什么样的随机变量知道期望方差就可以求中心矩估计和原点矩

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-03-18 13:21 标签： 中心矩估计

课前导读
求随机变量的数字特征，需要用到高等数学中积分和级数收敛的定义。
第一节 数学期望
离散型随机变量数学期望（均值）的定义：注意，该级数需要绝对收敛
连续型随机变量的数学期望：
数学期望的物理含义：质心。
常用离散随机变量的数学期望：两点分布；二项分布；泊松分布
以上三种分布的期望的直观解释：
常用连续型随机变量的数学期望：均匀分布：；指数分布；正态分布
直观解释：
三、数学期望的性质
数学期望的性质定理：
严格意义上常数不具有随机性，从而不是随机变量。但在概率论中，称它为服从参数为c的退化分布，分布律为。
性质(2)、(3)、(4)可推广至多维随机变量的情形：
第二节 方差和标准差
方差和标准差刻画随机变量分布的稳定性或者波动程度。
一、方差和标准差的定义
方差和标准差的定义：
实际计算方差时，更多采用下列公式：
常用分布的方差:泊松分布的方差:
均匀分布的方差：
指数分布的方差：
正态分布的方差：
二、方差的性质
性质(2)、(3)、(4)可以推广至多个随机变量的情形。
二项分布的方差：
中心化随机变量和标准化随机变量：
第三节 协方差和相关系数
一、协方差
随机变量和的协方差：实际中常用计算公式：
协方差反映了和之间协同变化的关系。协方差大=>X和Y均有同时大于或同时小于各自平均值的趋势；协方差小=> X趋向大于平均值时另一个有小于其平均值的趋势。当就是时，协方差即为方差。这就是我们称其为协方差的原因。
由协方差的定义，可以将方差的性质(3)表示为：
协方差的性质：
二、相关系数（标准化协方差）
协方差考察了随机变量之间协同变化的关系，但在使用中存在量纲的问题。为了避免这样的情形发生，将随机变量标准化，，，再求协方差，这就是随机变量X和Y的相关系数，又称标准化协方差。
相关系数的定义：
二维正态分布的参数恰好是和的相关系数。
随机变量（线性）无关的定义：
相关系数的性质：
时与有线性关系(完全线性相关)。
独立一定线性无关()；但不一定线性无关
完全线性相关的定义：
相互独立与线性无关、线性相关之间的关系:
若服从二维正态分布，则X与Y相互独立等价于X与Y不相关
第四节 其他数字特征
这一节介绍其他常用的数字特征，包括矩、变异系数、分位数及中位数等。
k阶矩
k阶矩的定义:原点矩、中心矩、联合原点矩、联合中心距
期望是一阶原点矩，方差是二阶中心矩，协方差是(1,1)阶联合中心距
引入多维随机变量数字特征的向量形式，得到n维随机向量的协方差矩阵：
变异系数
由于方差、标准差受量纲的影响，所以在实际工作中常用变异系数这个数字特征。变异系数无量纲，反映随机变量在单位均值上的波动程度。变异系数的定义：
三、分位数和中位数
p分位数的定义：
连续型变量的分位数定义：
众数的定义：
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