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一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1、关于x的方程ax
+bx+c=0的根为2和3，则方程ax
-bx-c=0的根（　　）
-2，-3
考点：
分析：
因为方程的两个根为2和3，所以方程可以方程因式为a（x-2）（x-3）=0，用含a的式子表示b和c，代入后面的方程可以用因式***求出方程的根．
解答：
解：∵ax
+bx+c=0的两根为2和3，
∴a（x-2）（x-3）=0，
整理得：ax
-5ax+6a=0，
∴b=-5a，c=6a．
把b，c代入方程ax
-bx-c=0，
得：ax
+5ax-6a=0，
a（x+6）（x-1）=0，
=-6，x
故选B．
点评：
本题考查的是用因式***法解一元二次方程，把方程的两根代入方程，整理后用含a的式子表示b和c，然后把b，c代入后面的方程，用因式***法可以求出方程的根．
答题： 2、已知动点P在边长为2的正方形ABCD的边上沿着A-B-C-D运动，x表示点P由点出发所经过的路程，y表示△APD的面积，则y与x的函数关系的图象大致为（　　）
考点：
专题：
分析：
注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．
解答：
解：y与x的函数关系的图象大致可分三段来分析：
（1）当点P从A到B的时候，因为高不变，底边AP逐渐增大，所以△APD的面积随着AP的增大而增大；
（2）当点P在BC上运动的时候，△APD的底和高都不变，所以面积也不变；
（3）当点P在从C到D的时候，因为高不变，底边PD逐渐减小，所以△APD的面积随着AP的减小而减小．有这三方面性质的图象只有A．
故选A．
点评：
本题考查动点问题的函数图象问题，注意过程的变化在图象中的反映．
答题： 3、将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若所得的和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”．那么，所有的三位数中，“奇和数”有（　　）个．
考点：
专题：
分析：
先设这个3位数为100a+10b+c．则顺序颠倒后为100c+10b+a．则两个数相加为101a+20b+101c．根据“奇和数”的定义，分别讨论a，b，c的取值．从而得出***．
解答：
解：由分析得两个数相加为101a+20b+101c=100（a+c）+20b+（a+c）．
如果此数的每一位都为奇数．那么a+c必为奇数，由于20b定为偶数，所以如果让十位数为奇数，那么a+c必须大于10．
又当b≥5时，百位上进1，那么百位必为偶数，
所以b＜5．b可取0，1，2，3，4．
由于a+c为奇数，且a+c＞10．
所以满足条件的有：
当a=2时，c=9．
当a=3时，c=8．
当a=4时，c=7，9．
当a=5时，c=6，8．
当a=6时，c=5，7，9．
当a=7时，c=4，6，8．
当a=8时，c=3，5，7，9．
当a=9时，c=2，4，6，8．
共有20种情况，由于b可取0，1，2，3，4．
故20×5=100．
故选D．
点评：
本题考查了整数的奇偶性问题，解决本题的关键是分情况讨论．
答题： 4、设a、b、c均为正数，若$\frac{c}{a+b}＜\frac{a}{b+c}＜\frac{b}{c+a}$，则a、b、c三个数的大小关系是（　　）
c＜a＜b
b＜c＜a
a＜b＜c
c＜b＜a
考点：
专题：
分析：
根据$\frac{c}{a+b}＜\frac{a}{b+c}＜\frac{b}{c+a}$，则$\frac{a+b}{c}＞\frac{b+c}{a}＞\frac{a+c}{b}$，不等式同时加上1化简后即可得出***．
解答：
解：∵a、b、c均为正数，根据$\frac{c}{a+b}＜\frac{a}{b+c}＜\frac{b}{c+a}$，
则$\frac{a+b}{c}＞\frac{b+c}{a}＞\frac{a+c}{b}$，
