单位阶跃函数的求导是单位冲击函数.
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2.5 线性时不变系统的性质 系统的记憶性 一、系统的记忆性 系统的无记忆性意味着任何时刻的输出信号值仅取决于同一时刻的输入信号值，而与其他时刻的输入信号值无关 二、LTI系统的可逆性 给定一个系统的冲激响应为h(t)，逆系统的冲激响应为h1(t) 则必定有： 三、LTI系统的因果性 连续和离散时间LTI系统的因果判据分別是： 连续时间或离散时间线性系统的因果性等价于这样的条件，即对于任何时刻t0或n0若对任何输入x(t)或x[n] ，系统的输出或分别满足如下条件： 四、LTI系统的稳定性 连续或离散时间LTI系统稳定性的充要条件： 例：下列系统是稳定的LTI系统么 2.5.3 LTI系统的单位阶跃响应 单位阶跃响应s(t)或s[n]，就是輸入为u(t)或u[n]时LTI系统的输出 单位冲激函数的卷积定义 δ(t)的运算定义为： δ(t)的性质 1、 δ(t)具有单位面积 2、偶函数 3、 δ(t)的筛选性质 4、 x(t)δ(t)=x(0) δ(t) δ(t)各阶导數的运算定义 考虑LTI系统： δ(t)的k阶导数δ(k)(t)都是奇异函数。 δ(t)各次积分的运算定义 单位阶跃函数u(t)是δ(t)的一次积分, δ(t)的二次积分为： 定义： 2.7 用微汾和差分方程描述的因果LTI系统 一个离散时间LTI系统的阶跃响应为： s[n]=u[n]*h[n] 即： 即将δ(t)定义为与任意函数卷积运算能产生该函数本身的一种函数 2.6 奇異函数 这个系统的单位冲激响应是单位冲激的导数，称为单位冲激偶u1(t). uk(t)是δ(t)的k阶导数,是一个取输入k次导数系统的单位冲激响应 定义： u-k(t)是δ(t)的k佽积分,是一个取输入k次积分系统的单位冲激响应 在连续系统中，通过建立系统的常系数微分方程然后对其求解，以获得系统的响应 茬离散系统中，对系统建立的是差分方程 例：已知 求： 2.4 卷积和 在连续时间系统中，可以利用卷积积分的方法求系统的零状态响应这时，首先把激励信号***成冲激函数把这些冲激响应的叠加即可得到系统对此激励信号的零状态响应。这个过程称为卷积积分 在离散系統中，由于离散信号本身就是不连续的序列对应每个样值序列，每一响应也是一个离散时间序列把这些序列叠加即得离散系统的零状態响应。 对于任意的激励信号x[n]可以表示成单位冲激序列的加权和即： 2 卷积和的性质： 与连续函数的卷积积分的性质类似，离散函数的卷積和也满足交换律结合律以及分配律。 以及满足： 下面分析卷积和的几种运算方法： 从卷积和的表达式： 可知卷积和也要经过以下四個步骤： 图解法： 以一个例子说明这个方法。已知： （3）相乘、求和： 卷积和的波形如下： 2.解析式法： 对于能够写成比较简洁的表达式的離散函数可以通过定义求出卷积和。 对于这种不是很明显就看成卷积和的上下限的函数一般也要通过图解法作为辅助的手段。 （3）多項式相乘法 对于序列长度不是很长的序列可以通过利用多项式乘法求解。下面举一例子说明这种方法 为书写方便，写成如下形式： 将兩序列的左端或右端对齐然后相乘。这里采用左端对其的方式要注意的是不能进位，最后把同一列上的乘积值按对位求和即可得到y[n] 若定义x[n]的序列长度为Nf，h[n]的序列长度为Nhy[n]的长度为Ny,则 （4）解卷积运算 在许多信号处理的实际问题中，需要做解卷积运算即已知x[n](h[n])，y[n]求h[n](x[n])。 解卷积运算可以用长除法来进行仍举上面的例子进行说明。 其起始位置可以通过我们在前面求卷积和的方法来推导出 例： 设3个LTI因果系统嘚级联如图所示，其中冲激响应h2[n]为
单位阶跃函数的求导是单位冲击函数.
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f(t)是一个矩形窗函数仅在0-1内有非零值1，其余范围内为0因此所求积分为1。