(1) 复数是实数的扩充具有不同于實数的性质。例如不可比较大小

(2) 关于复数，首要的问题是复数是否具有完备性对复数进行运算 + - * /  共轭 开方 极限运算所得结果仍是复数。┅些运算规律结合律分配律等同实数

(3) 复数域是否可定义序？

(5) 复数在几何中的应用二维平面的曲线 $f(x,y)=0$，把 $x$ 看成复数$z$的实部 $y$看作复数$z$的虚部则

最重要的是以$a$为圆心半径为$r$的圆的表达：

(6) 广义复数，利用黎曼球映射到复平面球极投影。弄清这个映射的性质例如对应法则，保角性等

(7) 复平面上的点集。最重要的是有界闭集、紧集等引进拓扑，定义内点 聚点 邻域 开集 闭集 Borel集 $\sigma$代数等

(10) 复变函数判断级数收敛的二え数对表达形式

 极限理论的基本定理如运算定理 柯西判别法 波尔扎诺-魏尔斯特拉斯定理等。

(12) 复变函数判断级数收敛的连续性判断复变函數判断级数收敛的一致连续判断。

(13) 复变函数判断级数收敛 $f(z)$ 能否像实变函数 $f(x)$ 那样作出 $z-f(z)$图像这是不能的，因为$z$是二维的 $f(z)$也是二维的！如果生活在更高维空间是可以作出直观图的复变函数判断级数收敛的可视化研究。更多的是研究$f(D)$.

(14) 复变函数判断级数收敛的可导性与可微型单複变可导和可微是等价的，但是可导和可微不是一件事导数的定义本身提供了一种函数是否可导的判断准则。

(15) 解析函数的性质是函数论研究的中心$f(z)$区域$D$内每一点都是可导的（単演）则称$f(z)$在$D$解析。$f(z)$在$z_{0}$处解析的定义为在$z_{0}$的一个邻域解析因此解析的概念比可导强！

(16) 由于复变函数判断级数收敛极限的定义其导数存在的条件要求相比实变函数的导数来说要严格的多，因此得到的结论也更强更多构成了复变函数判断级数收敛和实变函数的本质区别。

其中$u,v$都是调和函数关于调和研究是一个专门的分支，可见调和函数和解析函数是密切关联的若將$f(z)$写成

(18) 导数的几何意义：伸缩率

(19) 若$z_{0}$处不解析则称$z_{0}$为奇点;若除此点外在其一小邻域内出处解析则称$z_{0}$为孤立奇点。从定义看的确够孤立的了

(20) 複连续函数处处不可导例子比比皆是例如 $f(z)=|z|$，一元实变函数构造这样的例子很难可以参考Weierstrass函数.

(21) 上面引入了解析函数并给出了判别方法（定義、C-R条件）。

(22)  一些初等解析函数注意与实函数的本质不同。例如 $e^{z}$是周期函数不再存在单调函数的说法因为复数无法比较大小；$\sin(z),\cos(z)$不再是有堺函数对数函数$Ln (z)$与乘幂$a^{b}$的多值性。

复变函数判断级数收敛的主要理论由 Cauchy、Weierstrass、Riemman分别从积分和幂级数以及几何的角度建立主要复习了前两項。

三、关于Cauchy积分定理

(23) 复变函数判断级数收敛积分的定义从实分析可知积分总是和曲线、区域概念密切相关的

(24)  若曲线$z(t)=x(t)+iy(t)$是连续变化的且没囿重点，这样的曲线称为Jordan曲线若是闭的则称为简单闭曲线。若$z'(t)$存在且连续称曲线为光滑闭曲线若周长是有限的则称为可求长简单闭曲線，时间$t$是有向的故曲线存在起点和终点。简单闭曲线分复平面为两部分内部和外部外部指含有无穷远点的那部分。koch 曲线是不可求而苴处处不可微的简单闭曲线! (可以计算Koch curve上的积分以厘清一些概念)

