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小学数奥思维训练 和倍、差倍与和差问题 热 ★★★
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小学数奥思维训练 和倍、差倍与和差问题
作者：天天教育… 奥数来源：本站原创 点击数： 更新时间：2004-2-9
和倍、差倍与和差问题 一、趣题引入 有一天，哥哥与弟弟对话说年龄。哥哥对弟弟说：“当我是你今年的岁数那一年，你刚刚4岁。”哥哥说完，弟弟想了想，也说：“当我长到你今年的岁数时，你就是19岁了。”聪明的读者，你知道哥哥、弟弟今年各几岁吗？ 这是一道有关年龄的问题，不管哥哥、弟弟是在过去、现在或是将来，他们的年龄差是不变的。当哥哥是弟弟现在的岁数时，弟弟的年龄应是现有年龄减少一个年龄差；当弟弟是哥哥现在的岁数时，哥哥的年龄是现有年龄增加一个年龄差，因此19-4=15，15应是三倍年龄差。所以，哥哥弟弟的年龄差为5岁。因此弟弟今年是5+4=9岁，哥哥是19-5=14岁。 二、知识点 和倍问题是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系而求这两个数各是多少的应用题；差倍问题是已知两个数的差及它们之间的倍数关系而求这两个数各是多少的应用题；和差问题是已知两个数的和及这两个数的差而求这两个数各是多少的应用题。有时，题目的条件可能适当变化，不局限于两个数，可能是三个数或更多一些的数。
三、例题分析
例1: 秋收之后，红星农场把56000千克粮食分别存入两个仓库，已知往第一个仓库里存放的粮食是第二仓库的3倍，求两个仓库各存粮食多少千克？
分析与求解：我们可以把容量较小的第二仓库存放的粮食数看作是1份，那么第一仓库的存粮数就是3份，两个仓库粮总数是56000千克，就相当于第二仓库存粮数的4份，于是第二仓库存粮数即可求得。 （1）第二仓库存粮数：56000÷（3+1）=14000（千克）
（2）第一仓库存粮数：4000×3=42000（千克）
答：第一仓库存粮42000千克，第二仓库存粮14000千克。
例2：果园里有梨树、桃树、核桃树共526棵，梨树比桃树的2倍多24棵，核桃树比桃树少18根。求梨树、桃树及核桃树各有多少棵？
分析与***：
已知条件中可以看出，梨树比桃树2倍多24棵，核桃树比桃树少18棵，都是同梨树相比较，可见以桃树的棵数为标准，也就是把桃树的棵数看作1份的话，便可知其他树所占份数。给核桃树增加18棵，那么就和桃树相等了，也就是核桃树也占1份了，再从梨树里减少24棵，那么就相当于桃树的2倍了，也是占有2份。如果这样做的话，总棵数就变成（526+18-24）=520棵了，恰好是4份，也就是相当于桃树颗数的4份。
（526+18-24）÷（2+1+1）
=520÷4
=130（棵）
桃树正好占一份，因此桃树有130棵
梨树有：130×2+24=284（棵）
核桃树有：130-18=112（棵）
答：梨树、桃树及核桃树分别为284棵、130棵及112棵。
例3：被除数除以除数商是4，余数是3。而被除数、除数、商及余数的和是155。求被除数、除数各是多少？
分析：先从155里减去商及余数，剩下的数就是被除数及除数的和：155-4-3=148
被除数是除数的4倍，还多3，因此差将除数看作一份的话，那么被除数是4份多3，见下图。
除数占1份，因此除数为（148-3）÷（4+1）=29
被除数占4份多3，因此被除数为29×4+3=119
答：被除数是119，除数是29。
例4：四（1）班与四（2）班原有图书的本数一样多，后来四（1）班又买来新书118本，四（2）班从本班原有书中取出70本送给一年级同学，这时，四（1）班的图书是四（2）班的3倍，求两班原有图书各多少本？