上式同时加1得：$\frac{a+b}{c}+1＞\frac{b+c}{a}+1＞\frac{c+a}{b}+1$，
化简得：$\frac{a+b+c}{c}＞\frac{a+b+c}{a}＞\frac{a+b+c}{b}$，
∴c＜a＜b．
故选A．
点评：
本题考查了分式的化简求值，难度不大，关键是把已知不等式$\frac{c}{a+b}＜\frac{a}{b+c}＜\frac{b}{c+a}$进行变形进而求解．
答题： 5、菱形周长为20，一条对角线长为8，则菱形的面积为（　　）
考点：
专题：
分析：
根据菱形的周长可以计算菱形的边长，菱形的对角线互相垂直平分，已知AB，BO根据勾股定理即可求得AO的值，根据对角线长即可计算菱形ABCD的面积．
解答：
菱形周长为20，则边长AB=5，
∵菱形对角线BD长为8，菱形对角线垂直且互相平分，∴BO=4，
∴AO=$\sqrt{{AB}^{2}-{BO}^{2}}$=3，
故AC=2AO=6，
故菱形ABCD的面积S=$\frac{1}{2}$×6×8=24．
故选 C．
点评：
本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，考查了菱形各边长相等的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理求AO的值是解题的关键．
答题： 6、美是一种感觉，本应没有什么客观的标准，但在自然界里，物体形状的比例却提供了在匀称与协调上的一种美感的参考，在数学上，这个比例称为黄金分割．在人体躯干（由脚底至肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，也就是说，若此比值越接近0.618，就越给别人一种美的感觉．如果某女士身高为1.60m，躯干与身高的比为0.60，为了追求美，她想利用高跟鞋达到这一效果，那么她选的高跟鞋的高度约为（　　）
考点：
专题：
分析：
先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的概念，列出方程$\frac{96+x}{160+x}$=0.618，求解即可．
解答：
解：根据已知条件得下半身长是160×0.6=96cm，
设选的高跟鞋的高度是xcm，则根据黄金分割的定义得：$\frac{96+x}{160+x}$=0.618，
解得：x≈7.5cm．
故选C．
点评：
此题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金比的值，进一步根据黄金比的值求解．注意身高不要忘记加上高跟鞋的高度．
答题： 7、如图，一个边长分别为3cm、4cm、5cm的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD、DC上，那么这个正方形的面积是（　　）
$\frac{{{{16}^2}}}{15}c{m^2}$
$\frac{{{{15}^2}}}{16}c{m^2}$
$\frac{{{{17}^2}}}{16}c{m^2}$
$\frac{{{{16}^2}}}{17}c{m^2}$
考点：
分析：
如图，由△BEF的三边为3、4、5，根据勾股定理逆定理可以证明其是直角三角形，利用正方形的性质可以证明△FDE～△ECB，然后利用相似三角形的性质可以得到DE：CB=3：4，设DE为3x，则BC是4x，根据勾股定理即可求出x
=$\frac{16}{17}$，也就求出了正方形的面积．
解答：
解：如图，∵△BEF的三边为3、4、5，而3
∴△BEF为直角三角形，
∴∠FEB=90°，而四边形ABCD为正方形，
∴∠D=∠C=90°，
∴△FDE～△ECB，
∴DE：CB=EF：EB，即DE：CB=3：4，
∴设DE为3x，则BC是4x，
∴EC是x，
∵三角形EBC为直角三角形，
∴16=x
+（4x）
=$\frac{16}{17}$，
正方形ABCD
=（4x）
=$\frac{{16}^{2}}{17}$cm
故选D．
点评：
此题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理等知识，综合性比较强，对于学生的能力要求比较高．
