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前言
《数学益智读本》是一套供小学生开发智力的课外读物。旨在引导学生
进行科学的思维训练，在加强基础的情况下，进一步提高智力水平，培养应
用知识解决问题的能力。此书可供学有余力的小学生独立阅读，也可供教师
和家长辅导学生使用。
当前，小学数学思维训练由于受“应试教育”的影响，出现了几种不正
常的现象。第一，无限拔高。教师、家长从各处搜集许多难道、偏题、怪题
让学生完成，使学生由热爱数学变成害怕数学。第二，题海战术。让学生大
量做题，不从思维方法和解决问题的策略上进行训练，使学生感到数学乏味，
不喜欢数学。第三，学生自己读书学习的机会少。教师或家长急于求成，见
题就给学生“讲”，不给学生留出读书、学习、消化、吸收知识的空间，学
生的学习完全是被动的，影响了自主性和创造性的发挥，不利于智力的开发
和学习方法的培养。第四，只重视尖子生，忽视大多数学生智力的开发。智
力开发原本是面向大多数，让每个学生在不同层次上都得到发展。由于种种
原因，大多数学生被冷落，使数学智力训练成了尖子生的“专利”。这是不
符合素质教育要求的。
数学在智力开发，提高审美情趣，培养严谨工作态度等方面有着特殊的
功能。为了解决以上提到的许多问题，特组织全省部分优秀教研员和骨干教
师编写了这套《数学益智读本》，用以引导小学生进行科学的数学智力训练。
它的特点是：一、紧扣《九年义务教育小学数学教学大纲（试用）》的要求，
努力贴近九年义务教育小学数学教材；二、题目由易到难编排，并分成上下
两册，上册为小学中低年级学生用，下册为小学高年级学生用，既照顾不同
水平学生，又照顾年级区别，适用多数学生阅读；三、内容覆盖全面，有利
于学生多方面运用知识，全面增长能力；四、每题有思路研究，有解答过程，
便于学生采用独立或半独立方式思考问题，学习知识，特别有助于读书习惯
的培养。
本套书上下册对应，都是各分七个部分：第一部分，数的认识；第二部
分，数的计算；第三部分，几何初步知识；第四部分，代数初步知识；第五
部分，综合解答应用题；第六部分，需要加强的数学知识；第七部分，图形
欣赏。全面呈现小学数学的基本内容，以知识性、趣味性、智力性相结合的
形式，引导学生展开思维，深化知识。
由于时间仓促，水平所限，在内容安排和题目的编选上可能有疏漏和不
当之处，欢迎广大老师、家长、同学提出批评和修改意见。
编者
1998年3月
数学益智读本
一、数的认识
（一）整数的认识
1.从1开始，每隔两个数写出一个数，得到一数列：1、4、7、10、……，
问第100个数是几？
想：根据数列的特点找出规律：
第1个数：1
一个3加1
二个3加1
第4个数：10=3×3+1三个3加1
……
由上分析可知第n个数是：3×（n-1）+1。
解：第100个数是：3×（100-1）+1=298
答：第100个数是298。
2.用一个数除274余8，除128余14，这个数最大是多少？
想：这个数除274余8，能整除这个数的数则是（274—8）；除128
余14，能整除这个数的数则是（128—14），找出能被这个数整除的两个
数的最大公约数，便是题目的***。
266、144的最大公约数是2×19=38。
答：这个数最大是38。
3.小刚在计算除法时，把除数437看成457，结果得到的商是432，
余数是139。正确的商和余数是多少？
想：要求正确的商和余数，要先求出被除数，可用商和除数相乘再
加余数的方法求出被除数，再用它除以437便可得到正确的***。
解：（432×457+139）÷437
=（197424+139）÷437
=197563÷437=452……39
答：正确的商是452，余数是39。
4.a和b分别代表被除数和除数。根据下面的两个算式，求出a、b
各是多少？
a÷b=7……17
a+b=257
想：因为被除数=商×除数+余数。即，a=7b+17，而a+b=257，故
7b+17+b=257，由此可求出b，再求出a。
解：因为a=7b+17a+b=257
所以7b+17+b=257
8b＝240
b=30
a=257-30=227
5.大数是小数的2倍，而小数比大数的3倍少15。这两个数各是多
想：大数是小数的2倍，大数的3倍是小数的2×3=6倍，小数比大
数的3倍少15，即小数的（6-1）倍是15。
解：小数：15÷（2×3-1）=3
大数：3×2=6
答：大数是6，小数是3。
6.21是若干个连续的奇数中最小的一个，32是若干个连续的偶数中
最大的一个数。已知奇数和偶数共9个，它们的和是241。这几个奇数和
偶数分别是多少？
想：21是连续奇数中最小的一个，32是连续偶数中最大的一个。所
以可排列如下：
21、23、25……
32、30、28……
连续奇数、偶数的差都为2，最大的偶数与最小的奇数的和为53，
23和30的和也为53，25与28的和也为53……所以，只要看这9个数
的和241里面有几个53，这样对应的数就有几组。所得的余数，是偶数，
就放在偶数列里，是奇数就放在奇数列里。再根据241是奇数，一定是
偶数个偶数与奇数个奇数的和，判定多一个奇数。
解：21+32=53，241÷53=4……29，从21开始往后数，奇数有4
个，再添上29，从32开始往前数，偶数有4个，这9个数分别
是：21，23，25，27，29，32，30，28，26。
答：奇数是21，23，25，27，29；偶数是32，30，28，26。
1997位故可先求出1997位里面包含着几个3位，余几位，再求出所
解：（1）求出1997位里面包含多少个3位，余几位
1997÷3=665（个）……2位
（2）求出所余的2位除以3的余数
11÷3=3……2
8.把6放在一个两位数的右边，组成的三位数比原来的两位数大
294。原来的两位数是多少？
想：根据题意，形成的三位数比原来的两位数的10倍还大6，即比
原来的两位数多6倍还大6，也就是说，294是原来两位数的9倍还大6。
因此，得到下面的解法。
解：（294-6）÷（10-1）
=288÷9
=32
答：原来的两位数是32。
9.甲乙丙三数和是100，甲数除以乙数，丙数除以甲数，得数都商5
余1。求乙数是多少？
想：因甲、丙两数都与乙数有关，所以设乙数为x。根据题意可知，
甲数=5x+1，丙数=（5x+1）×5+1，再根据题中的等量关系列方程解答比
较容易。
解：设乙数为x，甲数是5x+1，
丙数是（5x+1）×5+1=25x+6，
列方程，得
5x+1+x+25x+6=100
31x+7=100
x=3
答：乙数是3。
10.一位老师把两个数交给甲，让他用减法算，又把同样的两个数交
给乙，让他用除法算。结果甲得29；乙商3差1大数不能被小数整除。
这两个数各是多少？
想：根据条件“甲得29”可知大数比小数多29；又因“商3差1大
数不能被小数整除”，可知（大数+1）后正好是小数的3倍。
解：（29+1）÷（3-1）=15（小数）
15+29=44（大数）
答：大数是44，小数是15。
11.甲乙丙三名学生定期到王老师家学习，分别隔3天、4天、6天
去一趟。他们三人在“五·一”这天正好都到王老师家。问下一次同时
到王老师家是几月几日？
想：甲乙丙三人每隔3天、4天、6天去一趟，也就是分别4天、5
天、7天去一趟，所以到下一次同时去的天数应是4、5、7的最小公倍数。
由此可以推出是几月几日。
解：4，5，7的最小公倍数140，140÷30=4……20。因为五月、七月、
八月都是大月31天，20-3=17，所以下一次同时到王老师家月份
是5+4=9，日子是17+1=18。
答：下一次同时到王老师家是9月18日。
12.有130个球，按1个红球，2个白球，3个黄球的顺序排列，最
后一个是什么颜色的球？三种颜色的球各有几个？
想：把1个红球，2个白球，3个黄球看作一组，这一组共1+2+3=6
（个）球，再根据130除以6的商和余数，判定组数和最后一个球的颜
色，并推算出各种球的个数。
解：130÷（1+2+3）=130÷6=21（组）……4（个）。由1红、2白
确定第4个是***的。
红球有1×21+1=22（个），
白球有2×21+2=44（个），
黄球有3×21+1=64（个）。
答：最后一个是***球。红色球有22个，白色球有44个，***
球有64个。
13.用1—9九个自然数，依次连续不断地排列成一个一百位数：
123……9123……9……1。这个数能否被3整除？
想：这个数能否被3整除，只要看它各位数字的和能否被3整除。
这个一百位数是用数字1—9连续不断的排列起来的，共有11组余1，只
要求出每一组的数字之和，就能知道这个数能不能被3整除。
解：100÷9=11……1，1+2+……+9=45，45×11+1=496，496不能被
3整除。可知这个数不能被3整除。
答：这个数不能被3整除。
14.一本书有45个页码，其中有一张被撕掉了，余下的各个页码的
和正好是1000，被撕掉的两个页码分别是多少？
想：可求1至45个页码的和是多少，看比1000少多少，就可得被
撕掉的页码和。
解：（1+45）×45÷2-1000
=1035-1000
=35
因为被撕掉的一张纸的两个页码应是相邻的两个自然数，因此
得到这两个页码应是17、18。
答：被撕掉的两个页码分别是17、18页。
15.有26颗棋子，甲乙两个人轮流拿。规定每次最多拿3个，最少
拿1个，并且谁拿到最后一颗为负。如果甲先拿，那么谁胜谁负？
想：一个人不论取3、2或1个，另一个取的和它相加，一定可以使
两个人每次取的总数为4。26÷4=6……2，若甲先拿一个，则剩25个，
以后不论乙怎样拿，甲再拿的棋子数一定能与乙拿的凑成4，这样最后一
个棋子必落在甲的手中。
解：甲若第一次拿1个，能够使余下的个数比4的倍数多1，则甲能
取胜。若甲先拿2个，乙拿3个，余21，则乙胜。若甲先拿3
个，乙拿2个，余21，则乙胜。
16.小光和小华做猜数游戏。小光说：“我想好了一个数，如果在这
个数的后面写上6，这个数就增加600000。你知道这个数是多少吗？”
同学，你知道是多少吗？
想：所想的数的后面添6，得到的数不但比原数扩大10倍，还多出
一个6，即（600000-6）是原数的（10-1）倍。由此便可求出原数。
解：600000-6=599994
599994÷（10-1）=66666
答：小光想的这个数是66666。
17.一本科技书，第2页上有插图，以后每隔3页配一幅插图。第26
幅插图应在第几页？
想：第2页上有插图，以后每隔3页都配有一幅插图，也就是每两
幅图的页码数相差4页，第1幅图在第2页，第2幅图应在2+4页，第3
幅图应在2+4×2页，……第26幅图应在2+4×25页。
解：2+4×25=102（页）
答：第26幅插图应在102页。
18.一篮苹果平均分给6个人，还余5个。如果把是这篮苹果个数4
倍的一大筐苹果分给6个人时，余几个苹果？
想：一篮苹果平均分给6个人余5个，一大筐苹果的个数是小筐的4
倍，分给6个人时，原来余的个数就扩大4倍是20，20个苹果再分到不
够分时，余下的数就是所求的***。
解：5×4÷6=20÷6=3……2
答：余2个苹果。
19.某市开通了号码是7位数的程控***，前三位号码是623或625。
问这个城市***号码不出现重复数字的***有多少部？
想：这个城市的***号码表示出来是：623□□□□或625□□□□。
要使每一部***号码不出现重复数字，那么0—9剩余的数字在最左边方
框可出现7个，顺次为6个，5个，4个。由此可推算出***的部数。
解：前三位是623的***部数：
7×6×5×4=840（部）
前三位是623和625一共***部数：
840×2=1680（部）
答：这个城市不出现重复数字的***是1680部。
