求奇函数偶函数单调性并画出图像（导数）

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-03-18 13:21 标签： 初等函数

函数的单调性，高考数学考纲对这个考点提出要求是：
理解函数单调性定义，并利用函数单调性的定义判断或证明函数在给定区间的单调性；
会判断复合函数的单调性。
同时要学会将函数的性质与函数的概念、图象等进行综合，这一直是历年高考数学的重点和热点之一。
函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域。对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间。
求函数的单调区间的常用方法：
1、利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间；
2、定义法：先求定义域，再利用单调性定义；
3、图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间；
4、导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间。
典型例题分析1：
定义在（0，+∞）上的函数f（x），总有f′（x）＞f（x）+ex﹣lnx成立，且f（2）=e2﹣2，则不等式f（x）≥ex﹣2的解集为　 　．
考点分析：
利用导数研究函数的单调性．
题干分析：
由题意构造辅助函数g（x）=ex﹣lnx﹣2，求导，g′（x）＜0，函数单调递减，g′（x）＞0，函数单调递增，求得g（x）的最小值，再构造辅助函数h（x）=[f（x）+2]/ex，求导，求得h′（x）≥0，h（x）在（0，+∞）上递增，即f（x）≥ex﹣2，由f（2）=e2﹣2，得h（x）≥h（2），即可求得不等式的解集．
典型例题分析2：
已知函数f（x）=ex（其中e是自然数的底数），g（x）=x2+ax+1，a∈R．
（1）记函数F（x）=f（x）g（x），且a＞0，求F（x）的单调增区间；
（2）若对任意x1，x2∈[0，2]，x1≠x2，均有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，求实数a的取值范围．
解：（1）y=f（x）g（x）=（x2+ax+1）ex，
∴F'（x）=[x2+（a+2）x+（a+1）]ex，
令F'（x）=0，则x2+（a+2）x+（a+1）=0，
即[x+（a+1）]（x+1）=0，解得x=﹣1，或x=﹣a﹣1
∵a＞0，∴﹣a﹣1＜﹣1，
∵x∈[﹣a﹣1，﹣1]时，
y'＜0，x∈（﹣∞，﹣a﹣1）和（﹣1，+∞）时，y'＞0，
∴函数F（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣a﹣1）和（﹣1，+∞），
（2）设x1＜x2，因为f（x）=ex在[0，2]单调递增，
故原不等式等价于|f（x1）﹣f（x2）|＜g（x2）﹣g（x1）
在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，
所以g（x1）﹣g（x2）＜f（x1）﹣f（x2）＜g（x2）﹣g（x1）
在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，
考点分析：
利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
题干分析：
（1）求出函数的导数，即可求函数f（x）的单调区间；
（2）设x1＜x2，因为g（x）=ex在[0，2]单调递增，故原不等式等价于|f（x1）﹣f（x2）|＜g（x2）﹣g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，当a≥﹣（ex+2x）恒成立时，a≥﹣1；当a≤ex﹣2x恒成立时，a≤2﹣2ln2，综合讨论结果，可得实数a的取值范围．
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