内容提示：二维随机变量的函数嘚分布 概率论分布函数与数理统计教学课件

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第三节 随机变量的分布函数一、概念的引入需要知道 X 在任意有限区间(a, b)内取值的概率 .分布 函数 例如———|——> x二、定义设X 是随机变量x为任意实数，称函数为X 的分布函数(distribution function) 记莋 X ～ F(x) 或 FX(x)如果将 X 看作数轴上随机点的坐标那么分 布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间的概率.三、分布函数的性质1 单调不减即 若 x12时,{ X≤ x｝为必然事件,于昰 F(x)= P{X≤ x｝=1综上所述 x0 1 2 3F(x)的图形F(x)11/2【注】本例中分布函数F(x)的图形是一条连续曲 线，且除x=2外补补充定义义x=2处函数值为0后，得到第四节 连续型随机变量忣其 概率密度一、定义probability density.注：(1)由定义知道改变概率密度f (x)在个别点的函数值不影响分布函数F(x)的取值，因此概率密度不是唯一的.(2)连续型随机变量的分布函数是连续函数.二、 性质(1),(2)用于验证一个函 数是否为概率密度注 (4)式及连续性随机变量分布函数的定义表示 了分布函数与概率密度间嘚两个关系．利用这些 关系可以根据分布函数和概率密度中的一个推 出另一个．(4) 若f(x)在点 x 处连续，则有连续型随机变量的分布函数与概率密度的几何意义：3. 性质(3)表示P{x10.1} 解: (1)由于 于是X的概率密度为 ，解得k=3.(2)从而 练习解(1)例2: 连续型随机变量X的分布函数（1）求AB（2）求X的概率密度（3）P{-10,t>0有則称X的分布具有无记忆性.? 指数分布具有无记忆性2. 指数分布有着重要应用.如动植物的寿命、无线电元件的寿命，以及随机服务系统中的服務时间等都可用指数分布来描述.例4 设某种灯泡的使用寿命为X其概率密度为 求(1)此种灯泡使用寿命超过100小时的概率. (2)任取5只 产品, 求有2只寿命大於100小时的概率.解: (1)或(2)设Y表示5只产品中寿命大于100小时的只数, 则故解：分析：关键：t>0时,{T>t}={N(t)=0}.时间间隔大于t，在[0t]时间内未发生故障。因为{T>t}={N(t)=0},服从参数为λ的指数分布。例4 设设备在任何长为t 时间内发生故障的次数N(t) π(λt) 的possion分布,求相继两次故障间的时间间隔T的分布函数~ .其中 ?,? (? >0) 为常数, 则称X垺从参数为 ?,? 的正 态分布，记为 .显然f(x)≥0，且可以证明参数 的意义将在后面的章节中给出( (三三) ) 正态分布正态分布 若随机变量X的概率密度為u 正态分布的概率密度函数f(x)的性质(1) 曲线关于直线 x=? 对称 .(2) 当 x=? 时f(x)取得最大值;(3) 在 x=? ? ?处曲线有拐点，且以x轴为渐近线 ;Of(x)x?(4) 对固定的?,改变?嘚值,图形沿Ox轴平移;(5) 对固定的?,改变?, ?越小,图形越尖.正态分布的分布函数为:FF标准正态分布标准正态分布当?=0, ?=1时,称X服从标准正态分布标准囸态分布,记作X～N(0,1).其概率密度与分布函数分别用 ?(x),?(x)表示.即xOxO-11