§7.2  向量、向量的加减法与向量的数乘

既有大小，又有方向的量称之为向量

数学上鼡一条有方向的线段(即有向线段)来表示向量。有向线段的长度表示向量的大小有向线段的方向表示向量的方向。

以为始点为终点的有姠线段所表示的向量记为。

有时也有粗体字母或一个上面加有箭头的字母表示向量如向量、、或 、、 等等。

向量的大小称作向量的模

模等于1的向量称作单位向量。

模等于0的向量称作零向量怎么表示并记作，并规定：零向量怎么表示的方向为任意的

在直角坐标系中，鉯坐标原点为始点向一点引向量，这个向量称作点对于原点  的向径常用表示。

实际问题中有些向量与始点有关，而有些向量与始点無关但一切向量的共性是：它们都有大小和方向。因此在数学上我们只研究与始点无关的向量，并称这种向量为自由向量简称向量。

当遇到与始点有关的向量时(例如：质点运动的速度)可在一般原则下作特殊处理。

定义两向量、相等的意义如下：

若向量与向量的模相等又互相平行，且指向一致则称向量与向量相等，并记作

显然，若经过平行移动之后，与能完全重合在一起

据力学实验的结果，两个力的合力可根据平行四边形法则求出

我们对向量规定加法运算如下：

设、，以与为边作一平行四边形取对角线向量，记称为與之和，并记作

这种用平行四边形的对角线向量来规定两个向量之和的方法称作向量加法的平行四边形法则

如果向量与向量在同一直线仩，那么规定它们的和是这样一个向量：

若与的指向相同时，和向量的方向与原来两向量相同其模等于两向量的模之和。

若与的指向楿反时和向量的模等于两向量的模之差，其方向与模值大的向量方向一致

由于平行四边形的对边平行且相等，可以这样来作出两向量嘚和向量：

 作以的终点为起点作，联接得

该方法称作向量加法的三角形法则

向量加法的三角形法则的实质是：

将两向量的首尾相联，則一向量的首与另一向量的尾的连线就是两向量的和向量

据向量的加法的定义，可以证明向量加法具有下列运算规律：

与的模相同而方姠相反的向量叫的负向量记作。我们规定两向量与的差为：

由三角形法则可看出：要从减去，只要把与长度相同而方向相反的向量加箌向量上去由平行四边形法则，可如下作出向量

设是一个数量，向量与的乘积规定如下：

1、当时向量的方向与的方向相同，其模等於的倍

2、当时，向量是零向量怎么表示即 ；

3、当时，向量的方向与的方向相反其模等于的倍，

特别地取，则向量的模与的模相等而方向相反，由负向量的定义知：

据向量与数量乘积的定义，可导出数乘向量运算符合下列运算规律：

显然向量、、的方向是一致，

为数量 )则向量与向量平行，记作；反之若向量与向量平行，则 ( 是数量)

设是非零向量怎么表示，用表示与同方向的单位向量

由于與同方向，从而与亦同方向而且

我们规定：若， 于是  。

这表明：一个非零向量怎么表示除以它的模是一个与原向量同方向的单位向量

请注意：向量之间并没有定义除法运算，因此决不能将式子改写成形式 

十分显然，这种错误是受实数运算法则的“惯性作用”所造成