（二）分数的认识
1.已知、、是三个最简分数（A、B、C都是自然数），如果
234
每个分数的分子都加上A，分母不变，所得到的三个新分数的和等于2
，那么C是多少？
ABC
想：因为、、都是最简分数，所以A只能是1。B可能是1或
2，C可能是1或3。可把这些数代入式中验证，确定B、C是多少。
1283C+3
121212
，所以：12+8+3C+3=26，得C=1。可知C=1符合题意。
C+11
C+11C+11
=，所以C不是自然数，不合题意。
可知B≠2。可确定只有A=1，B=1时C是1。
答：C是自然数1。
1145
2.将六个分数、、、、、分成三组，使每组两个
35845120921
分数的和相等，那么与分在同一组的那个分数是多少？
想：先求出六个分数的和，然后平均分成3份，求出分成三组后每
组两个分数的和是多少，从和里减去得到的就是与分在同一个组
的另一个分数。
）÷3=
1204
45459
答：与分在同一组的那个分数是。
3.一个分数，分子、分母的和为21，分母增加19后可约成1/4，原
分数是多少？
想：分母增加19，分子、分母的和为21+19=40，分子、分母的和
相当于分母的（1+
），可求出分母。
）=40×=32
分子：32×=8
原分母：32-19=13
原分数为：
答：原分数是。
4.分数的分子和分母都减去某一个数，约分后是，求减去的
想：原分数的分子、分母都减去同一个数，分子与分母的差不变，还
是136-73=63，而此分数约分是2/9，即分子、分母的比是2∶9，分母比
分子多9-2=7份，就是63。可求出此分子或分母，再求减去的数。
解：73-（136-73）÷（9-2）×2
=73-9×2=55
或136-（136-73）÷（7-2）×9
=136-9×9=55
答：减去的数是55。
5.将分数1/7的分子与分母同时加某个自然数，得到3/5。求此自然
想：分数1/7的分子、分母相差6，而3/5的分子、分母只差2，这
说明3/5是由一个分子、分母相差6的分数约分而得到的，因为2×3=6，
所以这个分数是3/5=3×3/5×3=9/15，再把9/15换成1+8/7+8，就可得
到结论。
解：7-1=65-3=26÷2=3
33×391+8
55×3157+8
答：分子、分母同时相加了8。
6.有一串自然数，已知第一个数与第二个数互质，而且第一个数的
5/6恰好是第二个数的1/4，从第三个数开始，每个数字正好是前两个数
的和，问这串数的第1998个数被3除所得的余数是几？
想：因为第一个数×5/6=第二个数×1/4，第一个数：第二个数=1/4∶
5/6=3∶10，又两数互质，所以第一个数是3，第二个数是10，这一串数
为：3、10、13、23、36、59、95、154、249、403、652……，被3除余
数为：0、1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2，……，按“0、1、1、2、
0、2、2、1”循环，周期为8。
解：1998÷8=249……6，所以第1998个数被3除所得余数是249，
周期段的第6个数即2。
答：余数是2。
分别去除某一个分数，所得的商都是整，这个
285620
分数最小是几？
n15
=a，÷=b，
m56
n20
÷1=c，即：×=a，×=b，×=c，其中a、
b、c为整数。
因为a、b、c为整数，所以m是28、56、20的最大公约数，n是5、
15、21的最小公倍数。
解：28、56和20的最大公约数m是4，5、15和21的最小公倍数n
是105，
=26。
8.某班学生不足50人，在一次考试中有1/7的学生得“优”，1/3
的学生得“良”，1/2的学生得“及格”，那么有多少人不及格？
想：把全班人数看作“1”，先求出不及格人数占几分之几，1-
（++）=
由于人数只能是整数，所以全班人数分别能被7、3、2、42整除，
可先求出它们的最小公倍数。
解：7、3、2、42的最小公倍数是42，正好符合不足50人，因
此，全班人数是42人。不及格人数为：42×=1（人）。
答：不及格人数是1人。
9.同时满足下列条件的分数共有多少个？
（1）大于1/6，并且小于1/5；
（2）分子和分母都是质数；
（3）分母是两位数。
想：依据题意，由于分母是两位数，且又小于，所以分子只能是
小于20的质数。
，有；
，有；
，有；
，有、；
3741
同理，当分子为11、13、17、19时，
1719
有、、、、、、。
9797
77111
答：符合条件的有13个，分别是：、、、、、、
111729371459
11131313171719
、、、、、、。
61677173899797
10.在下面的四个算式中，得数最大的是哪个算式：
）×30
2429
）×50
4147
想：原式不能直接比较，可每个算式括号内的两个分数与括号外的
整数相乘，都可提出整数2，再比较后面的分数部分。
1719
5157
429
3687
3137
4147
根据分子相同的分数，分母小的分数比较大，容易看出：（3）
的得数比其余三个的得数大，即（+
）×40的得数最大。
3137
答：得数最大的算式是：（+
）×40。
3137
AB17
=，那么A+B的和是
11333
AB17
=中，分母11和3是互质数，抓住这一特征，先将
11333
3A11B3A+11B17
+通分，然后得+
=，可求出A、B各
是多少。
解：3A+11B=17，由于A、B都是自然数，经试算得出，A=2，B=1，
A+B=2+1=3
答：A+B的和是3。
11111
12.求++++的和的整数部分是多少？
34567
想：本题不计算结果，只判断结果的整数部分，算式中的5个数1/3
最大，因此，如果把5个数都看作1/3，结果一定大于原结果，由此可作
出判断。
1111111111
+++＜++++=
3456733333
×5=1
原式结果一定小于1，故整数部分为1。
（三）小数的认识
1.从5元、2元、1元、1元、5角、2角、2角、2角、1角的人民
币里拿出7.6元，有几种拿法？
想：7.6元是7元和6角组成的，在所给的人民币里，7元的拿法有
5元+2元和5元+1元+1元两种，6角拿法有5角+1角和2角+2角+2角
两种，所以7.6元共有4种拿法。
解：有4种拿法：
5元+2元+5角+1角；
5元+2元+2角+2角+2角；
5元+1元+1元+2角+2角+2角；
5元+1元+1元+5角+1角。
2.由0、1、2三个数字组成的小数，最多能写几个？
想：先排出所有的三位数，再点上小数点，再排除不符合条件的。
解：将0、1、2三个数字排列可有六种情况：210201120102021012，
在每种排列情况的第一个数字、第二个数字后面分别点上小数
点，可得2.1021.02.0120.11.2012.01.0210.20.212.10.12
1.2十二个小数，其中2.1和1.2不是由0、1、2三个数字组成
的小数，应排除。
答：由0、1、2三个数字最多能组成10个小数。
3.用5、0、7、6四个数字最多能写出几个不读出零的小数？
想：要使小数中的零不读出来，零只能在整数部分的个位，当小数
部分只有一位时，是□□0.□的形式，当小数部分有两位时是□0.□□
的形式，其中每一种形式可写6个，共可写12个小数。
解：用5、6、7、0四个数字组成的不读出零的小数有：760.5，670.5，
750.6，570.6，650.7，560.7，50.76，50.67，60.75，60.57，
70.65，70.56共12个。
4.用6、7、8三个数字和小数点组成的小数中，个位上的数比百分
位上的数小的是哪几个？
想：题目要求我们用6、7、8三个数字和小数点组成小数，并且要
含有百分位，这样的小数整数部分只能是一位数。
解：共能组成六个小数：6.78，6.87，7.86，7.68，8.67，8.76。
从中可以找出符合题目要求的小数：6.78，6.87，7.68。
答：符合条件的数是：6.78，6.87，7.68。
5.用3、4、5、0四个数字组成的小于1和大于5，而小数部分都是
三位的小数一共有多少个？
想：小于1而小数部分是三位的小数，整数部分只能是零；大于5
而小数部分是三位的小数，整数部分只能是5。根据这两个条件先排出小
数，便得到一共的个数。
解：小于1的小数：0.345，0.354，0.453，0.435，0.534，0.543。
大于5的小数：5.034，5.043，5.304，5.340，5.430，5.403。
6+6=12（个）
答：符合条件的小数共有12个。
6.用0、1、2、3和小数点组成的小数中，零不读出来又小于30，而
且小数部分是两位的小数有几个？
想：由小数部分是两位可知整数部分也是两位，因为零不读出来，
所以零只能在个位上。小于30的小数只能是10点几和20点几，小数部
分由2、3组合或1、3组合可得。
解：符合条件的小数是：
10.23，10.32，20.13，20.31。一共4个。
答：符合条件的小数有4个。
7.四人步行，速度分别是每小时4千米、3.95千米、4.25千米、4.5
千米。已知甲比丁快，但比丙慢，丁比乙慢，甲比乙快。那么，甲、乙、
丙、丁四人的速度分别是多少？
想：要想确定甲、乙、丙、丁四人的速度可以根据题目中的条件把
四人的速度按从大到小或从小到大的顺序排列出来，然后与四个数据一
一对应即可得到结果。
解：由甲比丁快但比丙慢可知：丙＞甲＞丁，又知丁比乙慢，甲比
乙快可得乙介于甲、丁之间，即：丙＞甲＞乙＞丁。与具体数
量对应是4.5千米＞4.25千米＞4千米＞3.95千米。
答：甲的速度是4.25千米，乙的速度是4千米，丙的速度是4.5千
米，丁的速度是3.95千米。
8.a、b、c、d四人的体重分别是36.5千克、45.8千克、38.5千克、
42千克中的一个。已知a比d重，但比c轻。d比b轻，a比b重。问：
a、b、c、d四人的体重分别是多少千克？
想：把四人的体重按从大到小或从小到大的顺序排列起来，然后一
一对应得到结果。
解：用a→d表示a比d重，d比a轻。根据题义可得右图。由图可
知c＞a＞b＞d。从而得到c的体重是45.8千克，a的体重是42
千克，b的体重是38.5千克，d的体重是36.5千克。
答：a的体重是42千克，b的体重是38.5千克，c的体重是45.8
千克，d的体重是36.5千克。
9.在3.79392的某一数字上再添上一个小圆点，使新产生的循环小数
尽可能的大。这个圆点应点在哪个数字的上面？
想：根据循环小数的特点和循环节的作用推想。
解：要使新产生的循环小数尽可能大，必须使小数点后第六位上的
数尽可能大，即循环节的第一个数字尽可能大，所以这个小圆
点应点在数字9上，有两个9，应选哪一个呢？同理，必须使
循环节的第二个数字尽可能大，所以应点在第一个9上。
答：3.79392就是所要求的新的循环小数。
10.现有循环小数1.10010203，移动前一个小圆点，使新的循环小数
尽可能小，这个新的循环小数是多少？
想：根据循环小数的特点和小数比较大小的方法推想。
解：左边的数字尽可能小，则该小数就越小。而0是最小的数，因
此，新的小数是1.10010203。
答：这个循环小数是1.10010203。
11.在0.3和0.75之间，以20为分母的最简分数有多少个？
615
想：先把0.3和0.75写成以20为分母的分数和，然后写出分
2020
母是20的所有分数，从中找出符合条件的分数。
615
解：0.3和0.75写成以20为分母的分数是和。20为分母的分数
2020
91011121314
有、、、、、、、。比较知：在
2020202020202020
791113
0.3和0.75之间以20为分母的最简分数有4个：、、、。
20202020
