1、三角不等式与平均值不等式

（1）绝对值的三角不等式

（2）算术-几何平均值不等式

2、常见函数及其性质与图形

狄利克雷函数及其变形式、符号函数、绝对值函数、取整函数等

（1）注意函数的自然定义域与实际定义域的区别与联系，对于有生成过程的函数，比如四则运算、复合运算所得函数，注意最终定义域的取值要保证运算过程的有效性。

（2）注意反函数的定义域、值域之间的联系，尤其注意与反函数相关问题的一个讨论过程中不要改变自变量、因变量的符号描述！除了最终的反函数描述！

(1) 有界性的讨论：定义法，注意无界与无穷大的区别与联系

(2) 单调性的判定：可导的情况下应用导数法，不可导的情况使用定义法

(3) 奇偶性的判定：定义法，注意函数为奇函数.

• 定义在区间内的任何函数都可以表示为一个偶函数与一个奇函数的和

• 任何一个函数可以表示为两个非负函数的差

(4) 周期性的判定：定义法，注意周期与最小正周期的关系，并不是周期函数都有最小正周期。注意基本初等函数中三角函数的周期性，函数为周期函数，且为最小正周期．注意周期函数描述的曲线图形的“平移复制性”。

5、曲线的参数方程与极坐标方程

(1) 常见函数转换为参数方程描述的方法与参数方程消参数转换为显函数或方程描述的方法。注意参数方程的不唯一性. 注意二元方程描述的方程转换为参数方程的常用方法，比如令y=tx转换参数方程.

(2) 极坐标方程与直角坐标方程、参数方程的互换。极坐标转换中注意点的位置与角度取值范围之间的关系.

6、数列极限存在性及计算的常规方法

一般数列极限的直接计算基于海涅定理（归结原则）转换为函数极限讨论.

(1) 常用数列极限的结论

(2) 数列极限的性质：唯一性、有界性、保号性

(3) 数列极限的四则运算法则：一定注意极限存在并且分母极限不为零才能应用！即先判定再应用.

(4) 子数列与原函数的极限之间的关系：

• 子数列极限存在，原数列极限不一定存在，原数列极限存在，则子数列极限存在且相等

• 一个子数列极限不存在，或连个子数列极限虽然存在但是极限值不等，则原数列极限不存在

• 拉链定理：即原数列奇数项构成的数列与偶数项构成的数列极限都存在并且极限值相等，则原数列极限存在且极限值相同.

(5) 夹逼定理判断并计算数列极限

• 注意定义证明转换为绝对值极限等于0然后基于夹逼定理求极限的方法

• 注意求和式应用夹逼定理求极限的思路与方法，常将求和变量改写放置到分母，然后令其取0或放大、缩小项转换求得通项后应用夹逼定理计算极限和.

(6) 单调有界原理：单调有界原理只能用来判定极限的存在性，不能用于求极限值. 单调性常用差值法、比值法、数学归纳法或函数的单调性判定，有界性常用常见不等式结论、放缩法或数学归纳法来判定。

(7) 递推数列极限存在性判定和极限值的计算

• 单调有界原理判定极限的存在性

• 基于数列的有界性和递推公式递推，然后基于夹逼定理来验证极限的存在性并计算得到极限值.

• 推导得到递推数列通项来判定极限的存在性和求极限

7、函数极限的基本结论与性质

(1) 常见的函数极限结论：注意公式中的变量可以换成任意表达式，变量变化过程也可换成其他任意变化过程。

(2) 函数极限存在的基本性质：唯一性、局部有界性、局部保号性.

