初中生实用辞典·物理
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长度和密度的测量
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大学物理实验(全)
大学物理实验实验误差分析与数据处理1 测量与误差1.1 测量及测量的分类物理实验是以测量为基础的。在实验中，研究物理现象、物质特性、验证物理原理都需 要进行测量。所谓测量，就是将待测的物理量与一个选来作为标准的同类量进行比较，得出 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 它们的倍数关系的过程 。选来作为标准的同类量称之为单位，倍数称为测量数值。一个物理 ．．．．．．．．．． 量的测量值等于测量数值与单位的乘积。 在人类的发展历史上，不同时期，不同的国家，乃至不同的地区，同一种物理量有着许 多不同的计量单位。如长度单位就分别有码、英尺、市尺和米等。为了便于国际交流，国际 计量大会于 1990 年确定了国际单位制（SI） ，它规定了以米、千克、秒、安培、开尔文、摩 尔、坎德拉作为基本单位，其他物理量（如力、能量、电压、磁感应强度等）均作为这些基 本单位的导出单位。 1．直接测量与间接测量 测量可分为两类。一类是直接测量，是指直接将待测物理量与选定的同类物理量的标准 单位相比较直接得到测量值的一种测量。它无须进行任何函数关系的辅助运算。如用尺测量 长度、以秒表计时间、天平称质量、安培表测电流等。另一类是间接测量，是指被测量与直 接测量的量之间需要通过一定的函数关系的辅助运算， 才能得到被测量物理量的量值的测量。4? 2 l ，求 T2 得重力加速度 g。物理量的测量中，绝大部分是间接测量。但直接测量是一切测量的基础。 不论是直接测量，还是间接测量，都需要满足一定的实验条件，按照严格的方法及正确地使 用仪器，才能得出应有的结果。因此实验过程中，一定要充分了解实验目的，正确使用仪器， 细心地进行操作读数和记录，才能达到巩固理论知识和加强实验技能训练的目的。如单摆测量重力加速度时，需先直接测量单摆长 l 和单摆的周期 T，再应用公式 g ?2．等精度测量与不等精度测量 同一个人，用同样的方法，使用同样的仪器，在相同的条件下对同一物理量进行多次测 量，尽管各次测量并不完全相同，但我们没有任何充足的理由来判断某一次测量更为精确， 只能认为它们测量的精确程度是完全相同的。我们把这种具有同样精确程度的测量称之为等 精度测量。在所有的测量条件中，只要有一个发生变化，这时所进行的测量即为不等精度测 量。在物理实验中，凡是要求多次测量均指等精度测量，应尽可能保持等精度测量的条件不 变。严格地说，在实验过程中保持测量条件不变是很困难的。但当某一条件的变化对测量结 果的影响不大时，乃可视为等精度测量。在本书中，除了特别指明外，都作为等精度测量。1.2 误差及误差的表现形式1．误差1大学物理实验物理量在客观上有着确定的数值，称为真值。测量的最终目的都是要获得物理量的真值。 但由于测量仪器精度的局限性、测量方法或理论公式的不完善性和实验条件的不理想，测量 人员不熟练等原因，使得测量结果与客观真值有一定的差异，这种差异称之为误差。若某物 理量测量的量值为 x，真值为 A，则产生的误差?x 为： ?x = x C A 任何测量都不可避免地存在误差。在误差必然存在的条件下，物理量的真值是不可知的。所 以在实际测量中计算误差时，通常所说的真值有如下几种类型： （1）理论真值或定义真值。如用平均值代替真值，三角形内角何等于 180°等。 （2）计量约定真值。如前面所介绍的基本物理量的单位标准，以及国际大会约定的基本 物理量。 （3）标准器相对真值（或实际值） 。用比被标准过的仪器高一级的标准器的量值作为标 准器相对真值。例如：用 0.5 级的电流表测得某电路的电流为 1.200A，用 0.2 级电流表测得的 电流为 1.202A，则后者可示为前者的真值。 2．误差的表示形式 误差的表示形式有绝对误差和相对误差之分。