答：符合条件的分数有4个。
12.小数2.32123212321……小数点右边第80位数字是几？
想：小数部分是3212四个数字循环，求出80除以4的余数，然后
根据余数对应看数字是几。
解：80÷4=20，没有余数，即第80位数字为3212的最后一个数字2。
答：第80位数字是2。
想：数a有1999位小数，数b有2000位小数，小数加减时，应把
小数点对齐。小数乘、除时，要注意积和商的小数位数。
二数的计算
（一）简算
1.356-23-73-27-7=？
想：一个数减去几个数，如果减数中有几个能凑成整十、整百……
的数，可把它们先相加成整十、整百数后再减。
解：356-23-73-27-7
=356-（23+7）-（73+27）
=356-30-100
=226
2.（125+219+276）-（75+119+176）=？
想：运用加减混合运算去括号或添括号性质。若干个数的和减去若
干个数的和，可以从第一个括号里的各个加数，分别减去第二个括号里
的不比它大的各个加数，然后把所得的各个差相加。
解：（125+219+276）-（75+119+176）
=125+219+276-75-119-176
=（125-75）+（219-119）+（276-176）
=50+100+100
=250
3.12.5×0.76×0.4×8×2.5=？
想：几个数相乘，如果其中两个因数的积是整十、整百……的数，
运用乘法交换律和结合律先求出它们的积，再与其它数相乘。
解：12.5×0.76×0.4×8×2.5
=（12.5×8）×（2.5×0.4）×0.76
=76
4.3.14×6.5+2.5×3.14+3.14=？
想：把最后一步加3.14看成“3.14×1”，再用乘法分配律进行简
解：3.14×6.5+2.5×3.14+3.14
=3.14×（6.5+2.5+1）
=31.4
5.72×11=？
46×11=？
68×11=？
想：两位数乘以11，它们的积等于在这个数的十位和个位数字中间
添上这两个数字的和（如果这个和大于10，那么就在十位数字上相加，
满十要进位）。
解：72×11=792（7+2=9）
46×11=506（4+6=10）
68×11=748（6+8=14）
6.61×81=？
想：末位是1的两个数相乘。可以先把两个首位数相乘，然后在所
得的结果后边添上两个首位数的和（和满十时要进位），最后再在后边
添上1。
解：61×81=48×100+14×10+1=4941
7.74×76=？
243×247=？
想：两个首位数相同，末位数和为十的两位数相乘，可以先把首位
数乘以比它大1的数，然后再在所得的结果后边添上两个末位数的积。
此法也可以推广到两个三位数。
解：74×76=（7×8）×100+4×6=5624
243×247=（24×25）×100+3×7=60021
8.16×18=？
想：两个首位是1的两位数相乘，可以把一个数加上另一个数的末
位数，将所得的结果乘以10，再加上两个末位数的积。
解：16×18=（16+8）×10+6×8=240+48=288
9.652=？
想：个位数后是5的两位数的平方，等于十位数乘以比十位数大1
的数，结果放在百位（满10向前位进1），再加25。
解：652=（6×7）×100+25=4200+25=4225
10.5×19.96+16×1.996+0.34×199.6=？
想：先根据积不变的规律变化其中两个因式，再定用乘法分配律进
行简算。因此，可得下面的解法。
解：5×19.96+16×1.996+0.34×199.6
=5×19.96+1.6×19.96+3.4×19.96
=19.96×（5+1.6+3.4）
=199.6
11.1.25×5.6+2.25×3.6=？
想：先把5.6***成0.7×8，把2.25***成为0.25×9，3.6***
成0.9×4，然后再用交换律和结合律简算。
解：1.25×5.6+2.25×3.6
=1.25×8×0.7+0.25×9×0.9×4
=1.25×8×0.7+0.25×4×9×0.9
=10×0.7+8.1
=15.1
12.1×17.6+3.6÷+2.64×12.5=？
想：此题把分数化成小数，把除法变成乘法，再把相同的因数提出
来，用乘法分配律方法简算。
×17.6+3.6÷+2.64×12.5
=17.6×1.25+36×1.25+26.4×1.25
=1.25×（17.6+36+26.4）
=1.25×80
=100
13.969696×999999÷323232÷33333=？
想：根据乘除法混合运算的性质，在乘除混合运算中，改变运算顺
序计算简便，因此，可得下面解法：运用分数除法法则除以一个数等于
乘以这个数的倒数。
解：969696×999999÷323232÷333333
×999999×
333333
=3×3
14.1999+999×999=？
想：把1999***成1000+999运用乘法分配律把999作为公因数提
出来，再用一次乘法分配律简算。
解：1999+999×999=1000+999+999×999=1000+（1+999）×999=1000+1000
×999=1000×（1+999）=1000000
1996
=？
1997
1996
这个带分数化成假分数，就可以用乘法分配律简
1997
1996
解：1996÷1996
1997
16.999×99×9=？
想：先把99***成100-1，然后用乘法分配律简算。再把9***成
10-1，再用乘法分配律简算。
解：999×99×9
=（1000-1）×99×9
=（99000-99）×9
=98901×（10-1）
=989010-98901
=890109
想：根据减法的性质，一个数分别减去若干个数，等于这个数依次
减去若干个数的和，再用乘法分配律简算，因此可得下面的解法：
=1996-（199+……+199）
=1996-199×9
=1996-199×（10-1）
=1996-1990+199
=205
18.333÷37×=？
111
”，
112
把“÷37”变成“×”，这样计算简便。
÷37×
156
561
954
19.789×456456-456×789789=？
想：把456456***成456×1001，把789789***成789×1001，这
样此题就简单了。
解：789×456456-456×789789
=789×456×1001-456×789×1001
796+796×795
=？
796×976-180
想：把976***成796+180，把795***成796-1，乘得的积再约
796+976×795
解：
796×976-180
796+（796+180）×（796-1）
796×（796+180）-180
796+796×796+796×180-796-180
796×796+796×180-180
796×796-796×180-180
796×796-796×180-180
（二）巧算
997997
×999=？
998998
想：利用乘法分配律先计算出减数的结果使之与被减数相同，此题
可口算得出结果。
997997
×999
998998
997997
×999
998998
997997
×（998+1）
998998
）×ΛΛ
）=？
想：利用乘法交换律，分别算出式中是和的因数的积及是差的因数
的积，然后再把这两个积相乘，即可得出结果。
）×ΛΛ
）×
=50×
3.3×2345+5555÷+654.3×36=？
256
×2345＋6543×3.6可
256
运用乘法分配律进行计算。5555÷可转化为5555×，约简成11
11×8×32/5，进而化简为8888×6.4，使计算简便。
解：3×2345+5555÷+654.3×36
256
256
=3×2345+6543×3.6+5555×
=3.6×8888+8888×6.4
=8888×3.6+6.4
=8888×10
=88880
4.（1+）+（1+×2）+（1+×3）+ΛΛ+
（1+×10）+（1+×11）=？
想：先把算式中的小括号全部去掉，然后运用加法交换律、结合律
及乘法分配律即可进行简算。
）+（1+×2）+（1+×3）+ΛΛ+
（1+×10）+（1+×11）
×10+1+×11
×3+ΛΛ+
×10+×11）
=11+×66
=25
5.（2000-1）+（1999-2）+（1998-3）+……+（1002-999）+（1001-1000）
想：先把小括号里的结果算出来，可知它们的差是1999、1997、
1995、……、3、1。由1～2000有2000个自然数，其中有1000个奇数
看出，1+1999=3+1997=5+1995=……=2000，这样搭配的数共有（1000÷2）
对，因此，可得下面的解法。
解：（2000-1）+（1999-2）+（1998-3）+……
+（1002-999）+（1001-1000）
=1999+1997+1995+……+3+1
=（1+1999）×（1000÷2）
=2000×500
=1000000
10×10
=？
想：观察每个括号差式中减数的结构规律可知所求的积式***有9
个因数，其数值依次为3/4、8/9、……、99/100，可按分数乘法的法则
进行计算。
10×10
=××××××××
6481100
3×8×15×24×35×48×63×80×99
4×9×16×25×36×49×64×81×100
267+1230133894
8940133124-627
想：如果把分母中的894×124与分子中的123×894变成相同的乘
积形式，则便于约分。因此，可把894×124变成894×123+894，这样分
子分母可以直接约分，使计算简便。
267+1230133894
解:
894×124-627
267+123×894
894×123+894-627
267+123×894
894×123+267
8.49÷7777772=？
想：先将除法算式转为分数形式，再根据数的***和组成的知识，
把分子和分母均改写成因数相乘的形式。约分化简后，再由1
=1,11=
121,111=12321,1111=1234321类推,111111
=12345654321.就容易求得
最后得数。
解：49÷7777772
7777772
7×7
777777×777777
1×1
111111×111111
12345654321
9.根据1+2+1=22=4，1+2+3+2+1=32=9，1+2+3+4+
3+2+1=42=16，1+2+3+4+5+4+3+2+1=52=25四式的
计算规律，求：1+2+3+……+1998+1999+1998+……+3+2+
1的和。
想：由前四式的计算结果可以发现，所求的和正好等于中间一个加
数（最大的一个加数）的平方。故得下面的解法。
解：1+2+3+……+1998+1999+1998+……+3+2+1
=19992
=3999001
1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1
88888888×88888888
想：首先将题中的分子应用加法交换律和结合律转化为加数都是8
的加法，进而改写成乘积的形式，然后约分使计算简便。
解:1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1
88888888×88888888
（1+7）+（1+7）+（6+2）+（3+5）+（5+3）+（4+4）+8
88888888×88888888
8×8
88888888×88888888
123456787654321
1×2×4+2×4×8+ΛΛ1998×3996×7992
11.