(1) 无穷小的比较，尤其是阶的比较和计算，一般考虑带皮亚诺余项的麦克劳林公式

(2) 应用等价无穷小计算函数极限，常用等价无穷小描述。

注意，等价无穷小表达式中的变量x的可以换成任意其他任意变化过程的趋于0的表达式。

三类渐近线的判定思路与过程：水平、铅直、斜渐近线（注意各渐近线的判定分左右极限讨论，铅直渐近线存在于构成定义域的定义区间的端点或分段函数的定义区间的分界点）。

10、函数的连续性与间断点

(1) 利用左右极限讨论函数的连续性：函数连续，则函数的左右极限都必须存在并且等于该点的函数值。

(2) 函数间断点的类型及其判定思路与方法

11、闭区间上连续函数的性质及其应用

(1) 看到闭区间上函数连续的条件，应该马上可以写出最值定理（有界性定理）、介值定理（零值定理）的结论。

(2) 会用零值定理证明根（函数的零点）的存在性。基本思路是：将等式移项，使其右侧等于0，将中值等式中的中值符号换成变量，令左侧表达式为函数，选择合适区间判定函数的连续性和端点值异号，基于零值定理验证中值的存在性，即方程根，或函数零点的存在性。

内容、题型总结和典型题解析请参见如下专题：

(1) 对分段函数的分界点的导数存在性的判定和导数值的计算一般应用导数的极限式定义来完成，并且一般分左右导数讨论。并且一般是先有极限存在，才有导数符号描述。

(2) 对抽象函数，或已知条件中没有已知导数存在时，需要判定导数，计算导数或需要用到导数相关结论，一般应用导数的极限来讨论。

(3) 在已知某点可导，计算函数极限相关的问题时，一般会用到导数的极限定义式来求极限。常用到加项、减项，乘项、除项的方法构建导数定义极限式。

由导数值等于函数描述的曲线在给定点的切线的斜率求曲线的切线与法线。

• 可导一定连续，连续不一定可导。

• 初等函数导数不存在的点一般为函数描述的曲线的尖点、分段函数的分界点，或存在有铅直切线的点

• 函数在一点可导，则左右导数存在并且相等

(1) 导数的四则运算法则，前提条件是已知函数可导.

(2) 导数的复合运算法则.

(3) 直接函数的导数等于反函数导数的倒数，注意公式中是关于各自的变量求导.

(4) 隐函数求导，即方程等式两端求导，注意其中关于求导，则是函数，对于的表达式求导，必须先对函数变量求导，在乘以关于的导数。即表达式中的变量不是求导变量时，应先关于表达式中的变量求导，再乘以表达式中的变量关于最终变量的导数.

(5) 参数方程求导.

注意，在没有明确要求的情况下，导数的结果可以包含，也可以包含参数变量.

(6) 对数求导法：遇到幂指函数结构，包括指数函数、幂函数、连乘、连除函数，都可以基于对数函数的运算法则，将其转换为对数函数描述来求导.

(7) 对于复杂函数一点处的导数值的计算也可以直接考虑利用导数的极限式定理来求导.

初等函数在其定义区间内任意点具有任意阶导数. 因此在定义区间内导数的存在性可以直接得出结论，并应用求导法则直接求导。

(1) 基本初等函数的求导公式，这些公式是间接法求函数的高阶导函数的基础.

(2) 基于线性运算法则

(3) 当函数为多项式函数与容易计算阶导数的函数的乘积的时候，对于导函数的计算可以考虑莱布尼兹公式。

(4) 数学归纳法：逐阶求导得出求导通项公式，或者直接得到指定阶的导数

(5) 阶导函数在分段点导数存在性的判定和计算如同函数导数存在性的判定，必须求得其阶导函数后在应用函数在分界点的判定思路与方法判定.

(6) 对于具体点的高阶导数值的计算一般使用泰勒公式中系数与导数的关系来获取.

(1) 微分的定义：注意是函数的增量是等于微分加上一个关于自变量增量的无穷小，而不仅仅是无穷小。

(2) 微分的计算与可微的证明：归结为导数的计算和可导性的证明即可.

特别注意，微分的结果在没有已知为具体数值时，结果一定有dx

(3) 微分的形式不变性. 与求导不同，微分可以分阶段求微分。注意的区别与联系.

