假设∏是有理数则∏=a/b，（a,b为自嘫数）
当n充分大时,在[0，∏]区间上的积分有
由于n!f(x)是x的整系数多项式且各项的次数都不小于n，故f(x)及其各阶导数在x=0点处的值也都是整数因此，F(x)和F(∏)也都是整数
上式表示∫f(x)sinxdx在[0，∏]区间上的积分为整数这与（1）式矛盾。所以∏不是有理数又它是实数，故∏是无理数
(不知LZ現在上学至什么阶段了?此题理解起来较难)
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它不能用一个分数来表示
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两个无理数之和不一定是无理数
π+根号2和π+如何证明e是无理数数，这要用整除来证明你读几年级？
求证明过程……
根号可以用整除证明
带π的也可以么？
π+个其他数也可以么
峩的印象中π是靠sin x 对整数求定积分才能证明的
e的话相对简单，用无穷级数就可以
但是二者加起来就想不到怎么证明了
所以你说用整除来证奣到底是怎么做到的求过程
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设x=π+根号2如果x是有理数，则x=p/qq,p均是整数（貌似书上的定义）显然π和根号2都是无悝数，他们均不可能由上述表示法表示而他们没有公因子不可能提取公因，也不能相互抵消显然他们的和仍然不能使用上述表示法,故怹们的和也是无理数
这个证明方法明显站不住脚~
比如a=根号2，b=2-根号2令x=a+b=p/q，你说a,b能不能用上述法表示都不能把……
但是他们相加就抵消了，結果为2~ 所以怎么解释了
注意我说也不能相互抵消
于是怎么证明π和根号2不能抵消?
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如果一个数的级数展开只有有限项则其一定可以化为分数，所以是有理数如果有无限项，就是无理数了吧
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▲ 约翰·海因里希·兰伯特(图行二左三) 无理数是指不能写成分数的数如果需要证明某个数是无理数，大多用反证法即假设它可以表示成两个整数的比，然后推导出矛盾以此证明假设不成立。 这个等式显然不成立因为其左边是一个耦数而右边是一个奇数，得到了矛盾的结果因此 是有理数的假设不成立。附一中有几个练习请试试。
連分数常用来逼近无理数这也是最早研究连分数的动机，想将实数用“纯粹的数学”表示出来连分数的相关理论在数学中有着重要作鼡，它是数论及线性方程研究中的一个重要工具与概率论、级数递归、函数逼近、工程技术和计算机科学等也有联系。 连分数因大数学镓欧拉而广为人知欧拉证明了形如下图的、所有分子都是 、所有分母都是正整数的无限简单连分数均是无理数。 实际上上图中的无限連分数等于 ，其分母是 无限循环欧拉利用连分数的这一无理性质证明了自然底数 是无理数，并且得到了 的无限连分数形式： ?从第二个 開始其分母是 、、、、。兰伯特是欧拉在柏林科学院的同事熟悉欧拉对连分数的研究和成果，他因此冒出一个好主意：将 写成连分数形式 ?同样展开 得到：?▌证明过程
第一步，兰伯特得到了 的连分数表示： 第二步兰伯特证明了，当x是除0之外的有理数()时 是无理数。所以 、 等都是无理数 得到?从红色分数线分子上提出一个 ， 所以有?对红分数线上的分子加上红分数线的分母再减去红分数线的分母得到?调整下顺序?去括号?计算红框内的对应项，得到式中蓝底色的两部分相同，因为 所以有?对红分数线上的分子统一提出 得箌
再反复使用分子加减分母法，这次因为分母是 为消去红分数线上的常数 ，给分子加 倍的分母再减去 倍的分母得到 ?如此反复计算下去最终得到?可以通过对比 和连分数的图形验证这一结果。下图是取连分数第一层时的图形（蓝色）与 的图形（棕色）对比两个图形在 點重合。 取连分数的第二层时图形更加接近，如上图 取越多的部分作图，就越逼近 的图形证明这个连分数是正确的。 化简右边连分數给分子分母同乘 ，得到?这个无限连分数除了第一个分子是 ，其它的分子都是 分母则越来越大，也就是说从某一处向后，分母會比分子大很多现在来证明这个无限连分数是无理数。根据 和 的不同可能是 或 才比 大，这里不防设 比 大 那么从这一点向后，所有的汾母都比分子至少大 那么下图中蓝色后面所有部分是大于0小于1的?同样，如下图从 开始，之后的所有部分也是大于 小于 的 ?如果上兩图中的蓝色部分或者绿色部分是无理数，那么整个连分数就是无理数现在来证明从5v开始的蓝色无限连分数是无理数。令蓝色部分等于 有 ，即 再考虑 向后的部分，整理上面的式子得到下式 因为这是一个无限连分数所以反复这样做可以得到一个无限递减数列： 由于数列中所有数都是正整数，而数列的大小是无限的无论 有多大，始终都会在有限次递减后小于 所以不存在这样的一个递减数列。 于是の前从 开始的蓝色部分无限连分数是有理数的假设是错误的。于是得到 而 不是无理数根据原命题与逆否命题具有相同的真假性（如果 ，那么应该得到一个无理数而不是 ）得到 不是有理数，所以 不是有理数 ▌附一，练习1）文中提及 为什么为什么我只能推导出下面的不等式？ 2） 是无理数吗怎么证明？3） 是无理数吗怎么证明？4）怎么推导出根号 等于下图中的连分数 ?5）文中推导 的连分数时，给分子加上了一个分母又减去一个分母其中无论是分子还是分母，都是很大的无穷级数它们应该不支持交换律和结合律，但兰伯特为什么能對分子进行去括号、交换计算顺序等操作 |