1×3×9+2×6×18+ΛΛ+1998×5994×17982
想：原式分子可***成1×2×4+（1×2）×（2×2）×（4×2）+……
+（1×1998）×（2×1998）×（4×1998），进而转化为1×2×4×（1+2
×2×2+……+1998×1998×1998）。同样道理分母***后转化为：1×3
×9×（1+2×2×2+……+1998×1998×1998）而后进行约分，计算非常
1×2×4+2×4×8+ΛΛ1998×3996×7992
解：
1×3×9+2×6×18+ΛΛ+1998×5994×17982
1×2×4×(1+2×2×2ΛΛ+1998×1998×1998)
1×3×9×(1+2×2×3+ΛΛ+1998×1998×1998)
×9）+
（3-×7）+（7-×11）=？
想：整体观察式题特点，开括号，重新恰当分组，便使计算简便。
）+（9-×5）+（1-×3）+
（5-×9）+（3-×7）+（7-×11）
=（11+9+1+5+3+7）-×（1+5+3+9+7+11）
=（1-）×（1+3+5+7+9+11）
×36
=25
13.1994+1993-1992-1991+1990+1989-1988-1987+……+10+9-8-
7+6+5-4-3+2+1=？
想：观察此题可以看出，题中每4个数的运算结果都是4，共有1994
÷4=498（组）……2，所余的2个数的和是2+1=3。此题可用下面的方法
解：1994+1993-1992-1991+1990+1989-1988-1987+……+10+9-8-
7+6+5-4-3+2+1
=4×（1994÷2）+（2+1）
=4×498+3
=1992+3
=1995
=？
想：此题是以41作分母的所有真分数求和的式题，真分数的个数是
分母减一。从首尾向中间数，总是两两相对的数和为1。因此可用“个数
折半”的方法巧算分数加法。
++……+
41-1
=20
111111
15.+++++=？
2612203042
想：题中分数的分子均为1，分母是两个连续自然数之积，即：1×2、
2×3、3×4、……6×7。像这类形式的分数可以***成两
个分数之差，如=
=-。这样，把每个分数作恒等变形之
123×434
后，可使计算简便。
111111
++++
2612203042
1×22×33×44×55×66×7
=（1-）+（-）+（-）+（-）+
（-）+（-）
11111111111
=1-+-+-+-+-+-
22334455667
=1-
=？
1×33×55×7
11×13
想：这是一道求分子为1，分母是两个连续奇数的积的分数的和的题
目。关键是把一个分数***成两个分数相减的形式，从而消去许多分数
使计算简便。
+……+
11×13
2226
2226
226
）-
11121314
）=？
111213
1111
++分别出现□两次，如果用字
11121311121314
母a、b分别表示这两个算式就很容易计算出结果。
1111
=b，代入原式得：
11121314
1111
++）-
11121314
111
+）
111213
=（+a）×b-（+b）×a
=b+ab-a-ab
×（b-a）
11111
++---）
11121314111213
×=
1014140
19+3-5.22
1993×0.41.6
19-6+5.22
想：这是一道复杂的计算题，先看被除式这个繁分数，如果分子中
的3-5.22与分母中的5.22-6
相等，则被除数为1。这里，则被除
数为1。这里，3
-5.22=
5.22-6。再看除式中数据的特征，可应用分数的基本性质使第一
个加数的分母变为1995，再把1.6写成2×0.8，使计算简便。
19+3-5.22
1993×0.41.6
19-6+5.22
19+3-5.22
1993×0.4×22×0.8
19+5.22-6
0.8×1993+2
=1÷
1995
=1÷0.8
=1.25
19.1×2×3×4×5……×99×100的积的末尾有多少个0？
想：因为2×5=10，这样含有一个2和一个5，乘积末尾就会有一个
0。因此，只要观察这100个因数中一共含有多少个2和5。又知，在这
100个因数中，含2个的数一定多于5的个数，所以只需知道乘积中含有
5的个数，就可知积的末尾连续0的个数。
解：这100个因数中是5的倍数的有5、10、15……95、100共有20
个，其中25、50、75、100又是25的倍数，各有两个5。所以乘
积***有5的个数是20+4=24（个）。因此，乘积的末尾共有24
个连续的0。
（三）巧妙填数
1.把2、3、4、5、6、7各数字分别填在下面的□里，使组成的减法
算式得的差最大。
□□□
-□□□
想：要使组成的两个三位数的差最大，被减数应取较大的三个数，
百位数为最大数，十位、个位其次。减数应取较小的三个数，百位数为
最小，十位、个位其次。
解：被减数为765，减数为234，差最大是531。
765
-234
531
2.把1～9这九个数字填入下面算式的九个方框中（每个数字只用一
次），使三个三位数相乘的积最小。□□□×□□□×□□□=（）
想：要使乘积最小，就要使三个三位数的百位数字最小，十位数字
较小，依次为个位数字。
解：三个三位数的百位数字应为：1、2、3，十位数字应为：4、5、
6，个位数为：7、8、9，至于这三个三位数百位数字、十位数字、
个位数字如何搭配，经验证为：147×258×369的积最小为
13994694。
3.在□里填上适当的数。
（13-□×4）×15-10=5
想：依据运算顺序，用逆推法逐步推想。
解：（13-□×4）×15-10=5
（13-□×4）×15=15
13-□×4=1
□×4=13-1
□×4=12
□=3
4.算式中的字母A表示数字几？
×7A
6396
想：从算式看，这是一道两位数乘两位数的乘法，由2与A相乘积
个位数是6，确定A可能是几。然后再验证。因此，可得下面解法。
解：由上述分析可知，2与A相乘的积的个位数是6，可得A表示3
或8。（因为32×73≠6396，又因为A×7最高位是63，确定A
可能是8或9，可确定A=8，而82×78=6396，所以可以确定A
表示8。
5.下面乘法算式中，每个字母表示一个不同的数字，请写出原式。
想：根据一位数乘多位数乘法的计算法则逐步推理，易知***。因
此，可得下面解法。
解：两个相同数字相乘积为1，即H×H=1只有两种情况：1×1或9
×9，显然H=1不符合要求，确定H=9。要使9×G+8的个位数字
是1，9×G的个位数字是3，从而得出G=7。
以同样方法类推，可知“F=6，E=5，D=4，C=3，B=2，A=1”即原式
6.在下面算式中的框里填上适当数，使算式成立。
想：从算式上看，这是一道两位数乘两位数的乘法，从积的个位数
字是1入手，即可得解。
解：因为b×a=□1，所以只有3×7或9×9经试算9×9不成立，只
有：
7.在方框里填上连续五个自然数。
□+□+□+□+□=25
想：本题根据自然数的特征来解，因此可得下列解法。
解：设中间一个自然数为n，那么这五个连续自然数为：n-2，n-1，
n，n+1，n+2，
则：n-2+n-1+n+n+1+n+2=25
5n=25
n=5
所以：3+4+5+6+7=25
8.填□。
□□×□□=7821
想：从算式上看7821是两个两位数相乘的积，把7821***质因数
即可。因此，可得下列解法。
解：因为7821=2×17×23所以，一组数为：2×17=34和23另一组
数为：2×23=46和17。
9.12□4×16的结果是9的倍数，□应该是几？
想：由于两个因数的积是9的倍数，而16又不能被9整除，所以被
乘数12□4必能被9整除，根据能被9整除的数的特征，可推出***。
解：由以上分析可知，12□4要能被9整除各位数字的和能被9整除，
则□=2。
10.在□中填上适当的数，使下面这个数是五位数中75的倍数中的
最大的一个。3□6□5
想：本题根据一个数能被75整除，必须能被3和25整除推想。
解：这个五位数能被75整除，必能被25和3整除。又因为这个数
末位数是5，所以它的末两位数只能为25或75，当末两位数是
25时，因为这个数要能被3整除，所以它的各位数字之和能被
3整除，经验证，它的千位数上只能是2、5、8，而这些五位数
最大的一个是38625。同理末位数为75时，最大的五位数为
39675。因而满足条件的最大的一个是39675。
11.下面三个式子的和、差、商相加的和是11，x表示什么数？
想：由加法、减法、除法的运算性质可知x+x=2x，x-x=0，x÷x=1，
再根据和、差、商相加的和是11，即可得出x的值。
解：因为x+x=2x
x-x=0
x÷x=1
又因为2x+0+1=11
2x=10
x=5
所以x表示5。
12.下面的两个算式中，当△和□各表示多少时，等式才成立？
△÷□=15……4（1）
△+□=196（2）
想：根据有余数的除法各部分间的关系，用代换法解，因此，可得
下列解法。
解：因为：被除数=商×除数+余数即：
由（1）得△=15×□+4（3）
把（3）代入（2）得：
15×□+4+□=196
16×□=196-4
16×□=192
□=12
把□=12代入（2）得：
△+12=196
△=184
13.在□里填上适当的数300÷□=a……d262÷□=c……d205÷□
=b……d（a、b、c分别为商，d为余数）
想：因为一个自然数分别除两个整数时，如果余数相同，那么这个
自然数一定能整除这两个整数之差，因此，所求数应为两个差的公约数。
解：由分析可知：300-262=38，262-205=57。而38与57的公约数
有1和19，并且只有19分别除300、262、205时有相同的余数。
所以，所求数是19。
14.将1～7这七个数字分别填在○内，使每条线上三个数的和等于
