n阶矩阵一定有n个特征向量A的n阶特征值怎么求？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-11-25 03:39 标签： n阶矩阵一定有n个特征向量

设A为n阶矩阵,证明A的转置与A的特征值相同

公司要租用一辆汽车,一家出租汽车公司的租费为：每100千米租费150元；一家个体出租汽车司机的租费为：每月付800元工资,另外每100千米付50元油费.试判断该公司租用哪家的汽车费用较低?要解题的步骤

若∠A与∠ B互为补角,∠B与∠C互为余角,则∠A与∠C的关系是

角A的补角C,角C又是角B的余角,所以角A一定是（）?

二十一、特征值和特征向量

1、特征值和特征向量的定义、求解

需要注意的是，特征向量一定是非零向量，但特征值可以为0(可以为实数，也可以为虚数、复数)

国内线代教材都有特征值和特征向量的求解方法，这里不再赘述

2、特征值和特征向量的几何意义

对于某矩阵\(A\)而言，设\(C(A)\)空间对应的投影矩阵为\(P\)，则:

二十二、对角化和A的幂

对于n阶方阵A而言，若它有n个线性无关的特征向量，则它可以被可逆阵\(P\)对角化为对角阵\(\Lambda=P^{-1}AP\)

2、利用对角化快速求方阵的幂

3、利用对角化快速求解差分方程

4、利用对角化快速计算斐波那契数列

再构造如下差分方程组：

然后用(3)中的差分方程求解方法快速求解即可

由于这里A的特征值均大于1，因此\(\Lambda ^k\)中的元素将不断增长，从而可见该数列不是收敛的

二十三、微分方程和\(e^At\)

其中A是上述方程组的系数矩阵

这是一个只有唯一解的线性方程组，可以直接解出\(c_1,c_2\)

0\)，此时称函数可以达到稳定性

A为n阶方阵，则其对应的指数矩阵为：

同一般的函数一样，指数矩阵也可以泰勒展开为：

该级数总会收敛于某个值

对于更高阶的微分方程，如5阶微分方程

我们可以构造如下方程组：

然后再类比2中的方法即可解出该方程

二十四、马尔可夫矩阵,傅立叶级数

马尔可夫矩阵(Markov matrix)是一个与概率有关的n阶方阵，其中每个元素均非负，且每一列的元素之和等于1

马尔可夫矩阵性质1：一定有特征值等于1

马尔可夫矩阵性质2：其余特征值的模均小于1

  • 证明涉及Gershgorin圆盘定理，非常复杂，这里略去

这两条性质决定了马尔可夫矩阵A可以对角化时(不妨设其特征值\(\lambda_1=1\),其余小于1)

2、马尔可夫矩阵的应用

人口迁移问题：只考虑麻省人口\(u_m\)和加州人口\(u_c\)之间的迁移。每年加州有10%的人口迁往麻省，麻省有20%的人口迁往加州。

将最初加州和麻省的人口情况用一个二维列向量\(u_0\)表示：

设经过k年后加州和麻省的人口为二维列向量\(u_k\)，则：

因此这里我们也可以通过类似的方式求解\(a_i,b_i\)，即把\(f(x)\)投影到一系列相互正交的函数上，如对等式两边同时内积\(cosx\)：

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