绝对误差是测量值和真值的数值之差 ： ．．．．．．．．．．．．．．．． ? = x C A （1-1） 根据绝对误差的大小还难以评价一个测量结果的可靠程度，还需要考虑被测量本身的大 小，为此引入相对误差，相对误差 E 定义为绝对误差 ? 与被测量量的真值 x 的比值，即：E??x? 100%（1-2）相对误差常用百分比表示。它表示绝对误差在整个物理量中所占的比重，它是无单位的 一个纯数，所以既可以评价量值不同的同类物理量的测量，也可以评价不同物理量的测量， 从而判断它门之间优劣。 如果待测量有理论值或公认值，也可用百分差来表示测量的好坏。即：百分差 E0 ? 测量值 ? 公认值 公认值 ?100%（1-3）1.3 误差的分类既然测量不能得到真值，那么怎样才能最大限度的减小测量误差并估算出误差的范围 呢？要解决这个问题，首先要了解误差产生的原因及其性质。测量误差按其产生的原因与性 质可分为系统误差、随机误差和过失误差。 1．系统误差 ．．．． 在一定条件下（指仪器、方法和环境）对同一物理量进行多次测量时，其误差按一定的 规律变化，测量结果都大于真值或都小于真值。系统误差产生的原因可能是已知的，也可能 是未知的。产生系统误差的原因主要有： （1）由于仪器本身存在一定的缺陷或使用不当造成的。如仪器零点不准、仪器水平或铅 直未调整、砝码未校准等。2大学物理实验（2）实验方法不完善或这种方法所依据的理论本身具有近似性。例如用单摆测量重力加 速度时，忽略空气对摆球的阻力的影响，用安培表测量电阻时，不考虑电表内阻的影响等所 引入的误差。 （3）实验者生理或心理特点或缺乏经验所引入的误差。例如有人读数时，头习惯性的偏 向一方向，按动秒表时，习惯性的提前或滞后等。 2．随机误差 ．．．． 同一物理量在多次测量过程中，误差的大小和符号以不可预知的方式变化的测量误差称 为随机误差，随机误差不可修正。随机误差产生的原因很多，归纳起来大致可分为以下两个 方面： （1）由于观测者在对准目标、确定平衡（如天平） 、估读数据时所引入的误差。 （2）实验中各种微小因素的变动。例如，实验装置和测量机构在各次调整操作上的变动 性，实验中电源电压的波动、环境的温度、湿度、照度的变化所引起的误差。 随机误差的出现，单就某一次观测来说是没有规律的，其大小和方向是不可预知的。但 对某一物理量进行足够多次测量，则会发现随机误差服从一定的统计规律，随机误差可用统 计方法进行估算。1.4 测量的精密度、准确度、精确度我们常用精度反映测量结果中误差大小的程度。误差小的精度高，误差大的精度低，这 里精度却是一个笼统的概念，它并不明确表示描写的是哪一类误差，为描述更具体，我们把 精度分为精密度、准确度和精确度。 1．精密度 精密度表示测量结果中的随机误差大小的程度。它是指在一定条件下进行重复测量时， 所得结果的相互接近程度。它用来描述测量得重复性。精密度高，即测量数据得重复性好， 随机误差较小。（i）精密度（ii）准确度（iii）精确度图 1-1 测量的精密度、准确度、精确度图示（以打靶为例）3大学物理实验2．准确度 准确度表示测量结果中系统误差大小得程度。用它来描述测量值接近真值得程度。准确 度高，即测量结果接近真值得程度高，系统误差小。 3．精确度 精确度是对测量结果中系统误差和随机误差的综合描述。它是指测量结果的重复性及接 近真值的程度。 为了形象地说明这三个概念的区别和联系，我们以打靶为例说明（图 1-1） ： （i）精密度高而准确度较差； （ii）准确度高而精密度较差； （iii）精密度和准确度都很高，即精确度很高。4大学物理实验2 误差的处理误差的产生有其必然性和普遍性，误差自始至终存在于一切科学实验中，一切测量结果 都存在误差。本节主要介绍上述两类误差的处理方法。2.1 系统误差一个实验结果的优劣，往往在于系统误差是否已经被发现或尽可能消除，所以预见一切 可能产生的系统误差的因素，并设法减小它们是非常重要的。一般而言，对于系统误差可以 在实验前对仪器进行校准，对实验方法进行改进，在实验时采取一定的措施对系统误差进行 补偿和消除，实验后对结果进行修正等。 