（1）后来，四（1）班比四（2）班多的书：118+70=188本
（2）多出的188本仅占2份，因此每份书为：188÷（3-1）=94本
∴原来有图书本数为：94+70=164本（两班原有书一样多）
答：两班原有图书均为164本。
例5：父亲年龄现年39岁。问几年前，父亲年龄是儿子的4倍？
分析：父亲与儿子的年龄差为39-12=27。由于年龄总是不变的，因此当父亲年龄是儿
子年龄的4倍时，儿子的年龄是：
27÷（4-1）=9（岁）
12-9=3（年）
答：3年前，父亲年龄是儿子的4倍。
例6：甲、乙两个冷藏库共存鸡蛋6250箱，先从甲库运走1100箱后，这时乙库存的鸡蛋比甲库剩下的2倍还多350箱，求甲、乙两库原来各存鸡蛋多少箱？
（i） 先求出每份有多少箱？
（6250-1100-350）÷（1+2）=1600（箱）
（ii） 甲库原存鸡蛋：
1600+1100=2700（箱）
（iii） 乙库原来存鸡蛋：
1600×2+350=3550（箱）
答：甲库原存鸡蛋2700箱，乙库原存鸡蛋3550箱。
例7 一个小学生在期末考试时，语文、数学两门功课的成绩平均是91.5分，又知数
学成绩比语文成绩多5分，求这两门功课各多少分？
解一：语文、数学一共有91.5×2=183(分)
语文成绩：（183-5）÷2=89分
数学成绩：（183+5）÷2=94分
解二：数学比语文多5分，因此数学分比平均分高2.5分，语文分比平均分低2.5分。
因此：语文分：91.5-2.5=89(分)
数学分: 91.5+2.5=94分
答: 语文分是89分，数学分是94分。
四、习题部分
1、甲水池有水5200立方米，乙水池有水2400立方米，如果甲水池里的水以每分钟44立方米的速度流入乙水池，那么多少分钟后，乙水池的水是甲水池的3倍。
2、把1296分为甲、乙、丙、丁四个数，如果甲数加上2，乙数减去2，丙数乘以2，丁数除以2，则四个数相等。求这四个数各是多少？
3、柳树沫村原有水田510亩，旱田230亩，今冬明春计划把一部分旱田改为水田，使全村水田的亩数是相当于旱田的3倍，求要把多少亩旱田改为水田。
4、甲、乙两城相距135千米，小张于上午7点骑自行车从甲城出发去乙城，小李于上午8时骑摩托车从乙城出发去甲城。张、李二人于上午10点在途中相遇，如果摩托车的速度是自行车速度的3倍，那么摩托车和自行车的速度各是每小时多少千米？
5、甲、乙两数的和是80，甲数的5倍与乙数的3倍的和是314，求甲、乙二数各是多少？
6、甲、乙两仓库共存黄豆84500千克，从甲仓取出6500千克，从乙仓取出4000千克后，两仓余下的黄豆恰好相等，求甲、乙两仓原来各存黄豆多少千克？
7、一批石油，如果用甲种油罐车装运，需要20辆，如果用乙种油罐车装运，需要25辆。已知甲种油罐车比乙种油罐车每辆多装2吨。求这批石油共多少吨？
8、把161分成两个数，使两个数的和是两数之差的7倍，求这两个数各是多少？
9、兄弟俩都有点傻，以为只有自己过一年长一岁，而别人不会长大。有一天，哥哥对弟弟说：“再过3年我的年龄就是你的2倍。”弟弟说：“不对，再过3年我和你一样大。”这时他们俩各几岁？
10、水果店运来的西瓜个数是哈蜜瓜个数的4倍，如果每天卖130个西瓜和36个哈蜜瓜，那么哈蜜瓜卖完后还剩下70个西瓜。问：水果店运来的西瓜和哈蜜瓜共有多少个？
五、***及思路分析 1、解：当乙水池中水是甲水池中水的3倍时，两个水池水的总量仍是5200+2400=7600立方米，如果把甲池的看作1份的话，那么此时乙水池的水应有3份，每1份水的体积应是：
7600÷（1+3）=1900（立方米）