答题： 8、将抛物线y=2x
-12x+22绕点（5，2）旋转180°后得到的新抛物线与坐标轴的交点个数是（　　）
考点：
专题：
分析：
由y=2x
-12x+22=2（x-3）
+4，可知抛物线顶点坐标为（3，4），点（3，4）绕点（5，2）旋转180°后得到点（7，0），顶点在x轴上，故抛物线与x轴有一个交点，与y轴有一个交点，共2个交点，故选B．
解答：
解：∵y=2x
-12x+22=2（x-3）
∴抛物线顶点坐标为（3，4），
由旋转的性质可知，
点（3，4）绕点（5，2）旋转180°后得到点（7，0），
即旋转后抛物线顶点在x轴上，与 x轴有一个交点，
又抛物线与y轴有一个交点，共2个交点．
故选B．
点评：
抛物线旋转问题，实际上就是两条抛物线顶点之间的问题，找到了顶点的变化就知道了抛物线的变化，从而确定旋转后抛物线与坐标轴的交点情况．
答题： 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9、已知两圆的圆心分别在（2，0）、（0，2），半径都是2．则两圆公共部分的面积是
考点：
专题：
分析：
由B（2，0）、C（0，2），半径都是2，得到△OBC为等腰直角三角形，得∠OBC=45°，而OA⊥BC，得到△BAO为等腰直角三角形，根据S
弓形OA
扇形BOA
，利用扇形和三角形的面积公式计算可得到S
弓形OA
，而两圆公共部分的面积是它的二倍．
解答：
解：如图，
∵B（2，0）、C（0，2），半径都是2，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°，
而OA⊥BC，
∴∠AOB=45°，
∴△BAO为等腰直角三角形，
弓形OA
扇形BOA
=$\frac{90π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×2×2=π-2．
所以两圆公共部分的面积=2S
弓形OA
=2π-4．
故***为2π-4．
点评：
本题考查了扇形的面积公式：S=$\frac{nπ{R}^{2}}{360}$，其中n为扇形的圆心角的度数，R为圆的半径），或S=$\frac{1}{2}$lR，l为扇形的弧长，R为半径．也考查了图形与坐标的关系以及等腰直角三角形的性质．
答题： 10、如果三位数$\overline{abc}$满足a＜b＜c或a＞b＞c，则称这个三位数为“严格排序三位数”．那么，从所有三位数中任意取出一个恰好是“严格排序三位数”的概率是
$\frac{17}{75}$
考点：
专题：
分析：
最小的3位数是100，最大的3位数是999，那么可算出共有几个3位数，进而找到“严格排序三位数”的个数，除以数的总个数即为所求的概率．
解答：
解：∵最小的3位数是100，最大的3位数是999，
∴3位数共有999-100+1=900个，
①当百位数为1，十位数为2的时候，个位可能为3到9共7个数；
百位数为1，十位数为3的时候，个位可能为4到9共6个数；
百位数为1，十位数为4的时候，个位可能为5到9共5个数；
百位数为1，十位数为5的时候，个位可能为6到9共4个数；
百位数为1，十位数为6的时候，个位可能为7到9共3个数；
百位数为1，十位数为7的时候，个位可能为8到9共2个数；
百位数为1，十位数为8的时候，个位可能为9共1个数；
∴百位数为1的这样的3位数共有1+2+3…+7=28个；
②百位数为2，十位数为1的时候，个位可能为0共1个数；
百位数为2，十位数为3的时候，个位可能为4到9共6个数；
百位数为2，十位数为4的时候，个位可能为5到9共5个数；
百位数为2，十位数为5的时候，个位可能为6到9共4个数；
百位数为2，十位数为6的时候，个位可能为7到9共3个数；
百位数为2，十位数为7的时候，个位可能为8到9共2个数；
百位数为2，十位数为8的时候，个位可能为9共1个数；
∴百位数为2的这样的3位数共有1+2+3…+6+1=22个；
③百位数为3，十位数为1的时候，个位可能为0共1个数；
百位数为3，十位数为2的时候，个位可能为0和1共2个数；
百位数为3，十位数为4的时候，个位可能为5到9共5个数；