想：根据题意，可把中间填上7，然后每两数一组凑7，便可填出此
解：中间填7。剩下的6个数分组凑7。
1+6=72+5=73+4=7
然后分组填在同一直线上的圆圈内。
15.在除法竖式的方框中填上适当的数。
想：应从商3入手来判断除数是几，判断除数是几时运用排除法，
逐步排除不符合条件的除数，即可确定除数。
解：因为“4□÷1□”正好商3而没有余数。而10、11、12、13、
17、18、19乘以3都不可能等于“4□”。所以除数只能是14、
15、16三种可能。如果除数是14，因为“9□÷1□”余数为4，
14×6+4=88，14×7+4=102，都不是“9□”，所以除数不是14，
又根据16×5+4=84，16×6+4=100可知除数也不能是16。所以，
推知：除数是15，即：
三几何初步知识
（一）图形的认识
1.下面几个图形中，有一个与其他的图形不同。请用波线标出来。
想：前三个图形都是由线段围成的，只有第四个图形是由曲线围成
的，应把它标出来。
解：
2.下面几个图形中，有一个与其他图形不同。请用波线标出来。
想：前三个图形都是平面图形，第四个图形是立体图形，应把它标
解：
3.在一张长6厘米，宽5厘米的长方形纸上，画一个最大的圆，它
的直径应该是多少？
想：在这张纸上画最大的圆，圆周应完全贴近长方形纸相邻的三个
边。由此看出，它的直径就是长方形纸的宽。
解：画图如下：
答：圆的直径是5厘米。
4.有两只蚂蚁以同样的速度同时从A点出发向B点爬行（如图），
一只沿大圆弧爬，另一只沿三个小圆弧爬。哪一只先爬到B点？
想：由题意可知，此题就是比较大圆弧和三个小圆弧的长短，因此
想办法表示出它们的长度，然后比较就可以了。
解：设小半圆弧直径为d，三个小半圆弧的总长是：πd/2×=3πd/2；
大半圆弧的直径为3d，它的长度是：
π·3d/2=3πd/2；
因为3πd/2=3πd/2，说明两条路同样长。
答：两只蚂蚁同时到达B点。
5.一个三角形最小的一个角是45°，这个三角形是什么样的三角
想：先假定有一个角与这个角同样大，看出现什么情况，然后推倒
这个假定就会得出结论。
解：假定在这个三角形中还有一个角是45°，这个三角形恰好是直
角三角形。但条件是另一个角大于45°，那么第三个角肯定不
够90°。因此，这个三角形是锐角三角形。
6.一个扇形的半径是ｒ厘米，圆心角是90°，它的周长是多少？（用
字母表示）
想：它的周长应包括1/4圆弧和两条半径。
解：2πr/4+2r=πr/2+2r=（1/2π+2）·r
答：它的周长是（1/2π+2）·r厘米。
7.一个长方体截成了两个完全相同的正方体，每个正方体的棱长之
和是24厘米，长方体的棱长之和是多少厘米？
想：这个长方体的长和宽是相等的，都等于截成的正方体的棱长。
长方体的高相当于2个截成的正方体的棱长，由此可推算出长方体棱长
解：截成正方体棱长：
24÷12=2（厘米）
长方体的长：
2×2=4（厘米）
长方体棱长之和：
2×8+4×4=16+16=32（厘米）
答：长方体棱长之和是32厘米。
8.有一个正方体木料棱长是40厘米，要镟出一个最大的圆柱形模
具，模具的体积是多少？
想：圆柱模具的底面直径是40厘米，高也是40厘米，由此便可求
出它的体积。
解：圆柱模具的底面积：
3.14×（40/2）2=3.14×400=1256（平方厘米）
圆柱模具的体积：
1256×40=50240（立方厘米）
答：圆柱形模具的体积是50240立方厘米。
9.一个圆锥形模具，底面周长是12.56分米，高是6分米。沿高竖
直锯成形状、大小完全相同的两部分。表面积增加多少？
想：锯开后，增加两个三角形的面，只要求出这两个面的面积和，
问题即可解决。
解：锯开三角形面的底：
12.56÷3.14＝4（分米）
锯开三角形面的面积：
4×6÷2＝12（平方分米）
增加的面积：
12×2＝24（平方分米）
答：表面积增加24平方分米。
10.一个正方体木块，六个面上分别写着A、B、C、D、E、F，从三个
不同的角度观察结果如下图。这个正方体木块每两个相对的面上的字母
怎样相对？
(3)
想：通过观察图中标出的字母，可以用排除法根据相邻的关系推出
相对的字母。
解：由（2）（3）图可以看出A的对面不是B、C、D、F，只能是E，
由（1）（2）图可看出D的对面不是A、C、E、F，只能是B。
同样由（1）（3）可知，C的对面是F。
答：字母A和E相对，B和D相对，C和F相对。
11.下图中有四个正方体，只有一个是用右边的纸片折叠而成的，请
指出是哪一个？
想：在右面的展开图中，由于△与·在一条直线上且与o有边相连，
所以折叠后△与·处于相对的面的位置。又根据展开图的特点可以看出，
从任一顶点观察必能且只能看到△与·其中一个，这样我们就可以用排
除法找出***。
解：展开图折叠后，从一个顶点不可以同时看到△o·三个面，故排
除A。又因为△与·是相对的面，不会相邻，故排除B，最后，
不论从哪个顶点观察都可看到△或·中的一个，而C没有，故
排除C，所以只有D符合要求，因此，用右边的纸片可以折成正
方体D。
12.右图由六个正方形组成，将它们折叠可以组成一个正方体，正方
体的表面编数码为1、2、3、4、5和6。有3个面上的数字漏写了。如果
每一对面上的数相对的和都是7，求K的值。
想：想象一下折叠成的正方体，如果K处于上面的话，3正好与K
相对处在下底面。
解：K＝7－3＝4
答：K=4。
13.如图所示，一个正方体从每个顶点处被切掉了相同的一块，得到
一个新的立体图形，这个图形共有多少条棱？
想：正方体原有12条棱，每切掉一块就增加3条棱，每个顶点处都
切掉一块，一共切掉8块。由此可推算出总条数。
解：12＋3×8＝12＋24＝36（条）
答：这个图形共有36条棱。
14.用红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色分别涂在相同的小正方体木
块的六个面上，每个小正方体木块的涂色方式完全一样。现在用四块拼
成一个较大的长方体模型（如图）。红面对着什么面？黄面对着什么面？
黑面对着什么面？
想：应从图中出现最多的红面入手从红面的四个邻面，可推出它的
对面。然后，再分析黄面的邻面，推出对面。最后，确定黑面的对面。
解：由红面的邻面是黄、黑、白、蓝四色面，可推知它的对面是绿
面。由黄面的邻面是红、黑、白三色面，又不可能对绿面，可推
知对着蓝面。最后确定黑面一定对着白面。
答：红面对绿面，黄面对蓝面，黑面对白面。
15.下面图形中的正方形大小都一样，哪一个可以拼成一个正方体？
解：可依图裁出纸样，经实际操作可知图（1）能拼成一个正方体。
答：图（1）能拼成一个正方体。
（二）数图形
1.右图***有多少个点子？
想：直接数点子太难，可把这个六角星形的图形***为一个大平行
四边形和四个小三角形（如右图），就很容易数出点子的个数。
解：大平行四边形中点子的个数：
5×5＝25（个）
四个小三角形点子的个数：
3×4＝12（个）
点子的总个数：
25＋12＝37（个）
答：共有37个点子。
2.下图是一个正方形钉子板的示意图，16个黑点子表示16颗钉子，
以这些点为顶点，用皮筋围正方形，一共可以围成多少个大大小小的正
想：先按数线段的方法，用边长所含最短线段的几种情况，算出正
正当当放置的正方形个数。再数斜着围成的正方形个数。
解：平正放置的正方形个数：
9＋4＋1＝14（个）
倾斜放置的正方形个数：
4＋2＝6（个）
一共含有正方形个数：
14＋6＝20（个）
答：一共可以围成大大小小20个正方形。
3.图中有几种几何图形？各有多少个？
想：先分清有几种几何图形，再按基本的数图形的方法数出各自的
解：图中有三角形，平行四边形和梯形。
三角形个数：
单个三角形个数十四个小三角形组成的三角形个数＝8＋2＝10
（个）
平行四边形个数：
两个三角形组成平行四边形个数十四个小三角形组成的平行四
边形个数＝10＋4＝14（个）
梯形的个数：
三个小三角形组成梯形个数十五个小三角形组成梯形个数十最
大梯形个数＝10＋1＋1＝12（个）
答：图中有三角形、平行四边形和梯形三种几何图形，它们分别
有10个、14个和12个。
4.下图中含有☆的长方形有多少个？
想：为了不重复不遗漏，可由小到大，由内向外数。
解：中间竖着数4个，中间横着数3个，拐角数4个，上下左右各
大半部的4个，最大的1个。
合起来是4＋3＋4＋4＋1＝16（个）。
答：符合条件的长方形有16个。
5.右图是由九个边长为1厘米的小正方形组成的大正方形。
（1）图中面积为1/2平方厘米的三角形有几个？
（2）图中面积为1平方厘米的三角形有几个？
想：利用等底等高面积相等的道理，分类进行观察。
解：面积为1/2平方厘米的三角形有4个。
面积为1平方厘米的三角形有10个。
6.下图，BC与AD平行，BD与AE平行，AB与EC平行。找出与三角
形ABC面积相等的三角形？
想：找与三角形ABC面积相等的三角形，也就是找与三角形ABC等
底等高的三角形。为了解决好这个问题，应充分利用三组平行线的条件
解：三角形BDC与三角形ABC同底等高，三角形AEB与三角形ABC
同底等高，三角形AED与三角形AEB同底等高，三角形BDC、
AEB、AED符合要求。
答：三角形BDC、AEB、AED与三角形ABC面积相等。
7.下图中，大正方形是由9个面积相等的小正方形组成。以不在同
一直线上的三个顶点组成三角形，这些三角形中有多少个与阴影三角形
面积相等？
想：找与阴影面积相等的三角形，实际就是找与它等底等高的三角
形。为了方便，可分不同类型进行研究。
解：把大正方形边长看作3，小正方形边长就是1，那么阴影三角形
面积为3个面积单位。
（1）边长是2，高是3的三角形个数：
4×2×4＝32（个）
（2）边长是3，高是2，与（1）重复的不计入，个数是：
8×2＝16（个）
合起来是：32＋16＝48（个）