系统误差的处理是一个比较复杂的问题，它没有一个简单的公式 ，主要取决于实验者的 经验和技巧并根据具体情况来处理。从实验者对系统误差掌握的程度来分，又可分为已定系 统误差和未定系统误差两类。 1．已定系统误差 已定系统误差是指绝对值和符号都已确定的，可以估算出的系统误差分量。例如：对一 个标准值为 50 毫克的三等砝码，就无法知道该砝码的误差值是多少。只知道它对测量结果造 成的未定系统误差限为±2mg，但如果在使用前用高一级的砝码进行校准，就可得到已定系 统误差得值。 2．未定系统误差 未定系统误差是指符号或绝对值未经确定的系统误差分量。例如，仪器出厂时的准确度 指标是用符号?仪表示的。它只给出该类仪器误差的极限范围。但实验者使用该仪器时并不知 道该仪器的误差的确切大小和正负，只知道该仪器的准确程度不会超过?仪的极限（例如上面 所举砝码中的±2mg） 。所以这种系统误差通常只能定出它的极限范围，由于不能知道它的确 切大小和正负，故无法对其进行修正。对于未定系统误差在物理实验中我们一般只考虑仪器 测量仪器的（最大）允许误差?仪（简称仪器误差） 。2.2 随机误差的估算随机误差的特点是随机性。也就是说在相同条件下，对同一物理量进行多次重复测量， 每次测量的误差的大小和正负无法预知，纯属偶然。但是实践和理论证明，如果测量次数足 够多的话，大部分测量的随机误差都服从一定的统计规律。本书只着重介绍随机误差的正态 分布。 1．正态分布的特征与数学表达 遵从正态分布的随机误差有以下几点特征： （1）单峰性。绝对值大的误差出现的可能性（概率）比绝对值小的误差出现的概率小。 （2）对称性。绝对值相等的正负误差出现的机会均等，对称分布于真值的两侧。5大学物理实验（3）有界性。在一定的条件下，误差的绝对值不会超过一定的限度。 （4）抵偿性。当测量次数很多时，随机误差的算术平均值趋于零，即 lim ? ? i ? 0n?? i ?1 n正态分布的特征可用正态分布曲线形象地表达。如图 2-1 所示。 横坐标表示误差 ? = x1 - x0 式中 x0 为被测量量的真值。纵坐标为一个与误差出现的概率 有关的概率密度函数 f（?） 。根据概率论的数学方法可以导出：f (? ) ? 1?? 2? 2?e 2?2（2-1）（a） 图 2-1 概率密度函数曲线图（b）测量值的随机误差出现在 ? 到 ?+ d? 区间内可能性为 f (? )d? 即图（a）中阴影所含 的面积元。上式中 ? 是一个与实验条件有关的常数，称为标准误差 ，其值为： ．．．．? ? limn ???i ? i ?1nn2（2-2）式中 n 为测量次数，各次测量的随机误差为 ? i , i ? 1,2? n 。 2．标准误差的物理意义 由式 2-1 可知，随机误差的正态分布曲线的形状与 ? 值有关，如图（b）所示，? 值越 小，分布曲线越尖锐，峰值 f（?） 越高，说明绝对值小的误差占多数，且测量值的离散性 较小，重复性好，测量精密度较高；反之 ? 值越大，则曲线越平坦，该组测量值的离散性大， 测量精密度低。标准误差反映了测量值的离散程度。 由 f (? )d? 是测量值随机误差出现在小区间 (? , ? ? d? ) 的可能性（概率） ，即 n 次测 量值误差出现在 (?? ,?? ) 内的概率为：6大学物理实验p(?? ? ? ? ? ) ? ? f (? )d? ? ?????1 2? ???e??22? 2d? ? 68.3%（2-3）这说明对任一次测量，其测量值误差出现在 -? 到 +? 区间内的概率为 68.3% 。从概 率密度分布函数的曲线图来看：设曲线下面积为 1 即 100% ，则介于 (?? ,?? ) 间的曲线下 的面积为 68.3% 。用同样的方法计算可得介于 (?2? ,?2? ) 间的概率为 95.5% ，介于 (?3? ,?3? ) 间的概率为 99.7% 。显然，测量误差的绝对值大于 3? 的概率仅为 0.3%。在通 常情况下的有限次测量测量误差超出 ±3? 范围的情况几乎不会出现，所以把 3? 称为极限 误差。 3．