因此甲池现有水1900立方米。
从甲池流走的水有：5200-1900=3300（立方米）
因此时间是：3300÷44=75（分钟）
答：75分钟后，乙水池中的水是甲水池的3倍。
2、解：四个数相等时，每个数均可看成是“1”份，那么
由图可知：甲数原来是1份少2；
乙数原来是1份多2；
丙数原来是0.5份；
丁数原来是2份。
从而可得出每份：
（1296+2-2）÷（1+1+0.5+2）
=1296÷4.5
由此可知：甲数是286，乙数是290，丙数是144，丁数是576。
3、田的总数是：510+230=740，改造后旱田看作"1"份，那么水田占3份，因此每份应是 740÷（3+1）=185（亩）
因此被改造的旱田有：230-185=45（亩）
4、将小张骑自行车每小时走的路程看作“1”份，则小李骑摩托车每小时走3份路程
共计9份，因此每份路程是：135÷9=15（千米）
因此自行车速度是每小时15千米；15×3=45千米，摩托车车速是每小时45千米。
5、解：甲、乙两数和是80，两个数的3倍的和是：80×3=240
而甲数的5倍与乙数的3倍的和是314，
因此甲数的2倍是：314-240=74
∴ 甲数是：74÷2=37
乙数是：90-37=43
6、略解：84500-6500-4000=74000（千克）
74000÷2=37000（千克）
37000+65000=43500（千克）
37000+4000=41000（千克）
答：甲、乙两仓原来各存黄豆分别是43500千克和41000千克。
7、略解：20×4=40（吨）
25-20=5（辆）
40÷5=8（吨）
8×25=100（吨）
答：这批石油共有100吨。
9、略解：从弟弟话中可以得知：弟弟比哥哥小3岁。
再从哥哥的话中可以得，当哥哥年龄加3以后，是弟弟现在龄的2倍。
也就是当哥哥比弟弟大6岁时，哥哥的年龄是弟弟的两倍，所以弟弟今年6岁，哥哥今年6+3=9岁。
10、假定每天卖36个哈蜜瓜时，卖出的西瓜是36×4=144个。则哈蜜瓜和西瓜一定同时卖完。
事实上每天少卖144-130=14个。
当哈蜜瓜卖完时，哈蜜瓜多了70个，因此：
70÷14=5（天） 一共卖了5天瓜。
36×5=180个 180×4=720（个）
所以，水果店运来的西瓜是720个，哈蜜瓜是180个。
720+180=900（个）
答：水果店共运来的西瓜和哈蜜瓜是900个。
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2008年03月01日 星期六
下午 11:30
二十二、两差法
解应用题时，首先确定一个标准数（即
1倍数），再根据已知的两数差与倍数差，用除法求出1倍数，然后以此为基础，用乘法求出另一个数的解题方法，叫做两差法。用两差法一般是解答差倍问题。
差倍问题的数量关系是：
两数差÷倍数差
1倍数×倍数=几倍数
+两数差=较大数
某厂女职工人数是男职工人数的
6倍，男职工比女职工少65人。这个厂男女职工共有多少人？（适于四年级程度）
解：根据人数差÷倍数差
=1倍数，有：
65÷（6-1）=13（人）
那么，这个厂男女职工共有的人数是：
13×（6+1）=91（人）
3本日记本，小华买同样的8本日记本，比小李多用2.75元。小李、小华两人分别用去多少钱？（适于五年级程度）
解：小华比小李多用
2.75元（总价差），是因为小华比小李多买（8-3）本（数量差）日记本，用这两个差求出每本日记本的价钱。
小李用的钱数是：
0.55×3=1.65（元）
小华的钱数是：
0.55×8=4.40（元）
甲、乙两数的差是
28，甲数是乙数的3倍。问甲乙两数各是多少？（适于四年级程度）