答：有48个三角形与阴影三角形面积相等。
8.下图是一个棋盘，将一个白子和一个黑子放在棋盘线交叉点上，
但不能在同一条棋盘线上，共有多少种不同的放法？
想：黑子确定一个位置，白子就有6个不同的放法。而黑子总共有
12个不同的位置，由此，便可推算出一共的放法。
解：12×6＝72（种）
答：共有72种不同的放法。
9.下图中有多少个长方形？多少个正方形？多少个三角形？
想：由外向里，从第二个和第四个正方形中数长方形个数。仍从第
二和第四个正方形中数正方形个数，并加上四层的正方形。由内两层正
方形和外两层正方形数三角形个数，再加上二、三两层正方形形成的三
角形个数。
解：长方形个数：4＋4＝8（个）
正方形个数：4＋4＋4＝12（个）
三角形个数：20＋20＋4＝44（个）
答：有8个长方形，12个正方形，44个三角形。
10.下图***有多少条棱？
想：前后相对面棱数同样多；上下面数时，要想到看不见一条棱。
解：前后面上棱的条数：6×2＝12（条）
上下面棱的条数：5＋1＝6（条）
合起来的条数：12＋6＝18（条）
答：共有18条棱。
11.下图中还差多少个小正方体可以组成一个较大的正方体？
想：先从整体上考虑组成一个较大的正方体需要多少个小正方体，
再数出已有的小正方体的个数，便能得出相差的个数。
解：组成较大的正方体需要的小正方体个数：
3×3×3＝27（个）
已有小正方体个数：
9＋6＋3＝18（个）
还差正方体个数：
27－18＝9（个）
答：还差9个小正方体可以组成一个较大的正方体。
12.右图是一个正方体木块，在它的表面涂上颜色，然后沿图中虚线
竖直切开。没有涂颜色的面共有几个？
想：先分析能切成多少块，再考虑每块上有几个面没涂颜色。
解：2×8＝16(个）
答：没有涂颜色的面共有16个。
13.右图是一个正方体木块，在它的每个面上挖出一个小的正方体木
块。表面增加多少个小正方形的面？
想：挖去一个小正方体就增加5个小正方形的面，一共挖去6个小
正方体。
解：5×6＝30（个）
答：增加30个小正方形的面。
14.右图画的是一个边长4厘米的正方体木块。在它的表面涂上颜
色，然后切成边长是1厘米的小立方体木块，没有涂颜色的有多少块？
想：先求出一共分成的块数，再去掉涂颜色的块数，就得到没涂颜
色的块数。
解：一共分成的块数：
4×4×4＝64（块）
涂色的块数：
（4×4＋8＋4）×2＝56（块）
没有涂颜色的木块：
64－56＝8（块）
答：没有涂颜色的有8块。
15.右图是由125块大小相同、黑白相间的小正方体木块拼成的大正
方体模型。露在外面的黑色小正方体木块共有多少块？
想：为了方便，分别数三个面、两个面和一个面露在外面的黑色小
正方体木块的块数，然后计算总和。
解：顶点上的块数：8块，
棱上的块数：12块，
面上的块数：5×6＝30（块），
合起来是：8＋12＋30＝50（块）。
答：共有50块。
16.右图是一个足球图。已知足球上有12块黑色皮子，白色皮子有
多少块？
想：每块黑色皮子与5块白色皮子相邻，可累计计算出60块白色皮
子。但每块白色皮子与3块黑色皮子相邻，这就是说每块白色皮子被计
算了3次。由此可知，白色皮子为20块。
解：5×12÷2
＝60÷3
＝20（块）
答：白色皮子有20块。
（三）图形计算
1.如图。圆的周长是16.4厘米，且圆的面积和长方形面积相等。图
中阴影部分的周长是多少厘米？
＝长×r”，知长
πr
方形的长==πr，两个长是2πr，正好是一个圆周。看图可知，阴影
部分周长＝1/4圆周长＋1个圆周长。
解：1/4×16.4＋16.4
＝4.1十16.4
＝20.5（厘米）
答：阴影部分周长是20.5厘米。
2.求下图中阴影部分的面积。
想：把长方形分成左右相等的两个正方形（如下图），然后重叠、
旋转，两个阴影部分正好组成一个正方形，可直接计算出面积。
解：10÷2×5
=5×5
=25（平方厘米）
答：阴影部分的面积是25平方厘米。
3.如下图，正方形ABCD边长2厘米，分别以A、C为圆心，以边长
为半径画弧，求阴影部分的面积。
想：连结起BD，就可看出阴影一半的面积是一个90°扇形与一个三
角形的面积相差的部分。求出一半，即可求出整个阴影面积。
解：90°扇形面积：
3.14×22÷4
=3.14（平方厘米）
三角形面积：
2×2÷2=2（平方厘米）
阴影部分面积：
（3.14－2）×2
=1.14×2
=2.28（平方厘米）
答：阴影部分的面积是2.28平方厘米。
4.如下图，空白处表示的是一个地面所缺的方砖数。如果每块方砖
面积是4平方分米，所缺方砖的面积是多少？
想：求缺少方砖的面积，必须知道缺少方砖的块数。空白部分不便
数，我们可有规律地数出未缺少的方砖的块数。从总块数中去掉未缺少
的块数，即是缺少的块数。
解：未缺少方砖块数：
7×3＋4＋1＋3＋6＝35（块）
缺少方砖块数：
7×7－35＝49－35＝14（块）
缺少方砖的面积：
4×4＝56（平方分米）
答：缺少方砖的面积是56平方分米。
5.用同样大小的22个小长方形纸片摆成下面的图形。已知小纸片的
宽度是12厘米，求阴影部分的面积。
想：小阴影正方形的边长等于小纸片长和宽的差。求出小纸片的长
是解决问题关键。从图中可以看出：3个纸条的长和3个纸条的宽合起来
等于5个纸条的长。由此可知，2个纸条的长等于3个宽，便可求出纸条
的长度，使问题得到解决。
解：长方形纸条的长：
12×3÷2=18（厘米）
小正方形阴影的边长：
18－12＝6（厘米）
阴影部分的面积：
6×6×3＝108（平方厘米）
答：阴影部分的面积是108平方厘米。
6.如右图，大正方形的边长是7厘米，4个相同的长方形的宽是2.5
厘米。阴影部分是一个小正方形，它的面积是多少？
想：从图中可以看出，阴影正方形的边长等于大正方形的边长去掉
两个长方形的宽，求出阴影正方形的边长，便可直接得出面积。
解：阴影正方形的边长：
7－2.5×2
=7－5
=2（厘米）
阴影正方形的面积：
2×2=4（平方厘米）
答：阴影部分的面积是4平方厘米。
7.如下页上图，一个长方形被两条直线分成了四个小长方形，边长
单位是厘米。其中三个的面积分别是28平方厘米、12平方厘米和6平方
厘米。第四个长方形面积是多少？
想：由图形的形状和面积数，估计左上较大长方形的长和宽可能是7
厘米和4厘米；左下长方形的长和宽可能是4厘米和3厘米。试算能确
定这两个长方形的公共边是4厘米，左上长方形的长是7厘米。同样方
法，可确定右下长方形的宽是2厘米。由对边之间相等关系，便可求出
第四个长方形的面积。
解：由28=4×7，12=4×3试算，知第四个长方形
长是7厘米。
由12=4×36=3×2试算，知第四个长方形
的宽是2厘米。
第四个长方形面积：
7×2=14（平方厘米）
答：第四个长方形面积是14平方厘米。
8.右图中每个小方格的面积是1平方厘米。
（1）用实线在方格纸上画出面积是5平方厘米的正方形。
（2）用实线在方格纸上画出面积为10平方厘米的正方形。
想：要画5平方厘米的正方形，肯定不能全画整格的，因此四个边
上要画成三角形，而且形状面积完全相同。由此确定，四周用两格画对
角线的方法，找到面积是1平方厘米的三角形的斜边围成正方形。要画
10平方厘米的正方形，用上面的思路，四周用在三格内画对角线的方法，
围成正方形。
解：
左图面积：
1×2/2×4+1=5（平方厘米）
右图面积：
1×3/2×4+4=10（平方厘米）
两图符合要求，即为所求的图形。
9.下页上图是一个棱长为6厘米的正方体木块，在它六个面的中心
分别挖去一个棱长2厘米的正方体木块，做成一个模具。这个模具的表
面积是多少？
想：每挖一个方孔就增加4个2×2=4（平方厘米）的表面积，考虑
到上面这个条件，就容易求出这个模具的表面积。
解：挖方孔共增加的表面积：
2×2×4×6=96（平方厘米）
这个模具的表面积：
6×6×6+96=216+96=312（平方厘米）
答：这个模具的表面积是312平方厘米。
10.一个棱长是4厘米的正方体钢块，在它的上面、前面、右面的中
心向对面各打一个边长2厘米的方孔。求穿孔后钢块的体积。
想：打一个孔去掉的体积是（2×2×4）立方厘米，但因三个孔在钢
块中央重复通过，计算体积时要去掉两个（2×2×2）立方厘米的体积，
才能准确求出穿孔后钢块的体积。
解：打一个孔去掉的体积：
2×2×4=16（立方厘米）
打3个孔去掉的体积：
16×3-2×2×2×2=48-16=32（立方厘米）
打孔后钢块的体积：
4×4×4-32
=64-32
=32（立方厘米）
答：穿孔后钢块的体积是32立方厘米。
11.下图是由14个边长为1分米的小正方体组成的图形，它的表面
积是多少平方分米？
想：要求它的表面积，实际就是数出这个图形中小正方体露在外面
正方形面的个数。
解：前后左右小正方形面的个数：12+8+4=24（个）上下小正方形面
的个数：9×2=18（个）图形表面积：
24+18=42（平方分米）
答：这个图形的表面积是42平方分米。
12.如下图，由19个边长是2厘米的小正方体组成的立体图形。它
的表面积是多少？
想：要求它的表面积，实际是数清楚它露在外面有多少个小正方形
的面，再计算出这些面的总面积。上下各有9个小正方形面，前后各有
10个小正方形的面；左右各有8个小正方形的面，合起来一共是46个小
正方形的面。由此便容易求出这个立体图形的表面积。
解：大立方体表面包含小正方形面的个数：
9×2+10×2+8×2
=18+20+16
=54（个）
大立方体的表面积：
2×2×54=216（平方厘米）
答：它的表面积是216平方厘米。
13.有一个高是1.5分米的圆柱体，横截成两个小圆柱体，表面积增
加了1.6平方分米，原来圆柱体的体积是多少？
想：横截成两个小圆柱体，表面积实际增加了两个底面的面积。由
此可求出原来圆柱体的底面积，进而可求出它的体积。