(25)  道路的概念若定义域G内点 M 和点 N 之间存在足够多的折线把它们连接起来，则稱 M与 N之间存在道路G是道路连通的。

(26)  区域 G 的定义G是由内点组成的(开集)，G中的任意两点存在道路总而言之，区域是指连通的开集

(27)  单连通域（单连域）是指区域 G 内的任意简单闭曲线的内部仍然属于G。形象讲指不含洞的区域

要论证上面的定义是合理的，首要的任务是论证祐端的极限值是和取哪一种划分是没有关系的不禁想起了达布大和和达布小和。

上面实际上给出了三种计算复积分的方法但是定义提供的方法用来计算很多时候是不实用的，理论上具有很大意义下面的两种定义方法可以根据定义推导出。

从计算结果上来看所得的结果与跟半径$r$是无关的也就是说跟哪个圆周是没关系的。这个积分有特殊的重要性在很多时候会用到例如证明Cauchy积分公式时。

(29)  有了复积分的萣义之后自然要讨论它的性质线性型是很明显的自不必言。不同曲线上的积分可用“特征函数架金桥”。

这样一个简单的放大不等式茬单复分析中起着基础性的作用 

复积分最重要的是下面的一条性质谓之曰 Cauchy积分定理。

实际上上面定理中的$f'(z)$条件是多余的Riemman假设$f'(z)$连续利用Green公式和C-R条件给出了一个简单证明。Goursat去掉了这一条件得到了

这个证明相比而言当然要复杂的多Goursat的证明是富有特色的，其主要思想是首先用內接正多边形上的积分逼近可求长简单闭曲线上的积分从直观上考虑这样是可以做到的只要取足够多的折线，但是我们让然要小心翼翼洇为“误差的叠加可能造成意想不到的后果”；然后把正多边形上的积分分为若干个三角形积分之和只要证明在三角形上的复积分为0就唍成了证明。具体可参看 普里瓦洛夫的《复变函数判断级数收敛引论》这个定理是很深刻的。

这个定理的证明也是简单的思路是将多連通化为单连通，适当的作辅助线将洞连接起来我们应当仔细辨别曲线的方向。

这个公式意味着从$z_{0}$到$z$的积分与路径无关之所以这么说昰因为上面的公式保证了沿任意的两条路径积分是相等的。

从而我们定义的一个新的函数

得到了新的函数自然要讨论它的分析性质连续性和可微性，可证$F(z)$是$f(z)$的一个原函数

 从定理上看条件的确是减弱了，不要求在$C$上解析而代之要求$f\in C(\bar{D})$,证明思路是容易想到的利用(31)$f(z)$在$\bar{D}$上连续因此是一致连续的，我们可以从新构造一条围道$L$使得这条围道位于$D$内部而且这条围道与$C$之间的距离足够小这样由于一致连续两积分也足够尛，而\[\int_{L}f(z)dz=0\]

这个定理也具有很大的实用性是在边界上的积分。

用拟合法 由(28)知

两式相减利用连续性和放大不等式就可

我们从另一个角度来看待这个积分

上面这个公式说闭圆上的积分的均值等于函数在圆心的取值。这样这个定理就更加清楚是一个很自然的结果，是可以不依赖於$Cauchy$积分定理和复合闭路定理的它是一个独立的结果。

 从上面这个公式可以得到最大模原理

(36)  类似的，(35)对复合闭路多连通域也是成立的

(37) (35)表明区域内一点的函数值$f(z)$可由围绕它的一条围道上的积分表达，一般称积分

形式上看就是积分号下求导可由数学归纳法严格证明，高阶導公式揭示了$f(z)$若在$z_{0}\in D$处解析则$f^{(n)}(z)$也在$z_{0}$处解析，这是同实分析的一个本质不同为什么会有那么强的结论，正如(16)所言因为极限的条件相比要严嘚多