近真值――算术平均值 尽管一个物理量的真值是客观存在的，但由于误差的存在，企图得到真值的愿望仍然不 能实现。那么是否能够得到一个测量结果的最佳值，或者说得到一个最接近真值的数值呢？ 根据随机误差具有抵偿性特点，我们可以求得真值的最佳估计值 ――近真值。 ．．．．． 设在相同条件下对一个物理量进行多次没量，测量值分别为 x1 , x 2 , x3 , ?, x n ，则该没量值 的算术平均值：x? 1 n ? xi （i = 1，2，3，??） n i ?1（2-4）而各次测量的随机误差为：? i ? xi ? x 0式中 x0 为真值， x i 为第 i 次测量值，对 n 次测量的绝对误差求和有：? ? i ? ? xi ? nx0i ?1 i ?1nn等式两边各除以 n 可得：1 n?? i ?i ?1n1 n?xi ?1nni? x0 ? x ? x0当测量次数 n ? ? 由随机误差具有抵偿性的特点，所以有：lim ? ? i ? 0n ?? i ?1故根据以上推导可得：x0 ? x由此可知，测量次数愈多，算术平均值接近真值的可能性愈大。当测量次数足够时 ，算 ．．．．．．．． ． 术平均值是真值的最佳估计值 。 ．．．．．．．．．．．．．7大学物理实验2.3 标准误差的估算――标准偏差由于真值不知道，误差 ? 无法计算，因而按照式 2-2 标准误差 ? 也无从估算。根据算 术平均值是近真值的结论，在实际估算误算时采用算术平均值代替真值，用各次测量值与算 术平均值的差值 vi ? xi ? x 来估算各次测量的误差，差值称为残差 。当测量次数 n 有限时， ．． 如用残差来表示误差时，其计算公式为：Sx ?1 ? ( xi ? x ) 2 ? n ? 1 i ?1n?vi ?1n2 in ?1（2-5）S x 称为任一次测量的标准偏差，它是测量次数有限多时，标准误差的一个估计值。其代表的物理意义为：如果多次测量的随机误差遵从正态分布，那么，任一次测量的测量值误差 落在 ?S x 到 ? S x 区域之间的可能性（概率）为 68.3%。通过误差理论可以证明，平均值 ．．．x 的标 ．． 准偏差 为： ．．．Sx ?? (xi ?1ni? x)2n(n ? 1)（2-6）1 n上式说明算术平均值的标准偏差是 n 次测量中的任意一次测量值标准偏差的， Sx 小于 S x ，因为算术平均值是测量结果的最佳值，它比任意一次测量值 xi 更接近真值，所以误 差要小。 S x 的物理意义是在多次测量的随机误差遵从正态分布的条件下，真值处于 x ? S x 区 间内的概率为 68.3%。8大学物理实验3 不确定度与测量结果的表示3.1 测量不确定度由于测量误差的存在，难以确定被测量的真值。测量不确定度是与测量结果相关联的参 数，它表征测量真值在某一个量值范围内不能肯定程度的一个估计值。也就是说不确定度是 测量结果中无法修正的部分，反映了被测量的真值不能肯定的误差范围的一种评定，测量不 确定度包含 A 和B 类标准不确定度 。 ．类标准不确定度 ．．．．．．． ． ．．．．．．． 1．A 类标准不确定度 由于偶然因素，在同一条件下对同一物理量 X 进行多次重复测量值 x1 , x2 , x3 ,?, xn ，将是 分散的，从分散的测量值出发用统计的方法评定标准不确定度，就是标准不确定度的 A 类评 定。设 A 类标准不确定度为 u A ( x) ，用统计的方法算出平均值的标准偏差为 S x ，不确定度的 A 类分量就取为平均值的标准偏差，即：u A ( x) ? S x ?? (xi ?1u1? x) 2n(n ? 1)（3-1）按误差理论的正态分布，如不存在其他影响，则测量值范围 [ x ? u A ( x), x ? u A ( x)] 中包含 真值的概率为 68.3%。 2．B 类标准不确定度。 测量中凡是不符合统计规律的不确定度统称为 B 类不确定度。在实际计算时，有的依据 计量仪器的说明书或鉴定书，有的依据仪器的准确度，有的则粗略的依据仪器的分度值或经 验，从中获得仪器的极限误差，?