∴百位数为3的这样的3位数共有1+2+3…+5+（1+2）=18个；
④百位数为4，十位数为1的时候，个位可能为0共1个数；
百位数为4，十位数为2的时候，个位可能为0和1共2个数；
百位数为4，十位数为3的时候，个位可能为0到2共3个数；
∴百位数为4的这样的3位数共有1+2+3+4+（1+2+3）=16个；
⑤百位数为5的这样的3位数共有1+2+3+（1+2+3+4）=16个；
⑥百位数为6的这样的3位数共有1+2+（1+2+3…+5）=18个；
⑦百位数为7的这样的3位数共有1+（1+2+3…+6）=22个；
⑧百位数为8的这样的3位数共有1+2+3…+7=28个；
⑨百位数为9的这样的3位数共有1+2+3…+8=36个；
∴这样的3位数有2×（22+28+18+16）+36=204，
∴从所有三位数中任意取出一个恰好是“严格排序三位数”的概率是$\frac{204}{900}$=$\frac{17}{75}$，
故***为：$\frac{17}{75}$．
点评：
考查概率公式的应用；得到“严格排序三位数”的个数是解决本题的难点；用到的知识点为：概率等于所求情况数除以总情况数．
答题： 11、若f（n）为n
+1（n是任意正整数）的各位数字之和，如14
+1=197，1+9+7=17，则f（14）=17；记f
（n）=f（n），f
（n）=f（f
（n）），…，f
（n）=f（f
（n）），k是正整数，则f
（11）=
考点：
专题：
分析：
先分别求出f
（11）、f
（11）、f
（11）、f
（11）的值，找出规律即可进行解答．
解答：
解：由题意得：
（11）=f（11）=5；
（11）=f（5）=8；
（11）=f（8）=11；
（11）=f（11）=5；
三个一循环，
∵$\frac{2010}{3}$=670，
（11）=11．
故***为：11．
点评：
本题考查的是整数问题的综合应用，能根据题意求出f
（11）、f
（11）、f
（11）、f
（11）的值，找出规律是解答此题的关键．
答题： 12、已知三个正整数x，y，z的最小公倍数是300，并且满足$\left\{{\begin{array}{l}{x+3y-2z=0}\\{2{x^2}-3{y^2}+{z^2}=0}\end{array}}\right.$，则此方程组的解（x，y，z）=
（20，60，100）
考点：
分析：
有三个正整数x，y，z的最小公倍数是300，又x，y，z满足$\left\{{\begin{array}{l}{x+3y-2z=0}\\{2{x^2}-3{y^2}+{z^2}=0}\end{array}}\right.$，得出x，y，z之间的关系．从而得出x，y，z．
解答：
解：有方程组$\left\{{\begin{array}{l}{x+3y-2z=0}\\{2{x^2}-3{y^2}+{z^2}=0}\end{array}}\right.$，
可得x=-z，y=z，（x，y，z都为正整数舍去）或x=$\frac{z}{5}$，y=$\frac{3z}{5}$，
由此x：y：z=1：3：5，
令x=k，y=3k，z=5k，
则x，y，z的最小公倍数为15k=300，得出k=20，
所以x=20，y=60，z=100．
故***为：（20，60，100）．
点评：
本题考查了最小公倍数的应用，先根据方程组找出x，y，z的比值，从而得出***．
答题： 13、如果一个圆的直径和它的一条弦长分别为a、b，且这条弦的弦心距是正有理数，又已知a、b都是两位正整数，它们的十位数字和个位数字刚好互换位置．则a
的值是
考点：
专题：
分析：
设a=10x+y，b=10y+x，0＜y＜x＜10，x，y∈N，根据这条弦的弦心距是正有理数即可求出a与b的值，从而得出***．
解答：
解：设a=10x+y，b=10y+x，0＜y＜x＜10，x，y∈N，
∵这条弦的弦心距是正有理数，
∴$\sqrt{{（\frac{a}{2}）}^{2}-{（\frac{b}{2}）}^{2}}$∈正有理数，
即$\frac{3}{2}$$\sqrt{11（{x}^{2}-{y}^{2}）}$是有理数必有x
，t∈N，且x
≤81，
