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[原创]课题：4.7二倍角的正弦、余弦、正切（3）
2010-02-23 07:55:39.228
教学目的：
要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力
教学重点：二倍角公式的应用
教学难点：灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
二倍角公式: ； ； ； 二、讲解新课： 1．积化和差公式的推导 sin(a + b) + sin(a - b) = 2sinaco THORN inaco =[sin(a + b) + sin(a - b)]
sin(a + b) - sin(a - b) = 2cosasi Þ cosasi =[sin(a + b) - sin(a - b)]
cos(a + b) + cos(a - b) = 2cosaco Þ cosaco =[cos(a + b) + cos(a - b)]
cos(a + b) - cos(a - b) = - 2sinasi Þ sinasi = -[cos(a + b) - cos(a - b)]
2．和差化积公式的推导
若令a + b = q，a - b = hi;，则， 代入得：
∴ 3．半角公式 证：1在 中，以a代2a，代a 即得： there4; 2在 中，以a代2a，代a 即得： there4; 3以上结果相除得：
4．万能公式
证：1 2 3
三、讲解范例：
例1已知，求3cos 2q + 4sin 2q 的值 解：∵ ∴cos q up1; 0 (否则 2 = - 5 ) ∴ 解之得：tan q = 2 there4;原式
例2已知，，tana =，ta =，求2a + b 解： ∴ 又∵tan2a 0，ta 0 ∴， there4; ∴2a + b =
例3已知sina - cosa = ，，求和tana的值 解：∵sina - cosa = there4; 化简得： ∴ ∵ ∴ ∴ 即 例4已知cosa - cos b = ，sina - si = ，求sin(a + b)的值
解：∵cosa - cos b = ，&there4 ① ina - sin b =，&there4 ② ∵ there4 ∴ there4;
例5求证：sin3asin3a + cos3acos3a = cos32a 证：左边 = (sin3asina)sin2a + (cos3acosa)cos2a = - (cos4a - cos2a)sin2a + (cos4a + cos2a)cos2a = -cos4asin2a +cos2asin2a +cos4acos2a +cos2acos2a = cos4acos2a + cos2a = cos2a(cos4a + 1) = cos2a2cos22a = cos32a = 右边
∴原式得证
四、课堂练习：
1 已知、 eta;为锐角，且3sin2＋2sin2 eta;＝1，3sin2－2sin2 eta;＝0
求证：＋2 eta;＝
证法1：由已知得3sin2＝cos2 eta ①
3sin2＝2sin2 eta ②
①②得ta alpha;＝
∵、 eta;为锐角
∴0＜ eta;＜，0＜2 eta;＜ i;，－ i;＜－2 eta;＜0，
∴－＜－2 eta;＜
&there4 alpha;＝－2 eta;，＋2 eta;＝
证法2：由已知可得：
3sin2＝cos2 eta;
3sin2＝2sin2 eta;
∴cos（＋2 eta;）＝co alpha middot;cos2 eta;－si alpha middot in2 eta;
＝co alpha middot;3sin2－si alpha middot in2
＝3sin2co alpha;－si alpha middot;3si alpha;co alpha;＝0
又由＋2 eta isi （0，）
&there4 alpha;＋2 eta;＝
证法3：由已知可得 &there4 in（＋2 eta;）＝si alpha;cos2 eta;＋co alpha in2 eta;
＝si alpha middot;3sin2＋co alpha middot in2
＝3si alpha;（sin2＋cos2）＝3si alpha;
又由②，得3si alpha middot;co alpha;＝sin2 eta ③
得9sin4＋9sin2cos2＝1
&there4 i alpha;＝，即sin（＋2 eta;）＝1
又0＜＋2 eta;＜
&there4 alpha;＋2 eta;＝
评述：一般地，若所求角在（0， i;）上，则一般取此角的余弦较为简便；若所求角在（－， )上，则一般取此角的正弦较为简便；当然，若已知条件与正切函数关系比较密切，也可考虑取此角的正切
2 在△ABC中，sinA是cos（B＋C）与cos（B－C）的等差中项，
试求(1)tanB＋tanC的值 (2)证明tanB＝（1＋tanC）cot（45＋C）
(1)解：△ABC中，sinA＝sin（B＋C）
∴2sin（B＋C）＝cos（B＋C）＋cos（B－C）
∴2sinBcosC＋2cosBsinC＝2cosBcosC
∵cosBcosC e;0 ∴tanB＋tanC＝1
（2）证明：又由上：ta eta;＝1－tanC＝（1＋tanC）
＝（1＋tanC）tan（45－C）＝（1＋tanC）cot（45＋C）
3 求值： 解：原式＝ 五、小结 通过这节课的学习，要掌握推导积化和差、和差化积公式（不要求记，半角公式和万能公式的方法，要知道它们的互化关系 另外，要注意半角公式的推导与正确使用
六、课后作业：
1 如果｜co theta;｜＝，＜＜3 i;,则sin的值等于( )
2 设5 i;＜＜6 i;且cos＝a,则sin等于( )
3 已知tan76° asym 4，则tan7的值约为( )
4 tan－cot的值等于 5 已知sinA＋cosA＝1，0＜Ａ＜ i;，则tan＝ 6 已知ta alpha;、ta eta;是方程7ｘ2－8ｘ＋1＝0的两根，则tan＝ 7 设25sin2ｘ＋sinｘ－24＝0且ｘ是第二象限角，求tan
8 已知cos2＝，求sin4＋cos4的值
9 求证
参考***：1 C 2 D 3 A 4 －2 5 2－ 6 －2 7 8 9
七、板书设计（略）
八、课后记：
http://www.cy52.cn/article/12904/563963 关键词： 阅读(86) | 评论(0) |
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[原创]课题：4.7二倍角的正弦、余弦、正切（3）