仪（或允许误差或示值误差）此类误差一般可视为均匀分布， 则 B 类评定不确定度为：u B ( x) ? ?仪 3（3-2）例：使用量程为 0―300mm ，分度值为 0.05mm 的游标卡尺，测量长度时，其示值误差 在±0.05mm 以内， 即极限误差为 ?仪 = 0.05mm ， 则由此游标卡尺引入的标准不确定度 u B ( x) 为：u B ( x) ? ?仪 3 ? 0.05 39? 0.029mm大学物理实验3．合成标准不确定度 （1）直接测量结果不确定度的估算 物理实验的测量结果表示中，总不确定度 u（x）的估算方法行为两类，即多次重重测量 用统计方法算出的 A 类分量 u A ( x) 和用其它方法估算出的 B 类分量 u B ( x) 。用方和根的方法 合成为总不确定度 u（x） ：2 u ( x) ? u 2 A ( x) ? u B ( x)（3-3）例：已知游标卡尺（?仪 = 0.005cm）的初始读为 0.05cm，测量圆环内径数据如下表所示， 试求其测量的不确定度。 测量次数 d (cm) 计算出：d ? 3.254cm1 3.2552 3.2503 3.2604 3.2555 3.2506 3.255则零点修正后：d ? 3.254 ? 0.05 ? 3.249cmSd ?? (di ?1ni? d )2 ? 0.002cmn(n ? 1)所以有：u A (d ) ? S du B (d ) ? ?仪 3 ? 0.005 3 ? 0.003cm2 u (d ) ? u 2 A ( d ) ? u B ( d ) ? 0.004cm（2）间接测量不确定度的估算 物理实验的结果一般都通过间接测量获得的，间接测量是以直接测量为基础的，直接测 量值不可避免地有误差存在，显然由直接测量值根据一定的函数关系，经过运算而获得的间 接测量的结果，必然也有误差存在。怎样来计算间接测量的误差呢？这实质上是要解决一个 误差的传递问题，即求得估算间接测量值误差的公式，称为误差的传递公式。 设间接测量量 N 是 n 个独立的直接测量量 A、B、C，?，H 的函数，即 N = f (A，B，C，?，H) 若各直接测量值 A、B、C，?，H 的不确定度分别为 u（A） ，u（B） ，u（C） ，?，u（H） ， 它们使 N 值也有相应的不确定度 u （N） ， 由于不确定度都是微小量， 相当于数学中的 “增量” ， 因此间接测量的不确定度公式与数学中的全微分公式基本相同，利用全微分公式，则间接测10大学物理实验量的不确定度：? ?f ? ? ?f ? 2 ? ?f ? 2 ? ?f ? 2 u ( N ) ? ? ? u 2 ( A) ? ? ? u ( B) ? ? ? u (C ) ? ? ? ? ? u (H ) ? ?A ? ? ?B ? ? ?C ? ? ?H ?2 2 2 2（3-4）如果先对函数表达或取对数，再求全微分可得：u( N ) ? ? ln f ? ? ? ln f ? ? ? ln f ? ? ? ln f ? ? ? u ( A) ? ? ? u ( B) ? ? ? u (C ) ? ? ? ? ? u(H ) ? N ? ?A ? ? ?B ? ? ?C ? ? ?Η ?2 2 2 2（3-5）当间接测量量 N 是各直接测量量 A、B、C，?，H 的和或差的函数时，则用（3-4）式计 算较为方便， 当间接测量量 N 是各直接测量量 A、 B、 C， ?， H 的积或商的函数时， 则用 （3-4） 式先计算 N 的相对不确定度u( N ) ，然后再计算 u（N）比较方便。 N 在一些简单的测量问题中，有时要求不需太精确的测量问题中可以用绝对值合成方法，u( N ) ? ?f ?f ?f ?f u ( A) ? u ( B) ? u (C ) ? ? ? u( H ) ?A ?B ?c ?H即 （3-6） （3-7）u ( N ) ? ln f ? ln f ? ln f ? ln f ? u ( A) ? u ( B) ? u (C ) ? ? ? u( H ) N ?A ?B ?C ?H当然这种绝对值合成的方法所得结果一般偏大。