-乙=28，甲是乙的3倍，那么乙就是1倍数，28所对应的倍数是3-1=2（倍），则乙数可以求出。解法是：
28÷（3-1）=14……………………………乙数
14×3=42…………………………………甲数
答：甲数是
42，乙数是14。
一个植树小组植树。如果每人栽
5棵，还剩14棵；如果每人栽7棵，就缺4棵。这个植树小组有多少人？一共有多少棵树苗？（适于五年级程度）
解：把题中的条件简要摘录如下： 每人5棵 剩14棵 每人7棵 缺4棵
比较两次分配的情况可看出，由于第二次比第一次每人多栽（
7-5）棵，一共要多栽（14+4）棵树。根据两次每人栽的棵数差和所栽总棵数的差，可求出植树小组的人数，然后再求出原有树苗的棵数。
14+4）÷（7-5）=9（人）……………………人数
5×9+14=59（棵）……………………………棵数
用一个杯子向一个空瓶里倒水。如果倒进
3杯水，连瓶共重440克；如果倒进5杯水，连瓶共重600克。一杯水和一个空瓶各重多少克？（适于五年级程度）
解：解这类题，要先找出暗差的等量关系，再找解题的最佳方法。
这道题的暗差有两个：一个是
5-3=2（杯），另一个是600-440=160（克）。这里两个暗差的等量关系是：2杯水的重量=160克。
这样就能很容易求出一杯水的重量：
160÷2=80（克）
一个空瓶的重量：
440-80×3=200（克）
甲从西村到东村，每小时步行4千米。3.5小时后，乙因有急事，从西村出发骑自行车去追甲，每小时行9千米。问乙需要几小时才能追上甲？（适于高年级程度）
解：乙出发时，甲已经行了（
4×3.5）千米，乙每行1小时便可比甲每小时多行（9-4）千米，那么（4×3.5）千米中含有几个（9-4）千米，乙追上甲就需要多少个小时。所以：
答：乙需
2.8小时才能追上甲。
6是典型的追及问题。由此可知，追及问题也可以利用两差法来解答。
某电风扇厂生产一批电风扇。原计划每天生产120台电风扇，实际每天比原计划多生产30台，结果提前12天完成任务。这批电风扇的生产任务是多少台？（适于高年级程度）
解：在同样的时间（计划天数）里，实际比原计划多生产电风扇的台数是：（
120+30）×12。因为实际每天比原计划多生产30台，因此：
计划完成任务的天数是
60天，那么这批电风扇的生产任务就是：
120×60=7200（台）
甲每小时走5千米，乙每小时走4千米，两人同走一段路，甲比乙少用了3小时。问这段路长多少千米？（适于五年级程度）
解：解答这道题应从差异入手。因为凡是发生差异必定有它的道理。题中的差异是甲比乙少用了
3小时，抓住它作如下追问，即可发现解题途径。
为什么会甲比乙少用了
3小时？因为甲比乙的速度快。
1）在3个小时里甲比乙多走多少千米的路呢？在3小时里甲比乙正好多走：
4×3=12（千米）
2）甲每小时可以追上乙多少千米呢？
5-4=1（千米）
3）走完这12千米的差数甲要走几小时呢？
12÷1=12（小时）
4）这段路长多少千米？
5×12=60（千米）
综合算式：
5×[4×3÷（5-4）]
=5×[12÷1]
=60（千米）
解：此题是差倍问题的变形。
两堆煤原来各有多少吨？（适于六年级程度）
解：这里已知两堆煤的总数和运走的总数，不知道两堆煤在总数中占多大比率，也无法把运走的煤分为甲堆运走的和乙堆运走的。虽然知道甲堆运
知道，无法发生联系，因此这两个分率无法参加运算。
本题的难点在于两堆煤运走的分率不同，若分率相同，分析就会有所进展。
然后再看假设引出了什么差异。已知条件告诉我们共运走
180吨，与方才算得的162吨相差180-162=18（吨），为什么会产生这18吨的差异呢？
270-120=150（吨）……………………甲堆