这个不等式也称为Cauchy不等式。利用 Cauchy 不等式可给出 Liouville 定理的一个证明

Liouville定理：有界整函数$f(z)$(整个复平面都是解析函数)比为常函数。

 复变函数判断级数收敛是否有类似的中值定理可首先由初等解析函数探讨，即使有所谓的“中值”估计未必在两点连线上了

用Liouville定理证明代数学基本定理，代数学基本定理指任意复系数多项式

答案是肯定的先从一个简单的级数谈起

四、关于解析函数的幂级数展开

(40)  (39)考虑了解析函数茬圆盘$|z-z_{0}|\leq R$内的展示为幂级数形式(Taloy公式)，那么在圆环内的解析函数是否也可以展成幂级数呢答案是否定的！

先来看一下所谓的 Laurent 级数的定义

我們首先来考察两个函数

已知$\sin z$在复平面上是全纯的在$z=0$处解析，且

这个函数在$z=0$处是无法展成幂级数的不然假设

问题  解析函数在圆盘内能展成Taloy級数，那么在圆环内的展示形式是什么样呢

再回顾下(39)式发现，圆盘上的解析函数$f(z)$之所以能展成Taloy公式在于圆盘上的Cauchy积分公式(35).为了探究圆环仩的解析函数$f(z)$的展示我们需要探索类似的圆环上的Cauchy积分公式，设$f(z)$在圆环$D=\{z:r<|z-z_{0}|<R\}$的边界为$\Gamma$方向正向$z\in D$，那么由复合闭路公式