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教学目的：
要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力
教学重点：二倍角公式的应用
教学难点：灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式
授课类型：新授课
课时安排：1课时
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教学过程：
一、复习引入：
二倍角公式: ； ； ； 二、讲解新课： 1．积化和差公式的推导 sin(a + b) + sin(a - b) = 2sinaco THORN inaco =[sin(a + b) + sin(a - b)]
sin(a + b) - sin(a - b) = 2cosasi Þ cosasi =[sin(a + b) - sin(a - b)]
cos(a + b) + cos(a - b) = 2cosaco Þ cosaco =[cos(a + b) + cos(a - b)]
cos(a + b) - cos(a - b) = - 2sinasi Þ sinasi = -[cos(a + b) - cos(a - b)]
2．和差化积公式的推导
若令a + b = q，a - b = hi;，则， 代入得：
∴ 3．半角公式 证：1在 中，以a代2a，代a 即得： there4; 2在 中，以a代2a，代a 即得： there4; 3以上结果相除得：
4．万能公式
证：1 2 3
三、讲解范例：
例1已知，求3cos 2q + 4sin 2q 的值 解：∵ ∴cos q up1; 0 (否则 2 = - 5 ) ∴ 解之得：tan q = 2 there4;原式
例2已知，，tana =，ta =，求2a + b 解： ∴ 又∵tan2a 0，ta 0 ∴， there4; ∴2a + b =
例3已知sina - cosa = ，，求和tana的值 解：∵sina - cosa = there4; 化简得： ∴ ∵ ∴ ∴ 即 例4已知cosa - cos b = ，sina - si = ，求sin(a + b)的值
解：∵cosa - cos b = ，&there4 ① ina - sin b =，&there4 ② ∵ there4 ∴ there4;
例5求证：sin3asin3a + cos3acos3a = cos32a 证：左边 = (sin3asina)sin2a + (cos3acosa)cos2a = - (cos4a - cos2a)sin2a + (cos4a + cos2a)cos2a = -cos4asin2a +cos2asin2a +cos4acos2a +cos2acos2a = cos4acos2a + cos2a = cos2a(cos4a + 1) = cos2a2cos22a = cos32a = 右边
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四、课堂练习：
1 已知、 eta;为锐角，且3sin2＋2sin2 eta;＝1，3sin2－2sin2 eta;＝0
求证：＋2 eta;＝
证法1：由已知得3sin2＝cos2 eta ①
3sin2＝2sin2 eta ②
①②得ta alpha;＝
∵、 eta;为锐角
∴0＜ eta;＜，0＜2 eta;＜ i;，－ i;＜－2 eta;＜0，
∴－＜－2 eta;＜
&there4 alpha;＝－2 eta;，＋2 eta;＝
证法2：由已知可得：
3sin2＝cos2 eta;
3sin2＝2sin2 eta;
∴cos（＋2 eta;）＝co alpha middot;cos2 eta;－si alpha middot in2 eta;
＝co alpha middot;3sin2－si alpha middot in2
＝3sin2co alpha;－si alpha middot;3si alpha;co alpha;＝0
又由＋2 eta isi （0，）
&there4 alpha;＋2 eta;＝
证法3：由已知可得 &there4 in（＋2 eta;）＝si alpha;cos2 eta;＋co alpha in2 eta;
＝si alpha middot;3sin2＋co alpha middot in2
＝3si alpha;（sin2＋cos2）＝3si alpha;
又由②，得3si alpha middot;co alpha;＝sin2 eta ③
得9sin4＋9sin2cos2＝1
&there4 i alpha;＝，即sin（＋2 eta;）＝1
又0＜＋2 eta;＜
&there4 alpha;＋2 eta;＝
评述：一般地，若所求角在（0， i;）上，则一般取此角的余弦较为简便；若所求角在（－， )上，则一般取此角的正弦较为简便；当然，若已知条件与正切函数关系比较密切，也可考虑取此角的正切
2 在△ABC中，sinA是cos（B＋C）与cos（B－C）的等差中项，
试求(1)tanB＋tanC的值 (2)证明tanB＝（1＋tanC）cot（45＋C）
(1)解：△ABC中，sinA＝sin（B＋C）
∴2sin（B＋C）＝cos（B＋C）＋cos（B－C）
∴2sinBcosC＋2cosBsinC＝2cosBcosC
∵cosBcosC e;0 ∴tanB＋tanC＝1
（2）证明：又由上：ta eta;＝1－tanC＝（1＋tanC）
＝（1＋tanC）tan（45－C）＝（1＋tanC）cot（45＋C）
3 求值： 解：原式＝ 五、小结 通过这节课的学习，要掌握推导积化和差、和差化积公式（不要求记，半角公式和万能公式的方法，要知道它们的互化关系 另外，要注意半角公式的推导与正确使用
六、课后作业：
1 如果｜co theta;｜＝，＜＜3 i;,则sin的值等于( )
2 设5 i;＜＜6 i;且cos＝a,则sin等于( )
3 已知tan76° asym 4，则tan7的值约为( )
4 tan－cot的值等于 5 已知sinA＋cosA＝1，0＜Ａ＜ i;，则tan＝ 6 已知ta alpha;、ta eta;是方程7ｘ2－8ｘ＋1＝0的两根，则tan＝ 7 设25sin2ｘ＋sinｘ－24＝0且ｘ是第二象限角，求tan
8 已知cos2＝，求sin4＋cos4的值
9 求证
参考***：1 C 2 D 3 A 4 －2 5 2－ 6 －2 7 8 9
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