祖父给兄弟二人同样数目的零花钱，祖母给了哥哥1100日元，给了弟弟550日元，这样兄弟二人所得到的零花钱数的比为7∶5。求祖父给兄弟二人的钱数都是多少日元？（适于六年级程度）
解：因为祖父给兄弟二人的钱数相同，所以祖母给兄弟二人的钱数之差，就是他们分别得到的所有零花钱钱数之差。
1100-550=550（日元）
由兄弟二人所得到的零花钱钱数的比为
7∶5可知，把哥哥的钱看成是7份的话，弟弟的钱数就是5份，它们相差：
7-5=2（份）
所以，每一份的钱数是：
550÷2=275（日元）
哥哥有零花钱：
275×7=1925（日元）
其中祖父给的是：
1925-1100=825（日元）
答：祖父给兄弟二人的钱都是
825日元。
一位牧羊人赶着一群羊走过来，小明问他：你的羊群里有山羊、绵羊各几只？牧羊人说：山羊的只数加上99只就是绵羊的只数，绵羊的只数加上99只就是山羊的3倍，你去算吧。请你帮助小明算一算。（适于五年级程度）
解：由山羊的只数加上
99只就是绵羊的只数知道，绵羊比山羊多99只。由绵羊的只数加上99只就是山羊的3倍知道，绵羊的只数加上99只后，绵羊的只数比山羊多（99+99）只。此时，如果把山羊只数看作1倍，绵羊只数就是3倍，比山羊多（3-1）倍，这（3-1）倍正好是（99+99）只（图22-1）。用除法可以求出1倍数（山羊只数），再用加法就可以求出绵羊只数。
99+99）÷（3-1）
=198÷2
=99（只）…………………山羊只数
99+99=198（只）…………绵羊只数
某工厂有大、小两个车间。如果从小车间调10人到大车间，则大车间的人数是小车间的3倍；如果从大车间调30人到小车间，则两个车间的人数相等。求大、小两个车间各有多少人？（适于高年级程度）
解：根据如果从大车间调
30人到小车间，则两个车间的人数相等知道，大车间比小车间多30×2人；根据如果从小车间调10人到大车间，则大车间的人数是小车间的3倍知道，这样调动后，大车间比小车间多（30×2+10×2）人。把调动后小车间的人数看作1倍数，则大车间的人数就是3倍数，比小车间的人数多（3-1）倍数，这（3-1）倍数正好是（30×2+10×2）人。用除法可以求出1倍数（调动后，小车间人数），加上10就得小车间原有人数。
30×2+10×2）÷（3-1）+10
=80÷24+10
=50（人）………………（小车间原有人数）
50+30×2=110（人）…（大车间原有人数）
在差倍问题中，有一类比较特殊，这就是年龄问题。年龄问题一般用差倍问题的解题思路、计算公式来分析、解答。但要注意年龄问题所单独具有的定差特点，即大、小两个年龄，相当于大、小两个数，无论现在、过去、将来，这两个年龄的差不变。抓住这个特点，再利用差倍问题的数量关系和解题方法，便可解答年龄问题。
今年哥哥18岁，弟弟8岁。问几年前哥哥的年龄是弟弟的3倍？（适于高年级程度）
解：作图
哥哥和弟弟年龄之差（
18-8）岁始终不变。把几年前弟弟的年龄看作1倍数，哥哥的年龄就是3倍数，比弟弟多（3-1）倍数，这（3-1）倍数正好对应于（18-8）岁。用除法可以求出1倍数，就是几年前弟弟的年龄，再用减法便可求出几年前哥哥的年龄是弟弟的3倍。
8-（18-8）÷（3-1）=3（年）
今年父亲40岁，儿子4岁。问几年后父亲的年龄是儿子的4倍？（适于高年级程度）
解：作图
父子年龄之差（
40-4）岁始终不变。把几年后儿子的年龄看作1倍数，父亲的年龄就是4倍数，比儿子多（4-1）=3倍数，这（4-1）倍数正好对应于（40-4）岁。用除法可求出1倍数，即几年后儿子的年龄，再用减法便可求出几年后父亲的年龄是儿子的4倍。
40-4）÷（4-1）-4
=36÷3-4
=8（年）
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