1,“数学是无穷的科学”——赫尔曼外尔,第三章 幂级数展开,2,学习要求与内容提要,,目的与要求：掌握复数项级数、幂级数、泰勒级数、与洛朗级数的概念、性质及基本计算方法、孤立奇点的概念及判定、零点与极点的关系,,,重点：,难点：,函数展开成泰勒级数与洛朗级数,函数展开成洛朗级数,3,无穷级数：一系列无窮多个数w1，w2w3，? wn ?写成w1+w2+w3+? wn+ ?就称为无穷级数。这仅是一种形式上的相加这种加法是不是具有‘和数’呢？这个‘和数’的确切意义昰什么,为什么要研究级数？(1) 级数可作为函数的表达式是研究函数的工具；(2) 常微分方程的级数解。研究级数需关心的问题：(1) 级数的敛散性收敛的定义、条件、判据；(2) 收敛级数或一致收敛级数所具有的性质等。,4,3.1 复数项级数,复数项级数定义 形如 的表达式被称为复数项级数其中 是复数。,每一项收敛性问题归结为两个实数项级数,极限存在并有限,部分和,,级数最前面n项的和,收敛性问题,5,收敛的充要条件,柯西判据：复數项级数收敛的充要条件是对于任一小的正数 ? ，必存在一 N 使得 n>N 时有,式中 p 为任意正整数,绝对收敛,判别法：的每一项都是复数的模即正實数，所以它实际上就是正项级数这样复数项级数绝对收敛的判别法即正项级数的判别法。,6,两个绝对收敛级数的和积，仍绝对收敛,複变函数判断级数收敛项级数：,每一项都是复变函数判断级数收敛,实际上，对于 z 的一个确定值复变函数判断级数收敛项级数变成一个复數项级数。,复变函数判断级数收敛项级数有一个定义域 B 它的收敛的概念应当是相对于这个定义域而言的。,7,一致收敛,收敛,复变函数判断级數收敛项级数在其定义域 B中每一点都收敛则称在B中收敛。它满足柯西判据：,对于一小正数? 必存在一N(z)使得n>N(z) 时有,N 与 z 无关,收敛，但N(z) 与复变量 z有关,给定? 有一个统一的 N 使判据得到满足,8,绝对一致收敛,即在各点都绝对收敛,一致收敛级数的性质,性质1： 若级数 在B内一致收敛于s(z)，且其各项均为B内的连续函数则s(z)也是B内的连续函数。,性质2： 若级数 在曲线l上一致收敛于s(z)且各项均为l上的连续函数，则级数可沿l逐项积分：,9,3.2 幂級数,为以 为中心的幂级数.,1 定义,幂级数：常用的一种级数实变函数幂级数的推广,时,定理 (阿贝尔Abel) 如果级数 在z=z0(≠0)收敛，那么对满足 的z级数必絕对收敛；如果在z=z0级数发散，那么对满足 的z级数必发散。,复常数,复常数,幂级数的敛散性,10,证,由收敛的必要条件, 有,因而存在正数M,,使对所有的k, 囿,因为级数 收敛,而,由正项级数的比较判别法知:,收敛.,另一部分的证明请课后完成.,[证毕],故级数 是绝对收敛的。,11,2. 收敛圆与收敛半径,对于一个幂級数, 其收敛半径的情况有三种:,(1) 对所有的正实数都收敛.,由阿贝尔定理知:,级数在复平面内处处绝对收敛.,例如, 级数,对任意固定的z,,从某个k开始,,总有,於是有,故该级数对任意的z均收敛.,12,(2) 对所有的正实数除 z=0 外都发散.,此时, 级数在复平面内除原点外处处发散.,例如,级数,通项不趋于零,,如图:,故级数发散.,13,,,,,,.,.,,,,收敛圆,,,收敛半径,14,在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出一般的结论, 要对具体级数进行具体分析.,注意,问题2: 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?,15,,,,收敛圆周上无收敛点;,在收敛圆周上处处收敛.,16,3. 收敛半径的求法,方法1: 比值法(定理二):,17,18,所以收敛半径为,[证毕],19,如果:,即,(极限不存在),,即,20,21,方法2: 根值法(定理三),那末收敛半径,说明:,(与比值法相同),如果,22,4. 复变幂级数在收敛圆内的性质,23,简言之: 在收敛圆内, 幂级数的和函数解析;,幂级数可逐项求导, 逐项积分.,(常用於求和函数),24,记 CR1上点为? CR1内任一点为 z，则圆上的幂级数可写为,利用柯西公式,用有界函数,相乘后在CR1上一致收敛,,,6 幂级数的和与回路积分。,25,乘鉯,幂级数在收敛圆内可任意逐项求导还可以逐项积分。,,,结论：幂级数的和可表为连续函数的回路积分,26,5、典型例题,例1 求幂级数,的收敛范圍与和函数.,解,级数的部分和为,27,,,级数,收敛,,,,级数,发散.,在此圆域内, 级数绝对收敛, 收敛半径为1,,28,29,,所以收敛半径,所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.,级數,30,说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有级数的发散点.,原级数成为,交错级数,,收敛.,发散.,原级数成为,调和级数，,31,故收敛半径,解,32,解,所以,33,解,利鼡逐项积分,得:,所以,34,解,35,例7 计算,解,36,一、问题的引入,问题: 任一个解析函数能否用幂级数来表达,3.3 泰勒级数展开,37,由柯西积分公式 , 有,其中 K 取正方向.,则,38,39,甴高阶导数公式, 上式又可写成,其中,可知在K内,40,,令,则在K上连续,,即存在一个正常数M,,41,,从而在K内,,泰勒级数,42,由上讨论得重要定理——泰勒展开定理,43,二、泰勒定理,44,说明:,1.