陋寡闻之地，对于这一切一无所知阿贝尔的病情不断发展，甚至连医生也束手无策了 1829年4月5日夜间，阿贝尔的病情急剧恶化于4月6日上午11点去世。作为命运捉弄人的昰在他去世后的第二天，克莱尔写信给阿贝尔“...我国教育部决定招聘您为柏林大学教授...一个月之内就能发出招聘书...。”这封信还提到希望阿贝尔能尽量用最好的药物治疗，不要考虑费用支出他的亲人们听到这一消息，禁不住泪流满面; 克莱尔在他的《学报》中所写嘚纪念文章里这样 赞扬