解：1.6÷2×1.5=1.2（立方分米）
答：原来圆柱体的体积是1.2立方分米。
14.有一块长20厘米，宽14厘米的长方形薄铁板，在它的四个角上
各剪去一个边长为5厘米的正方形。然后把它折成一个无盖的铁盒，铁
盒的容积是多少毫升？
想：根据条件知道，折成铁盒后里面的长是（20-5×2）厘米，宽是
（14-5×2）厘米，高是5厘米。由此便可求出它的容积。
解：折成铁盒里面的长是：
20-5×2=20-10=10（厘米）
折成铁盒里面的宽是：
14-5×2=14-10=4（厘米）
铁盒的容积是：10×4×5=200（立方厘米）
200立方厘米=200毫升
答：铁盒的容积是200毫升。
15.一个圆柱形水桶的底面内半径是20厘米，里面水深35厘米。把
一个底面半径是10厘米的圆锥形钢块全部浸入水中，桶里的水面升高到
37厘米。圆锥形铁块的高是多少？
想：水升高部分的体积就是圆锥形钢块的体积，由已知条件再求出
它的底面积，进一步便可求出它的高。
解：水桶里水升高部分的体积：
3.14×202×（37-35）=3.14×400×2
=2512（立方厘米）
圆锥形钢块的底面积：
3.14×10=3.14×100=314（平方厘米）
圆锥形钢块的高：
2512×3÷314=24（厘米）
答：圆锥体钢块的高是24厘米。
16.有一个棱长是4厘米的立方体木块，从它的右上角割去一个长4
厘米，宽2厘米，高1厘米的长方体木块（如图），那么剩下部分的表
面积是多少平方厘米？
想：割去一个长方体木块后，表面积只减少了这个小长方体木块前
后两个小长方形的面积。由此，便容易求出大立方体木块割去一个小长
方体木块后的表面积。
解：大立方体木块表面积：
4×4×6=96（平方厘米）
剩余部分的表面积：
96-2×1×2=96-4=92（平方厘米）
答：剩下部分的表面积是92平方厘米。
17.用铁皮做一个如下页图的一个无底无盖的圆筒，需要多少平方厘
米铁皮？
想：若用两个同样的铁筒接成一个大的圆柱形铁筒，求出它的一半
的表面积，即为所求的铁皮大小。
解：两个如图的圆筒接成的大圆柱铁筒的底面周长：
3.14×15=47.1（厘米）
这个大圆柱铁筒的高：
54+46=100（厘米）
所求的铁皮的面积：
47.1×100÷2=2355（平方厘米）
答：做这个铁筒需要2355平方厘米铁皮。
四代数初步知识
便于用字母辅助解答的应用题
1.更新手表厂原计划14天生产手表1680只，实行生产承包责任制
后，每天比原计划多生产，这样实际只需几天就能完成任务？
想：设实际只需x天就可完成任务，由题目可知实际每天生产手表
×（1+）只。根据“工作效率×工作时间=工作总量”可列方
解：设实际需要x天完成任务。
×（1十）x=1680
120·x=1680
1680
168
x=10
答：实际只需要10天就可完成任务。
2.一条公路，第一天修了全长的30％，第二天比第一天多修4千米，
第三天修了12千米，正好修完。问这条公路有多长？
想：若设公路全长x千米，那么第一天修30％x千米，第二天修（30
％x+4）千米。
解：设公路全长x千米。
30％x+（30％x+4）+12=x
0.3x+（0.3x+4）+12=x
0.6x+16=x
0.4x=16
x=40
答：公路全长40千米。
3.有两筐桃，个数同样多，从甲筐取出50个，从乙筐取出94个后，
乙筐内桃的个数是甲筐的1/3。原来每筐有桃多少个？
想：可设每筐有桃x个。取出若干个桃后，甲筐剩（x-50）个，乙
筐剩（x-94）个。
解：设原来每筐有桃x个。
x-94=（x-50）
150
x-94=x-
232
x=116
答：原来每筐有桃116个。
4.一桶油连桶共重50千克，将油倒出1/3后，剩下的油的重量是桶
重量的4倍。这桶油净重多少千克？
想：若设这桶油净重x千克，那么桶重就是（50-x）千克，将油倒
出后，剩下的油是（1-
）x千克。
解：设这桶油净重x千克。
（1-）x=4（50-x）
+4x=200
x=42
千克。
5.有两缸金鱼，如果从第一缸内取出15尾放入第二缸，这时第二缸
内的金鱼数正好是第一缸的。已知第二缸内原有金鱼35尾，第一缸内
原有金鱼多少尾？
想：可设第一缸内原有金鱼x尾，取出15尾放进第二缸后，第一缸
内还有金鱼（x-15）尾，第二缸内有金鱼（35+15）尾。
解：设第一缸内原有金鱼x尾。
（x-15）×=35+15
x-15=70
x=85
答：第一缸内原有金鱼85尾。
6.甲、乙两地相距475千米，客车和货车同时从两地相对开出。已
知货车每小时行45千米，货车与客车的速度比是9∶10，经过几小时两
车才能相遇？
想：可设经过x小时两车相遇。由两车速度比是9∶10，可知客车
速度为45×千米/时。
解：设经过x小时两车相遇。
（45+45×）x=475
95x=475
x=5
答：经过5小时两车才能相遇。
7.甲、乙两队合修一条公路，甲队每天修这条路的，乙队每天修
300米，4天修完，甲队每天修多少米？
想：如果设甲队每天修x米，那么公路总长为10x米。
解：设甲队每天修x米。
4x+300×4=10x
6x=1200
x=200
答：甲队每天修200米。
8.一列快车从甲地到乙地需要3小时，一列慢车从甲地到乙地需要5
小时，快车每小时比慢车多行24千米。这两地之间的距离是多少千米？
想：可设两地之间的距离是x千米，则甲每小时行千米，乙每小
时行千米。根据题意可列方程。
解：设两地之间相距x千米。
-=24
=24
x=180
答：甲、乙两地之间的距离是180千米。
9.一轮船在甲、乙两地之间往返航行，水流速度是每小时3千米，
顺水航行需6小时，逆水航行需8小时。甲、乙两地之间的距离是多少？
想：可设两地之间相距x千米，则轮船顺水速度是每小时千米，
逆水速度是每小时千米。这两个速度相差2个水流速度。
解：设甲、乙两地之间的距离是x千米。
-=3×2
x=144
答：甲、乙两地之间的距离是144千米。
10.甲、乙两汽车同时从同一地到另一地，甲的速度是每小时50千
米，乙的速度是每小时75千米，结果甲比乙晚到2小时。这两地间的距
离是多少千米？
想：可设两地间的距离是x千米，则甲行全程需小时，乙行全程
需小时。两个时间相差2小时。
解：设两地间的距离是x千米。
-=2
5075
150
x=300
答：两地之间的距离是300千米。
11.一年级有甲、乙两个班，甲班人数是全年级人数的56％，如果从
甲班调出12人到乙班，这时乙班人数正好也是全年级人数的56％，那么
甲班原来有多少人？
想：如果设甲班原有x人，方程不好列。于是改设全年级人数为x，
则甲班人数为56％x，乙班人数为（1-56％）x，乙班增加12人后，人数
与甲班原人数相等。
解：设全年级共有x人。
56％x=（1-56％）x+12
0.12x=12
x=100
56％x=100×0.56=56
答：甲班原有56人。
12.一汽车在甲、乙两地之间行驶，从甲地到乙地每小时行45千米，
从乙地到甲地每小时行60千米，往返一次共用7小时。问甲乙两地之间
的距离是多少？
想：如果设两地之间的距离是x千米，方程不好列。可以改设从甲
地到乙地需x小时，则从乙地到甲地需（7-x）小时。根据往返距离相等，
可列方程。
解：设从甲地到乙地需x小时。
45x=60（7-x）
105x=420
x=4
45×4=180（千米）
答：甲、乙两地相距180千米。
13.甲、乙两地相距400千米，它们之间是山路，一辆汽车上坡每小
时行40千米，下坡每小时行80千米，从甲地到乙地需行驶8小时，问
从乙地到甲地需多少小时？
想：解此题的关键是设未知数，如果设走全程的时间为x小时，方
程就难列出。考虑到从甲地到乙地的距离和时间都已知，因此可设下坡
用时间x小时，则上坡用时间（8-x）小时。
解：设从甲地到乙地下坡用时间x小时。
80x+40（8-x）=400
40x=80
x=2
由此可知，从甲地到乙地下坡为80×2=160（千米），上坡为400-
160=240（千米）
反过来，从乙地到甲地上、下坡的路程正好相反，所以从乙地到甲
地所用时间为：
160240
=4+3=7（小时）
4080
答：从乙地到甲地需7小时。
14.两辆汽车分别从甲、乙两地出发相对而行，一汽车从甲地出发先
行驶6小时，通过的路程是甲、乙两地距离的，然后另一汽车从乙地
出发，两车相对而行，经8小时相遇。问这两辆汽车走完全程各需几小
想：甲车走完全程的时间可直接求得：
6÷=30（小时）
于是可设乙走全程所用时间为x小时。由以上两数可想到：甲每小
时走全程的，乙每小时走全程的，二车相对而行，8小时走完全
程的8（+
），它与（1-）相等。
解：设乙车走完全程需x小时。
）=1-
111
x1030
x15
x=15
6÷=30（小时）
答：甲、乙走完全程所用时间分别为30小时、15小时。
15.现有含盐25％的盐水40千克，要使盐水含盐20％，应加水多少
想：可设应加水x千克。加水后盐水重（40+x）千克，含盐20
％·（40+x）千克。这与原来盐水的含盐量相等。
解：设应加水x千克。
20％·（40+x）=40×25％
0.2x=2
x=10
答：应加水10千克。
16.现有浓度为10％的盐水800克，需要把它的浓度增加到20％，
则需加盐多少克？
想：可设需加盐x克，则加盐后盐水为（800+x）克，加盐前、后盐
水中所含水的重量不变。
解：设需加盐x克。
（1-10％）×800=（1-20％）（80+x）
0.8×（800+x）=720
800+x=900
x=100
答：需加盐100克。
17.一根绳子用去全长的20％，用去的比剩下的少21米，这根绳子
原来长多少米？
想：如果设绳子原长x米，那么用去的是20％·x米，剩下的是（1-20
％）·x米。
（1-20％）x-20％x=21
0.6x=21
x=35
答：这根绳子原来长35米。