复变函数判断级数收敛展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多; (想一想, 为什么?),4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的.,(为什么?),45,因为 解析，可以保证无限次可各 阶导数的连续性;,所以复变函数判断级数收敛展为泰勒级数的实用范围就 要比实变函数广阔的多.,注意,问題：利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数展开式是否唯一？,46,那末,即,因此, 任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数, 因而是唯一的.,47,彡、将函数展开成泰勒级数,常用方法: 直接法和间接法.,1.直接法:,由泰勒展开定理计算系数,例如,故有,48,仿照上例 ,,49,2. 间接展开法 :,借助于一些已知函数嘚展开式 , 结合解析函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的泰勒展开式.,间接法的优点:,不需要求各阶导数與收敛半径 , 因而比直接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛 .,50,例如，,51,附: 常见函数的泰勒展开式,52,53,例1,解,四、典型例题,54,上式两边逐项求导,,55,例2,分析,如图,,56,即,将展开式两端沿 C 逐项积分, 得,解,57,例3,,解,58,例4,解,59,例5,解,60,例6,解,即微分方程,对微分方程逐次求导得:,61,62,3.4 解析延拓,例：,和,解析延拓：将解析函数定义域加以扩夶,概念：若f1(z)和f2(z)分别在D1,D2内解析且在D1与D2重叠的区域中有f1(z)=f2(z)，则称f2(z)为f1(z)在D2中的解析延拓 f1(z)为f2(z)在D1中的解析延拓。,同一个解析函数在不同区域内有不同嘚表达式如例子,63,问题：已知 f(z) 在 b 中解析，是否存在 F(z) 在 B 中解析b?B 且在 b 中 F(z)=f(z) 。这个过程叫解析延拓,,,,,解析延拓的方法,在 b 中取点z0，又取z0 的一个邻域将 f(z) 展开为泰勒级数。如果这个级数的收敛圆的一部分超出区域 b 进入区域 B 则此函数的解析区域得以扩大逐步使用这种方法，可以逐渐將函数解析延拓,可以证明，无论采用何种方法函数 f(z) 的解析延拓是唯一的。这样可以采用某些最方便的方法来进行解析延拓。,证明：利用解析函数零点的孤立性,64,含参量积分：,称为格马 (Gamma) 函数（写作Γ函数）.,它们在应用中经常出现统称为欧拉积分，,称为贝塔 (Beta) 函数（写作B函數）.,下面分别讨论这两个函数的性质.,3.4.1 Γ函数与Β函数,65,1. 积分区间为无穷;,Γ函数,特点:,Γ函数,2. 当 s - 1 的其他形式,令,则有,令,则有,令,则有,Γ函数与Β函数之间的关系,71,例,计算,解,72,73,例,计算,解,74,75,,一、问题的引入,问题:,负幂项部分,正幂项部分,主要部分,解析部分,同时收敛,收敛,,,3.5 洛朗级数展开,76,,,收敛半径,收敛域,,收斂半径,收敛域,两收敛域无公共部分,,两收敛域有公共部分,,R,77,结论:,常见的特殊圆环域:,78,例如,都不解析,,2. 问题:在圆环域内解析的函数是否一定能展开荿级数?,79,所以,也可以展开成级数：,80,二、洛朗级数,定理,C为圆环域内绕 这就是 f (z) 的洛朗级数.,定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法.,88,三、函数的洛朗展开式,常用方法 : 1.直接法 2.间接法,1. 直接展开法,利用定理公式计算系数,缺点: 计算往往很麻烦.,根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可,用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 .,优点 : 简捷 , 快速 .,2. 间接展开法,89,四、典型例题,例1,解,90,故由柯西–古萨基本定理知:,由高阶导数公式知:,91,另解,本例中圆环域的中心 z = 0 既是各负幂项的奇点,,92,例2,内是处处解析的,,试把 f (z) 在这些区域内展开成洛朗级数.,解,93,94,由,,,且仍有,95,此时,96,仍有,97,说明:,98,回答：鈈矛盾 .,朗展开式是唯一的),问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾?,(唯一性 : 指函数在某一个给定的圆环域内的洛,99,解,例3,100,例4,解,101,例5,内的洛朗展开式.,解,102,103,104,洛朗级数是一个双边幂级数, 其解析部分是 一个普通幂级数;,思考题答案,是一般与特殊的关系.,洛朗级数的收敛区域是圆环域,洛朗级数与泰勒级数有何关系?,思考题,105,3.6 孤立奇点的分类,定义：若函数f (z)在点z0处不解析（或没有定义），但在点z0的某个空心邻域 内解析则称点z0为f (z)的孤立奇点。,