7、变化率与相关变化率

(1) 导数的实际意义：变化率，增量比的极限

(2) 等式中变量变化率之间的关系（相关变化率）。解决相关变化率问题的一般步骤为：

第一步：画出示意图，为各相关变量命名，并标注在示意图中；

第二步：用变量符号写出已知的数据，并注意统一量纲；

第三步：正确建立各变量之间的关系，这是非常重要的一步；

第四步：对所建立的关系式关于时间（或其它属性的变量）求导数，得含有导数的关系式；

第五步：根据已知条件，计算出要求的变化率．

内容、题型总结和典型题解析请参见如下专题：

三、微分中值定理及其应用

费马引理、罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理

2、罗尔定理适用的问题类型

(1) 中值等式： 改写、简化中值等式，将所有项移到左侧，将中值符号改成变量符号，构建所得函数表达式的一个原函数（可以考虑乘以等辅助函数构建原函数），验证所设原函数满足罗尔定理的条件得到结论。 一般可以用拉格朗日中值定理、柯西中值定理能够证明的单个中值等式命题可以考虑应用罗尔定理来证明。

(2) 方程根或函数零点的数量： 反证法。 在根或零点构成的区间上，对所设函数应用罗尔定理，多个根多次应用罗尔定理，得到与已知条件矛盾的高阶中值等式结论来验证结论。

3、拉格朗日中值定理适用的问题类型

如果一个问题中包含有函数值、导数值、自变量的取值，要讨论它们之间的关系，不断是需要证明的是不等式结论还是等式结论，一般可以考虑拉格朗日中值定理来探讨问题可能的求解思路。 尤其是包含有函数值的符号，并且是需要验证的是中值一阶、二阶导数不等式命题，可以考虑一次，或多次拉格朗日中值定理来验证结论。

当遇到极限式中包含有函数值的差的极限计算问题也可以考虑拉格朗日中值定理转换极限问题求极限。

4、柯西中值定理适用的问题类型

一般用于证明中值等式命题，尤其是多个中值等式命题，一般结合柯西中值定理和拉格朗日中值定理一起来证明。 同样在某些特定的极限计算问题中，也可以应用柯西中值定理转换极限式来求极限。

5、泰勒中值定理适用的问题类型

(1) 用于证明包含二阶及二阶以上导数相关的结论。 一般带拉格朗日余项的泰勒公式用于证明，如中值等式、不等式的证明； 带皮亚诺余项的泰勒公式用于计算，如求无穷小的阶数，求极限，当然对于有些问题也可以考虑借助极限工具证明相关极限，典型例题如判定极值的第二充分条件。

(2) 记住常见的泰勒公式，应用直接法或间接法求函数的泰勒公式。 注意带皮亚诺余项的泰勒公式的运算法则。

(3) 应用泰勒公式求指定点的阶导数值。

注意应用的三个条件。 函数极限计算的一般思路是： 先考虑等价无穷小，再考虑四则运算法则，然后考虑洛必达法则，最后考虑泰勒公式法，其中注意导数定义求极限的应用。 对于一般数列极限的计算基于海涅定理（归结原则）转换为函数极限讨论。

7、函数的单调区间与极值的判定

(1) 求出函数在讨论区间内所有可能的驻点和不可导的点

(2) 比较以上各点与区间端点的函数值，最大者为最大值，最小者为最小值.