与实际的不确定度合成情况可能也有较 大出入。但因其计算比较简，在要求不高，作粗略做算时，往往采用绝对值合成法，但在科 学实验中，一般都采用“方和根”合成来计算间接测量结果的不确定度，常用函数的方和根 合成与绝对值合成公式见下表： 函数表达式N ? x? yA B方和根合成公式u ( N ) ? u 2 ( x) ? u 2 ( y )绝对值合成公式u( N ) ? u( x) ? u( y)2N ? A? B , N ?u( N ) ? u ( A) ? ? u ( B) ? ? ? ? ?? ? N A ? ? ? B ?2u( N ) ?u ( A) u( B) ? A B u( N ) u( A) ? N AN ? KA （K 为常数）N ? An , n ? 1,2,?N ?n Au( N ) ? Ku( A),u( N ) u( A) ? N Au( N ) ? Ku( A),u( N ) u( A) ?n N Au( N ) u( A) ?n N Au( N ) ? cos A u( A)u( N ) u( A) ?n N Au( N ) u( A) ?n N Au( N ) ? cos A u( A)N ? sin AN ? ln xu( N ) ?u ( A) Au( N ) ?u ( A) A11大学物理实验3.2 测量结果的一般表示一个完整的测量的结果不仅要给出该量值的大小（数值和单位）同时还应给出它的不确 定度。用不确定度来表征测量结果的可信赖程度，于是测量结果应写成下列标准形式：x ? x ? u ( x) (单位) u ( x) ?100% x 式中 x 为测量值的最佳估计值，对等精度多次测量而言， x 为多次测量值的算术平均值， u（x）为不确定度，Ur 为相对不确定度。 Ur ? ?12大学物理实验4 实验中的错误与错误数据的剔除实验中有时会出现错误，尽早发现实验中的错误是实验得以顺利进行的前提保障，数据 分析就是发现错误的重要方法。 例 1：三次单摆摆 50 个周期的时间，得出 98.4s，96.7s,97.7s。从数据可知摆的周期接近 2s，但前面两个数据相差 1.7s，而后两个相差 1.0s，它们都在半个周期以上，显然这样大的差 异不能用手按稍表稍或滞后的操作误差去解释，即测量有误差。 m1 例 2：用静力称衡法测一块玻璃的密度 ? ，所用公式为 ? ? ? ，式中 m1 = 5.78g m1 ? m20为玻璃质量，m2 = 4.77g 为玻璃悬挂在水中的质量。这次测量显然有错误，因为在此 m1 与 m2 之差近似为 1g；? 值接近 6 g/cm3，没有这样大密度的玻璃。4.1 拉依达判据在一组数据中，有一、二个稍许偏大或偏小的数值，如果简单的数据分析不能判定它是 否为错误数据，就要借助于误差理论。在前面标准误差的物理意义中已提到对于服从正态分 布的随机误差，出现在 ±? 区间内概率为 68.3%，与此相仿，同样可以计算，在相同条件下 对某一物理量进行多次测量，其任意一次测量值的误差落在 -3? 到 +3? 区域之间的可能性 （概率）为：? (?3? ,3? ) ? ??3? f (?x)d?x ? 99.7%3?（4-1）如果用测量列的算术平均替代真值，则测量列中约有 99.7%的数据应落在 x ? 3? 区间内， 如果有数据出现在此区间之外，则我们可以认为它是错误数据，这时我们应把它舍去，这样 以标准偏差 Sx 的 3 倍为界去决定数据的取舍就成为一个剔除坏数据的准则， 称为拉依达准则。 但要注意的是数据少于 10 个时此准则无效。4.2 格罗布斯判据对于服从正态分布的测量结果，其偏差出现在 ±3? 附近的概率已经很小，如果测量次 数不多，偏差超过 ±3? 几乎不可能，因而，用拉依达判据剔除疏失误差时，往往有些疏失 误差剔除不掉。另外，仅仅根据少量的测量值来计算 ? ，这本身就存在不小的误差。因此当 测量次数不多时，不宜用拉依达判据，但可以用格罗布斯判据。