得t=1或2 当t=1时，符合条件的x、y为6、5，
即a=65，b=56，当t=2时，无符合条件的x、y，
综上，a=65，b=56，
=7361，
故***为：7361．
点评：
本题考查了完全平方数及十进制表示法，难度一般，关键是正确设出a，b的表示形式．
答题： 14、抛物线y=n（n+1）x
-（3n+1）x+3与直线y=-nx+2的两个交点的横坐标分别是x
，记d
|．则代数式d
的值是
$\frac{2010}{2011}$
考点：
分析：
联立抛物线和直线的解析式，求得两个交点的横坐标，然后观察d
表达式的规律，根据规律进行求解即可．
解答：
解：依题意，联立抛物线和直线的解析式有：
n（n+1）x
-（3n+1）x+3=-nx+2，
整理得：n（n+1）x
-（2n+1）x+1=0，
解得x
=$\frac{1}{n}$，x
=$\frac{1}{n+1}$；
所以当n为正整数时，d
=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
故代数式d
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2010}$-$\frac{1}{2011}$=1-$\frac{1}{2011}$=$\frac{2010}{2011}$．
点评：
此题主要考查的是函数图象交点坐标的求法，能够发现所求代数式中的规律是解决问题的关键．
答题： 三、解答题（共4小题，满分50分）
15、已知a
这七个实数满足下列三个方程：
（1）a
=2008；
（2）4a
=208；
（3）9a
试求下列代数式的值：16a
考点：
专题：
分析：
观察（1）（2）（3）式及所求代数式中a
这七个未知数前面的系数，发现每个未知数前面的四个系数依次是n
、（n+1）
、（n+2）
、（n+3）
，得出它们之间的关系．
解答：
解：观察（1）（2）（3）式及所求代数式中a
这七个未知数前面的系数，
可以发现每个未知数前面的四个系数依次是n
、（n+1）
、（n+2）
、（n+3）
而这四个数之间有下列关系：n
-3（n+1）
+3（n+2）
=（n+3）
∴所求代数式的值=（1）-3（2）+3（3）=2008-3×208+3×28=1468．
点评：
此题主要考查了因式***式的综合应用，关键是由已知发现它们之间的关系，技巧性比较强．
答题： 16、请你利用直角坐标平面上任意两点（x
）、（x
）间的距离公式$d=\sqrt{{{（x1-x2）}^2}+{{（y1-y2）}^2}}$解答下列问题：
已知：反比例函数$y=\frac{2}{x}$与正比例函数y=x的图象交于A、B两点（A在第一象限），点F
（-2，-2）、F
（2，2）在直线y=x上．设点P（x
）是反比例函数$y=\frac{2}{x}$图象上的任意一点，记点P与F
两点的距离之差d=|P
|．试比较线段AB的长度与d的大小，并由此归纳出双曲线的一个重要定义（用简练的语言表述）．
考点：
专题：
分析：
解由$y=\frac{2}{x}$和y=x组成的方程组可得A、B两点的坐标分别为（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）、（$-\sqrt{2}$，$-\sqrt{2}$），利用两点间的距离公式可求出线段AB的长度，由P为反比例函数y=$\frac{2}{x}$上一点可得出x
的关系式，利用两点间的距离公式可得出PF
的长，代入d=|P
|即可得到x
的表达式，再根据x
的取值范围即可求出d的长，进而得出结论．
解答：
解：解由$y=\frac{2}{x}$和y=x组成的方程组可得A、B两点的坐标分别为，（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）、（$-\sqrt{2}$，$-\sqrt{2}$），线段AB的长度=4（2分）
∵点P（x
）是反比例函数$y=\frac{2}{x}$图象上一点，
=$\frac{2}{{{x0}_{\;}}}$
