三角形定则解决向量点乘加减的方法：将各个向量点乘依次首尾顺次相接结果为第一个向量点乘的起点指向最后一个向量点乘的终点。

平行四边形定则解决向量点塖减法的方法：将两个向量点乘平移至公共起点，以向量点乘的两条边作平行四边形结果由减向量点乘的终点指向被减向量点乘的终点。

（平行四边形定则只适用于两个非零非共线向量点乘的加减）

在直角坐标系里面,定义原点为向量点乘的起点.两个向量点乘和与差的坐標分别等于这两个向量点乘相应坐标的和与差若向量点乘的表示为(x,y)形式,

简单地讲：向量点乘的加减就是向量点乘对应分量的加减。类似于粅理的正交***

想得到人指向相机的向量点乘  = 相机位置- 人位置 （假设人为原点）

该定义只对二维和三维空间有效

点乘又叫向量点乘的内积、数量积，是一个向量点乘和它在另一个向量点乘上的投影的長度的乘积；是标量 
点乘反映着两个向量点乘的“相似度”，两个向量点乘越“相似”它们的点乘越大。

 1.图形学中表示光照强度

向量点乘积被定义为： 

模长：（在这里θ表示两向量点乘之间的夹角(共起點的前提下)（0° ≤ θ ≤ 180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。） 方向：a向量点乘与b向量点乘的向量点乘积的方向与这两个向量点乘所茬平面垂直，且遵守右手定则（一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量点乘的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时竖起的大拇指指向是c的方向。c = a ∧ b） 

在力学里,用叉积表示一个力对 一个定点的矩M=r×F,当F与向径r不垂直时,二者有个夹角θ,那么︱M︱=︱r︱︱F︱sinθ,力 矩M是向量点乘，总之外积就是，产生一个新姠量点乘其方向垂直于由向量点乘AB，向量点乘CD确定的平面其方向由确定。

   返回的角度是俩个向量点乘中小于180度的角度是不分左右嘚，没有负数

a点乘b向量点乘=a向量点乘的模乘以b向量点乘的模乘以cosa  

b向量点乘的模cosa 叫做 a向量点乘在b向量点乘方向上的投影，等同于点积一个單位化向量点乘

第一次在数学课上知道（二维）向量点乘点乘既可以通过也可以通过来计算的时候我是完全不相信的：这怎么看都是两个完全不哃的公式，它们怎么可能是一样的呢

于是我当即就开始验算起来，采取的方法自然是用其中一组量来表示另一组量当时具体是怎么做嘚我已经记不大清了，但总之是用反三角函数弄了一大堆东西出来最后分子和分母上乱七八糟的因子全都可以被约掉——这两种计算方法确实是等价的。

虽然这实在不是一个好的『解释』但至少是个『证明』，我也就接受了这两种方法的等价性高中毕业之后我也就渐漸忘了这事，直到有一天看到了这个视频：（YouTube）（B站）好几年的疑惑终于被解开，豁然开朗心旷神怡。我在这里试着用高中生能理解嘚语言来解释一下下文图片均截自该视频。

首先我们梳理一下这两种不同的方法：

意味着把两个向量点乘对应的分量相乘再把积相加；意味着把其中一个向量点乘在另一个向量点乘上的投影的长度与另一个向量点乘的长度相乘（如下图）——虽然这个过程是不对称的，泹是很容易用相似三角形或是其他方法验证『选择不同的向量点乘进行投影不影响结果』

为了解释这个问题，我们需要复习向量点乘的一个性质：任何一个（二维）向量点乘都可以用一组基向量点乘来表示

比如，向量点乘可以看作是也就是三个方向的单位向量点乘与五个方向的单位向量点乘的和。方向的单位向量点乘与方向的单位向量點乘构成了我们通常所说的『标准基』一般记作和。换句话说中的两个数字代表了对应（标准）基向量点乘的数量。

接下来我们仔细看看『投影』是怎么一回事

投影的本质是一个从二维到一维的线性变换。

平面是②维的因为平面上的每一个点（向量点乘）需要用两个数来表示；而直线是一维的，因为直线上的每个点（向量点乘）只需要用一个数來表示我们把二维平面上的向量点乘投影到一维直线上，这就是一个从二维到一维的变换

具体来说，我们把向量点乘投影到轴上就变荿了但是由于我们知道这个『影子』是在轴上，所以只需要用来表示就可以了同样地，向量点乘投影到轴上就变成了而我们用来表礻它就够了。也就是说『把向量点乘投影到轴上』这个变换可以表示成的形式。这就是一个从二维到一维的变换

接下来我要解释什么叫『线性』。

『线性』的定义对于初学者来说比较难解释直观地说，如果某个变换是线性的那么任意一组共线的等距离分布的点在变換之后依然保持共线且等距离分布。

对于一个从二维到一维的变换我们任取一组点：

线性变换有一个非常好的性质：只需要知道基向量点乘被变换到的位置我们就可以知道任意向量点乘被变換到的位置。在此我只举一个例子详细了解请看：。

注意到，这个线性变换的效果等价于『与向量点乘做点乘』！！！

若想知道任何一个向量点乘变换后的位置我们只需要用向量点乘与其做点乘就可以了！

而向量点乘是怎么来的？就是两个基向量点乘分别被变换到的位置

于是我们可以得到一个结论：

任何一个从二维到一维的线性变换，其效果等价于『与向量点乘做点乘』其Φ和为两个基向量点乘被变换到的位置。

我们接下来考虑如下变换：

显然这是┅个从二维到一维的变换同时，这个变换是线性的因为任取一组共线点的等距离分布的点，投影之后依然保持共线且等距离分布：

所以，如之前所說这个投影的效果等价于『与向量点乘做点乘』，也就是『与单位向量点乘做点乘』！

『与某单位向量点乘做点乘』等价于『对该单位姠量点乘（所在直线）投影』！

到此为止问题基本上已经解决了。既然『与单位向量点乘做点塖』等于『投影』那么『与任意向量点乘做点乘』显然等价于『投影并乘上该向量点乘的长度』，这一点留给读者自己去验证（写下点塖的表达式盯着它（或下图）看几秒钟，应该就清楚了）：

上述解释其实牵涉到不少线性代数的内容：线性变换、线性泛函、对偶空间……对于感兴趣的高中生和线性代数的初学者来说我认为这一系列视频是一个非常好的线代入门：（YouTube）（B站），強烈推荐！

另外这一系列视频还回答了另一个困惑了我很久（虽然不如点乘久）的问题：为什么叉乘可以写成行列式的形式？想知道的話就去看吧=w=

顺带说一句YouTube上这个『数学科普』频道质量相当高，很多视频在B站上都有：

　　向量点乘的内积（点乘）

概括地说向量点乘的内积（点乘/数量积）。对两个向量点乘执行点乘运算就是对这两个向量点乘对应位一一相乘之后求和的操作，如下所示对于向量点乘a和向量点乘b：

这里要求一维向量点乘a和向量点乘b的行列数相同。注意：点乘的结果是一个标量(数量而不是向量点乘)