按此判据给出一个数据个数 n 相联系的系数 Gn，当已知数据个数 n，算术平均值 x 和测量列标准偏差 Sx，则可以保留的 测量值 xi 的范围为( x ? Gn ? S x ) ? xi ? ( x ? Gn ? S x )（4-2）Gn 系数表 n Gn 3 1.15 4 1.46 5 1.67 6 1.82 7 1.94138 2.039 2.1110 2.1811 2.2312 2.2813 2.33大学物理实验n Gn14 2.3715 2.4116 2.4417 2.4818 2.5019 2.5320 2.5622 2.6025 2.6630 2.74也可用拟合式计算 Gn 值 n & 30 时取 Gn ? n & 30 时取 Gn ?ln(n ? 2.65) ? 1.305 2.31 ln(n ? 3) n ? 1.36 ? 2.30 550例：测得一组长度值（单位：cm） 98.28 98.30 计算出：x ? 98.328cm, S x ? 0.227cm, n ? 10, Gn ? 2.18 x ? Gn ? S x ? 98.833cm, x ? Gn ? S x ? 98.823cm98.26 98.9798.24 98.2598.29 98.2398.21 98.25数据 98.97 在此范围之外应舍去。舍去后再计算有x ? 98.257cm, S x ? 0.029cm, S x ? 0.010cm14大学物理实验5 有效数字及其运算规则5.1 有效数字在物理量的测量中，测量结果都是存在一定的误差，这些值不能任意地取舍，它反映出 测量量的准确程度。如何科学地，合理地反映测量结果，这就涉及到有效数字的问题。有效 数字在物理实验中经常使用。什么是有效数字，有效位数如何确定，有效数字的运算规则有 什么不同，在用有效数字表示测量结果时，如何与误差联系起来。可以说，误差决定有效数 字。例如：实验测得某一物理量，其测量列的算术平均值为 x ? 1.674cm ，算得其不确定度 u（x）= 0.04cm。从 u（x）数值中可知，这一组测量量在小数点后面第二位就已经有误差， 所以 x 等于 1.674 中“7”已经是有误差的可疑数，表示结果 x 时后面一位“4”已不必再写上， 上述结果正确的表示应为 x = 1.67±0.04cm。也就是说，我们表示测量结果的数字中，只保留 一位可疑数，其余应全部是确切数。 有效数字的定义为：有效数字是由若干位准确数和一位可疑数构成。这些数字的总位数 称为有效数字。 一个物理量的数值和数学上的数有着不同的意义。 例如在数学上 0.2500m = 25.00mm。 但 在物理测量上 0.2500m≠25.000cm。因为 0.2500 的有效位数是四位，而 25.000cm 的有效位数 是五位。实际上，这两种不同的写法表示了两种不同精度的测量结果。所以在实验中记录数 据时，有效数字不能随意增减。5.2 有效数字运算规则有效数字的正确运算关系到实验结果的精确表达，由于运算条件不一样，运算规则也不 一样。 1．四则运算 四则运算，一般可以依据以下运算规则：①参加运算的各数字可以认为仅最后一位数码 是有误差的，其他位的数码是无误差的；②无误差的数码间的四则运算结果仍为无误差数码； ③有误差的数码参加四则运算结果有误差的数码，进位和借位认为是无误差数码；④最后结 果按四舍五入法仅保留一位有误差数码。 （1）加减法 [例 1] 5.345+30.2 （数字下面“_”是指误差所在位的数码）5. 3 4 5 ? 3 0. 2 3 5. 5 4 5取： 5.345 ? 30.2 ? 35.5 [例 2] 35.48 - 20.315大学物理实验3 5. 4 8 ? 2 0. 3 1 5. 1 8取： 35.48 ? 20.3 ? 15.2 （2）乘除法 [例 1] 4.178× 10.14. 1 7 8 ? 1 0. 1 4 1 7 8 0 0 0 0 4 1 7 8 4 2. 1 9 7 8取： 4.178 ? 10.1 ? 42.2 [例 2] 48216÷ 1233 9 2 4 8 2 1 6 3 6 9123取： 4821 6 ? 123 ? 