=$\sqrt{{{（x0+2）}^2}+{{（\frac{2}{xo}+2）}^2}}$=$\sqrt{{{（x0+\frac{2}{x0}+2）}^2}}$=|$\frac{{{{（x0+1）}^2}+1}}{x0}$|，
=$\sqrt{{{（x0-2）}^2}+{{（\frac{2}{xo}-2）}^2}}$=$\sqrt{{{（x0+\frac{2}{x0}-2）}^2}}$=|$\frac{{{{（x0-1）}^2}+1}}{x0}$|，（3分）
∴d=|PF
|=||$\frac{{{{（x0+1）}^2}+1}}{x0}$|-|$\frac{{{{（x0-1）}^2}+1}}{x0}$||，
＞0时，d=4；当x
＜0时，d=4．（3分）
因此，无论点P的位置如何，线段AB的长度与d一定相等．（2分）
由此可知：到两个定点的距离之差（取正值）是定值的点的集合（轨迹）是双曲线．（2分）
点评：
本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟练利用两点间的距离公式是解答此题的关键．
答题： 17、△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB三边于D、E、F，G是EF上的一点，且DG⊥EF，求证：DG平分∠BGC．
考点：
专题：
分析：
连接DF、DE，设N、K分别是DF、DE的中点，连接BN、CK．则Rt△BFN∽Rt△DEG，Rt△CEK∽Rt△DFG，从而证得$\frac{BF}{CE}=\frac{FG}{GE}$，于是△BFG∽△CEG，所以∠BGD=∠CGD．即DG平分∠BGC．
解答：
证明：连接DF、DE，设N、K分别是DF、DE的中点，连接BN、CK．则：
Rt△BFN∽Rt△DEG，$\frac{BF}{DE}=\frac{FN}{GE}=\frac{FD}{2GE}$（2分）
Rt△CEK∽Rt△DFG，$\frac{CE}{DF}=\frac{EK}{FG}=\frac{ED}{2FG}$（2分）
∴BFGE=$\frac{1}{2}$DFDE=CEFG（4分）
∴$\frac{BF}{CE}=\frac{FG}{GE}$，而∠BFG=∠CEG（2分）
∴△BFG∽△CEG，于是∠BGF=∠CGE．
∵DG⊥EF，∴∠BGD=∠CGD．
即DG平分∠BGC．（2分）
点评：
本题考查了三角形的内切圆和相似三角形的判定和性质．
答题： 18、观察下列图形：
如果按这个规律一直排到第n个图形，请探究下列问题：
（1）设第n个图形和第n-1个图形中所有三角形的个数分别为a
，问：它们之间有什么数量关系？请写出这个关系式．
（2）请你用含n的代数式来表示a
，并证明你的结论．
考点：
专题：
分析：
（1）在一个三角形中，若增加一个小三角形，则原三角形变成了5个，而①***有5个三角形，②***有17个三角形，即在5个的基础上增加了三个三角形变成了17个，进而可依据三角形的个数得出其内在关系，即3n+2；
（2）通过推理得出a
的代数式，再证明结论的正确性．
解答：
解：（1）按题中图形的排列规律可得：an=3an-1+2．
（2）由（1）得：an=3an-1+2，an-1=3an-2+2，两式相减得：
an-an-1=3（an-1-an-2）①
当n分别取3、4、5、n时，由①式可得下列（n-2）个等式：
a3-a2=3（a2-a1），a4-a3=3（a3-a2），a5-a4=3（a4-a3），
an-an-1=3（an-1-an-2）．
显然an-an-1≠0，以上（n-2）个等式的左右两边分别相乘约去相同的项后得：
an-an-1=3
（a2-a1）②
∵a2-a1=17-5=12，由（1）又可知an-1=$\frac{1}{3}$（an-2），
将它们代入②式即得：an=2×3
点评：
本题主要考查了图形变化的一般规律问题，能够通过观察，掌握其内在规律，并能通过证明得出结论的正确性．
答题： 推荐试卷
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解析质量好
解析质量中
解析质量差
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