12348每个数字只用一次,使等式成立?

将下面的八进制数转换成二进制数和十六进制数:

将下面的十六进制数转换成二进制数和八进制数:

将下面的数转换成十进制:

将下面的二进制数相加,指出所有的进位:

利用减法而不是加法重复训练题

,指出所有的借位而不是进位。

将下面的八进制数相加:

上一次,我介绍了一些。

有了这些知识,我们就可以看懂。这是目前地球上最重要的加密算法。

我们通过一个例子,来理解RSA算法。假设要与鲍勃进行加密通信,她该怎么生成公钥和私钥呢?

第一步,随机选择两个不相等的质数p和q。

爱丽丝选择了61和53。(实际应用中,这两个质数越大,就越难破解。)

第二步,计算p和q的乘积n。

爱丽丝就把61和53相乘。

n的长度就是密钥长度。3233写成二进制是,一共有12位,所以这个密钥就是12位。实际应用中,RSA密钥一般是1024位,重要场合则为2048位。

第三步,计算n的欧拉函数φ(n)。

爱丽丝就在1到3120之间,随机选择了17。(实际应用中,常常选择65537。)

第五步,计算e对于φ(n)的模反元素d。

所谓就是指有一个整数d,可以使得ed被φ(n)除的余数为1。

于是,找到模反元素d,实质上就是对下面这个二元一次方程求解。

这个方程可以用求解,此处省略具体过程。总之,爱丽丝算出一组整数解为 (x,y)=(2753,-15),即

第六步,将n和e封装成公钥,n和d封装成私钥。  

实际应用中,公钥和私钥的数据都采用格式表达()。

七、RSA算法的可靠性

回顾上面的密钥生成步骤,一共出现六个数字:

这六个数字之中,公钥用到了两个(n和e),其余四个数字都是不公开的。其中最关键的是d,因为n和d组成了私钥,一旦d泄漏,就等于私钥泄漏。

那么,有无可能在已知n和e的情况下,推导出d?

  (3)n=pq。只有将n因数***,才能算出p和q。

结论:如果n可以被因数***,d就可以算出,也就意味着私钥被破解。

可是,大整数的因数***,是一件非常困难的事情。目前,除了暴力破解,还没有发现别的有效方法。维基百科这样写道:

  "对极大整数做因数***的难度决定了RSA算法的可靠性。换言之,对一极大整数做因数***愈困难,RSA算法愈可靠。

  假如有人找到一种快速因数***的算法,那么RSA的可靠性就会极度下降。但找到这样的算法的可能性是非常小的。今天只有短的RSA密钥才可能被暴力破解。到2008年为止,世界上还没有任何可靠的攻击RSA算法的方式。

  只要密钥长度足够长,用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。"

举例来说,你可以对3233进行因数***(61×53),但是你没法对下面这个整数进行因数***。

它等于这样两个质数的乘积:

事实上,这大概是人类已经***的最大整数(232个十进制位,768个二进制位)。比它更大的因数***,还没有被报道过,因此目前被破解的最长RSA密钥就是768位。

有了公钥和密钥,就能进行加密和解密了。

(1)加密要用公钥 (n,e)

假设鲍勃要向爱丽丝发送加密信息m,他就要用爱丽丝的公钥 (n,e) 对m进行加密。这里需要注意,m必须是整数(字符串可以取ascii值或unicode值),且m必须小于n。

所谓"加密",就是算出下式的c:

爱丽丝的公钥是 (3233, 17),鲍勃的m假设是65,那么可以算出下面的等式:

于是,c等于2790,鲍勃就把2790发给了爱丽丝。

(2)解密要用私钥(n,d)

爱丽丝拿到鲍勃发来的2790以后,就用自己的私钥() 进行解密。可以证明,下面的等式一定成立:

也就是说,c的d次方除以n的余数为m。现在,c等于2790,私钥是(),那么,爱丽丝算出

因此,爱丽丝知道了鲍勃加密前的原文就是65。

至此,"加密--解密"的整个过程全部完成。

我们可以看到,如果不知道d,就没有办法从c求出m。而前面已经说过,要知道d就必须***n,这是极难做到的,所以RSA算法保证了通信安全。

你可能会问,公钥(n,e) 只能加密小于n的整数m,那么如果要加密大于n的整数,该怎么办?有两种解决方法:一种是把长信息分割成若干段短消息,每段分别加密;另一种是先选择一种"对称性加密算法"(比如),用这种算法的密钥加密信息,再用RSA公钥加密DES密钥。

最后,我们来证明,为什么用私钥解密,一定可以正确地得到m。也就是证明下面这个式子:

于是,c可以写成下面的形式:

将c代入要我们要证明的那个解密规则:

接下来,分成两种情况证明上面这个式子。

(2)m与n不是互质关系。

此时,由于n等于质数p和q的乘积,所以m必然等于kp或kq。

以 m = kp为例,考虑到这时k与q必然互质,则根据欧拉定理,下面的式子成立:

这时t必然能被p整除,即 t=t'p

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