18.一根木棒，先截去它总长的，再截去剩下的，再截去第二
次剩下的，最后余下2米。这根木棒总长是几米？
）x米，第二次截
后剩下（1-）（1-）x米，第三次截后剩下（1-
）（1-）（1-
）x米。
解：设木棒总长x米。
（1-）（1-）（1-）x=2
x=2
x=5
答：这根木棒总长5米。
19.某水池有甲、乙两个水管注水。单放甲管需12小时注满，单放
乙管需24小时注满。现在要求10小时注满水池，并且甲、乙两管合放
的时间尽可能的少，甲、乙两管合放最少需要多少小时？
想：要使两管合放的时间最少，注水快的甲管应一直开放，即甲管
应开放10小时，可注池水的。设乙管开放的时间是x小时（也就是两
管合放的时间）。那么乙管可注池水的。
解：设两管合放最少需要x小时。
10x
+=1
1224
246
x=4
答：两管合放最少需要4小时。
20.某年级三个班在植树节那天共种树180棵，甲班植树棵数的
与乙班的加丙班的相等。问各班植树分别是多少棵？
111
想：考虑到三班植树棵数的、、相等，因此可设甲班植树4x
423
棵，则乙、丙班植树分别为2x棵、3x棵。
解：设甲班植树4x棵，则乙班植树2x棵，丙班植树3x棵。
4x+2x+3x=180
9x=180
x=20
4x=4×20=80
2x=2×20=40
3x=3×20=60
答：甲、乙、丙三班植树分别为80棵、40棵、60棵。
21.甲、乙、丙三人分人民币100元，甲分得的是乙的，乙分得的是
丙的，甲、乙、丙各应分得多少元？
想：可设甲分得x元，则乙分得4x元，丙分得5x元。由三人共分
10O元，可列方程。
解：设甲分得x元，则乙分得4x元，丙分得5x元。
x+4x+5x=100
x=10
4x=4×10=40
5x=5×10=50
答：甲分得10元，乙分得40元，丙分得50元。
22.已知右图中正方形的面积为15平方厘米，求它里面最大的圆的
想：欲求圆的面积，须先知圆的半径或半径的平方。若设半径为x
厘米，则正方形边长为2x厘米。根据“正方形的面积为15平方厘米”，
可列方程求x2。
解：设圆的半径为x厘米。
（2x）=15
x2=15/4
S=πx2
=π·
=11.775
答：圆的面积是11.775平方厘米。
五综合解答应用题
（一）基本应用题
1.球从高处下落，每次接触地面后弹起的高度是前一次下落高度的
。如果球从35米高处落下，它第二次弹起的高度是多少米？
想：根据每次弹起的高度是前一次下落高度的，把前一次下落的
高度作为单位“1”，可求出球从35米高处下落后第一次弹起的高度。
再把它看作单位“1”，即可求出第二次弹起的高度。
解：35××=5.6(米)
答：第二次弹起的高度是5.6米。
2.人体中的血液约占体重的，血液里约含的水。体重78千克
的人，血液里约含水多少千克？
想：根据人体的血液约占体重的，把体重看作单位“1”，可求
出血液的重量。再把它看作单位“1”，求出它的即血液中约含水的
（千克）
133
答：血液里约含水4千克。
3.一个油桶里盛了桶豆油，连桶共重5千克，如果盛桶豆油，
则连桶共重7千克。油桶重多少千克？
想：根据条件可知道，两次的重量差（7-5）千克相当于油重的
（-），由此可求出1桶油的重量，然后求出桶油的重量，最后
求出桶的重量。
解：一桶油的重量：
（7－5）÷(-）=2÷=10（千克）
油桶的重量：
5-10×=5-4=1（千克）
答：油桶重1千克。
4.一堆砂石，运走，还剩36吨，如果剩下150吨，应当运走多少
想：根据已知条件可知，这堆砂石的（1—）是36吨，可先求出
这堆砂石的总吨数，然后根据“如果剩下150吨”，可求出运走多少吨？
解：36÷（1—）—150
=180—150
=30（吨）
答：运走30吨。
5.加工一批零件，甲单独加工6天可以完成，乙单独加工8天可以
完成。现在丙先加工这批零件的，用了3天，余下的由甲、乙、丙三
人合做，还要几天才能完成？
想：根据丙先加工这批零件的，可求出余下的工作量是（1—
）。已知甲单独做6天完成，可知甲的工作效率为，又知乙单独做8
天完成，可知乙的工作效率为，丙加工这批零件的，用了3天，可
求丙的工作效率为（÷3），进而可求出余下的3人合作完成的天数。
111
+÷3）
684
111
+）
6812
=÷
=2（天）
答：还要2天完成。
6.某项工程，甲队单独做需8天完成，乙队单独做需12天完成，现
两队一起工作几天后，剩下的由甲队单独做，3天就完成了。两队一起工
作了几天？
想：根据已知条件可知，甲、乙共同工作的工作量是（1—×3）。再
根据甲乙单独做需要的天数，可求出甲乙的工作效率和，进而求出甲乙
两队一起工作的天数。
812
=÷
824
=3（天）
答：甲乙两队一共工作了3天。
7.甲、乙、丙三人，在学校环形跑道上练接力赛跑。甲跑了一圈的
，乙接着跑了一段，丙跑了一圈的，正好跑完了一圈。已知甲比丙
少跑10米，乙跑了多少米？
想：根据已知条件知道，10米相当于一圈的（—），可求出跑
道一圈的长度。又知乙跑了一圈的（1—－），便可求出乙跑的路
解：10÷（—）×（1——）
=10÷×
1212
=50（米）
答：乙跑了50米。
8.一条绳子截下9米，剩下的比全长的短3米，这条绳子全长多少
想：已知一条绳子截下9米后剩下的比全长的短3米。如果少截
下3米，那么截下的（9—3）米应是绳子全长的（1—），由此便可
求出绳长。
解：（9-3）÷（1-）
=6÷
=24（米）
24米。
9.一桶油，第一次倒出全桶油的，第二次比第一次少倒5千克，这
时桶内还有油20千克。这桶油共多少千克？
想：已知第一次倒出这桶油的，第二次比第一次少倒5千克，还
剩20千克。如果第二次和第一次倒的同样多，那么（20—5）千克是
这桶油的（1－－）。由此便可求这桶油重多少千克。
=30（千克）
答：这桶油共重30千克。
10.加工一批零件，师傅单独做小时完成，徒弟单独做小时完
成。师徒合作多少小时可以完成？
想：根据师傅单独做小时完成，可求出师傅的工作效率是（1÷），
根据徒弟单独做小时完成，可求出徒弟的工作效率是（1÷）。由此
便可求出师徒合作用的时间。
解：1÷（1÷+1÷）
=1÷（3+2）
=（小时）
答：师徒合作小时可以完成。
11.一项工程，由甲队单独做12天可以完成。乙队的工作效率是甲
队的。现在甲、乙两队合做，多少天可以完成？
想：已知甲队单独做12天可以完成，可知甲队的工作效率是，又
知乙队的工作效率是甲队的，可知乙队的工作效率是（×），由
124
此便可求出两队合做所需要的时间。
113
×）
12124
1216
=1÷
=6（天）
天可以完成。
12.一位旅客从甲城到乙城，乘汽车行了全程的换乘火车，下火车后
又换乘汽车，行了第一次乘汽车所行路程的。乘火车行了全程的几分
想：已知先乘汽车行了全程的，第二次乘汽车行的是第一次乘汽
车所行路程的，那么第二次乘汽车行了全程的×。由此，便可求
出乘火车行了全程的几分之几。
111
解：1--×
333
=1--
答：乘火车行了全程的。
13.某校举行春季运动会，共有运动员126人。其中男运动员的人数
如果减少，恰好与女运动员的人数相等。男、女运动员各多少人？
想：根据“已知男运动员的人数减少恰与女运动员的人数相等”可
知，把男运动员的人数看作单位“1”，那么女运动员的人数相当于男
运动员的（1-
（1—）]。
由此便可求出男、女运动员的人数。
解：男运动员人数：
126÷[1+（1—）]
=126÷[1+]
=126÷1
=73（人）
女运动员人数：
72×=54（人）
答：男运动员72人，女运动员54人。
14.一种杀虫药水，14元可以买3瓶。某农户用100元买了21瓶零
1.5千克，一瓶杀虫药水重多少千克？
想：根据已知14元买3瓶，可求一瓶用多少元，再根据100元买21
瓶零1.5千克，可求出1.5千克用多少元。再由钱数便可推算出每瓶的
解：1.5千克用的钱数：
100-×21
=100-98
=2（元）
每瓶的重量：
1.5×(14÷2）÷3)
=1.5×7÷3
=3.5（千克）
答：每瓶杀虫药重3.5千克。
15.有两桶油，甲桶比乙桶少12千克。如果再从甲桶向乙桶倒4千
克，这时甲桶的油相当于乙桶的。甲、乙两桶原来各有多少千克油？
想：用线段图表示两桶油前后变化的数量关系：
从线段图中可看出：变化后甲桶的油比乙桶少（12+4+4）千克，正
是乙桶的（1-），由此可求出乙桶变化后油的重量。进而再求出甲乙
两桶原来各有油的重量。
解：乙桶原有油：
（12+4+4）÷（1-）-4
=20÷-4
=50-4=46（千克）
甲桶原有油：
46-12=34（千克）
答：甲桶原来有34千克油，乙桶原来有46千克油。
16.五年级两个班共有学生104人，如果从甲班调2人到乙班，则两
班人数的比是6∶7。两班原有人数各是多少？
，由
6+7
此可求出甲、乙两班现在的人数。进而再求出两班原有人数。
解：6+7=13（份）
甲班原有人数：
6+7
=48+2
=50（人）
乙班原有人数：
104×-2
=56-2
=54（人）
答：甲班原有50人，乙班原有54人。
17.一块合金内铜和锌的比是2∶3，现在再加入6克锌共得新合金
36克。求新合金内铜和锌的比。
想：要求新合金内铜和锌的比，需要知道新合金内铜和锌各是多少。
由已知条件知道，原来合金的重量是（36-6）克，又知原合金铜和锌的
比是2∶3，由此可求出原来铜和锌的重量，进而可知现在锌的重量。
解：铜的重量：
（36-6）×
2+3
=30×
=12（克）
锌的重量：
2+3
=30×+6
=18+6
=24（克）
铜和锌的重量的比：12∶24=1∶2
答：铜和锌重量的比是1∶2。
18.有三本书，第一本的价钱比第二本贵，第二本比第三本便宜，
第三本2.5元。第一本多少元？
想：要求第一本多少元，需求第二本的价钱，已知第二本比第三本
便宜和第三本2.5元，可求出第二本的价钱。由第一本比第二
