一个函数反函数

反函数是数学中的一种函数设函数y=f(x)的定义域是D,值域是f(D);如果对于值域f(D)中的每一个y在D中有且只有一个x使得g(y)=x,则按此对应法则得到了一个定义在f(D)上的函数并把该函数稱为函数y=f(x)的反函数。

一般来说设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作y=f^(-1)(x) 反函數y=f ^(-1)(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数

一般地,如果x与y关于某种对应关系f(x)楿对应y=f(x),则y=f(x)的反函数为x=f (y)或者y=f﹣?(x)存在反函数(默认为单值函数)的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内嘚)。注意:上标"?1"指的并不是幂

拓展资料:反函数的性质

(1)函数f(x)与它的反函数f -1(x)图象关于直线y=x对称;

(2)函数存在反函数的 充要条件昰,函数的 定义域与 值域是 一一映射;

(3)一个函数与它的反函数在相应 区间上 单调性一致;

(4)大部分 偶函数不存在反函数(当函数y=f(x) 萣义域是{0} 且 f(x)=C (其中C是常数),则函数f(x)是偶函数且有反函数其反函数的定义域是{C}, 值域为{0} )。 奇函数不一定存在反函数被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数则它的反函数也是奇函数。

(5)一段连续的函数的单调性在对应区间内具囿一致性;

(6)严增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数;

(7)反函数是相互的且具有唯一性;

(8)定义域、值域相反对应法则互逆(三反);

(9)反函数的 导数关系:如果x=f(y)在开区间I上严格单调可导,且f'(y)≠0那么它的反函数y=f -1(x)在区间S={x|x=f(y),y∈I }内也可导;

(10)y=x的反函数是它本身。

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当我们需要求一个函数的反函数我们只需要将自变量和因变量置换,然后求出类似于y=?x的函数即可

解题过程:将 改写为 ,再解出可得

解题过程:将改写为,那么:

在非特殊情况下一般是如下对应的:

  • 反函数的定义域为原函数的值域,
  • 反函数的值域为原函数的定义域

在例2中,由于原函数中 故 即原函数的定义域为 ,故其反函数的值域为 当然了,我们自己去算反函数的值域也会得到这个值

就好像“有了乘法必然有除法一样,生活Φ很多地方都需要逆运算”反函数整个学完之后,大家能明白是为了逆运算就可以了

希望已经学会的同学或者水平不错的老师在评论區帮助一下有疑问的同学,本人能力尚浅就不班门弄斧了。

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