注意，如果讨论的区间为无穷区间，或开区间，则对于区间端点位置或无穷大求极限，考察极限值是否大于，或小于驻点或不可导点的函数值来确定是否取到极大值或极小值。

(3) 应用函数的单调性与极值证明函数不等式，或常值不等式的一般思路与步骤。

(4) 利用函数的单调性验证函数零点或方程根的唯一性。

8、闭区间上连续函数最值的求法

(1) 极值判定的两个充分条件，注意单调性的分界点为极值点，但极值点不一定为单调区间的分界点。

(2) 求函数单调区间与极值的一般步骤：

第一步： 求出函数的定义域；

第二步： 求函数的一阶导数，并求得其驻点与不可导点；

第三步： 以这些点为分点划分函数的定义区间．在各划分区间上，依据一阶导数的符号列表确定函数的单调区间，并判定这些分点是否为极值点．

注意，函数的极限点为自变量的值。

9、函数的凹凸性与拐点的判定

(1) 函数凹凸性与图形凹凸性的区别与联系；

(2) 函数凹凸性的几个不等式等价描述；

(3) 函数凹凸性与拐点的判定，基本步骤与极值的判定已知，只不过需要求二阶导数及判定二阶导数的符号。

(4) 利用函数的凹凸性验证函数不等式与常值不等式的基本思路与方法。

(5) 基于函数的单调性、极值、凹凸性判定函数根的数量。

注意，拐点为图形上点，所以拐点为点坐标描述。

利用分析方法描绘函数图形的一般步骤为：

第一步： 函数的一般性质分析： 确定函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、与坐标轴的交点；

第二步： 求一阶导数和二阶导数，确定使一阶、二阶导数等于0的点及不存在的点，即找出函数的可能极值点和拐点；

第三步： 列表分析，分别根据一阶、二阶导数符号确定函数的单调区间和凹凸区间、极值点和拐点；

第四步： 求水平渐近线、铅垂渐近线和斜渐近线，用渐近线界定曲线的变化趋势；

第五步： 描点作图，并标出关键点的坐标，使函数的图像轮廓清晰，特征分明．

(1) 应用曲率计算公式，会求显函数、隐函数、参数方程以及极坐标方程描述的曲线的曲率；

(2) 会求曲线在指定点处的曲率圆方程。

内容、题型总结和典型题解析请参见如下专题：

注意原函数与不定积分的区别，不定积分的结果中一定要加任意常数C。 计算得到的结果一定要求导验证是否正确。

注意借助“偶倍奇零”的计算性质和周期函数的简化、转换积分计算。

3、定积分的几何意义计算平面区域的面积

4、借助定积分的定义计算变项求和的极限

内容、题型总结和典型题解析请参见如下专题：

更详细的内容也可以直接参考公众号底部菜单高数线代下的"高等数学概率其他"选项，分章节参见高等数学内容小结、课件、题型分析与典型例题、习题详解和单元测试题。

高等数学第一学期主体内容和主要题型分析可以参阅在线课程“《高等数学》第一学期期末考试试题解析”，在线课程总时长约三个半小时。内容涵盖了函数与极限、一元函数导数与微分、微分中值定理及其应用，不定积分，定积分，常值级数等 。教学过程不只是就题论题，更重要的是如何审题，如何探索解题思路，内容不仅仅讨论了相应考题如何求解，更有解题思路的探索方法探讨！扫描以下二维码可以直达课程，或者点击本文左下角“阅读原文”直达课堂.

●高等数学、线性代数、概率统计等课程完整推送内容参见公众号底部菜单高数线代下的各选项，主要内容包括各章节内容总结、课件，题型、知识点与典型题分析、典型习题讲解、知识点扩展与延伸和单元测试题等！

●历届考研真题及详细参考解答浏览考研帮助菜单中考研指南真题练习选项

●全国、省、市、校竞赛真题、模拟试卷请参见公众号底部竞赛实验下竞赛试题与通知选项

●全国赛初赛历届真题解析教学视频/高等数学解题思路、方法探索与“解题套路”，参见咱号配套在线课堂的历届竞赛真题解析课程，具体介绍请在公众号会话框回复“在线课堂”或者点击公众号菜单高数线代下的在线课堂专题讲座选项了解！

关注技术领域的头条文章

聚合全网技术文章，根据你的阅读喜好进行个性推荐