392 用以上竖式才能得到计算结果的四则运算，对我们来讲，不现实，为了提高运算速度， 又保证一定精度的误差估计，可把上面加减运算和乘除运算分别总结为如下运算规则： 1）加减法运算规则 ：若干项加减运算时，仍然按正常运算进行；计算结果的最后一位， ．．．．．．． 应取到与参加加减运算各项中某项最后一位靠前的位置对齐。 如 3.14 ? 1056.73 ? 103 ? 9.862 ? 1153 参加运算的各项最后一位最靠前的是 103 的个位， 其 计算结果的最后一位就保留在个位上。 2）乘除法运算规则 ：计算结果的有效数字位数保留到与参加运算的各数中有效数字位数 ．．．．．．． 最少的位数相同。 如 2.7 ? 3.902 ? 3.4567 ? 3.0 ，参加运算的 2.7 有效数字是两位，为最少，计算结果也就取 两位。这一规则在绝大多数情况下都成立，极少数情况下，由于借位或进位可能多一位或少 一位。如 0.98 ? 1.1 ? 1.08 就多一位。 2．函数运算有效数字取位 函数运算不像四则运算那样简单，而要根据误差传递公式来计算。 [例]已知 x = 56.7，y = lnx，求 y。16大学物理实验因 x 的有误差位是十分位上，所以取 ?x ≈ 0.1，利用误差传递公式 ?y ? f ?( x) ?x 去估 计 y 的误差位 ?y ??x 0.1 说明 y 的误差位在千分位上， 故 y = lnx = ln56.7 = 4.038。 ? ? 0.002 ， x 56.7由上可知函数运算有效数字取位的规则：已知 x，计算 y = f（x）时，取?x 为 x 的最后一 位的数量级， 利用误差传递公式 ?y ? f ?( x) ?x 估计 y 的误差数码位置， y 的计算结果最后一位 对应 ?y 的那个位置。17大学物理实验6 实验数据的处理方法测量获得了大量的实验数据，而要通过这些数据来得到可靠的实验结果或物理规律，则 需要学会正确的数据处理方法。本节将介绍在物理实验中常用的列表法、作图法、逐差法和 最小二乘法等数据处理的基本方法。6.1 列表法在记录和处理实验测量数据时，经常把数据列成表格，它可以简单而明确地表示出有关 物理量之间的对应关系，便于随时检查测量结果是否正确合理，及时发现问题，利于计算和 分析误差，并在必要时对数据随时查对。通过列表法可有助于找出有关物理量之间的规律性， 得出定量的结论或经验公式等。列表法是工程技术人员经常使用的一种方法。 列表时，一般应遵循下列规则 （1）简单明了，便于看出有关物理量之间的关系，便于处理数据。 （2）在表格中均应标明物理量的名称和单位。 （3）表格中数据要正确反映出有效数字。 （4）必要时应对某些项目加以说明，并计算出平均值、标准误差和相对误差。 例 用千分尺测量钢丝直径，列表如下： 次数 1 2 3 4 5 6 初读数 （mm） 0.002 0.004 0.003 0.001 0.004 0.003 未读数 （mm） 2.147 2.148 2.149 2.145 2.149 2.147 直径 Di （mm） 2.145 2.144 2.146 2.144 2.145 2.144 2.145 0.001 0.06%D （mm）u（D） （mm）Ur6.2 作图法物理实验中所得到的一系列测量数据，也可以用图线直观地表示出来，作图法就是在坐 标纸上描绘出一系列数据间对应关系的图线。可以研究物理量之间的变化规律，找出对应的 函数关系，求经验公式的常用方法之一。同时作好一张正确、实用、美观的图是实验技能训 练中的一项基本功，每个同学都应该掌握。 1．图示法 物理实验所揭示的物理量之间的关系，可以用一个解析函数关系来表示，也可以用坐标 纸在某一坐平面内由一条曲线表示，后者称为实验数据的图形表示法，简称图示法。 图示法的作图规则如下： （1）选取坐标纸 作图一定要用坐标纸，根据不同实验内容和函数形式来选取不同坐标纸，在普物实验中18大学物理实验最常用的是直角坐标纸。再根据所测得数据的有效数字和对测量结果的要求来定坐标纸的大 小，原则上是以不损失实验数据的有效数字和能包括所有实验点作为选择依据，一般图上的 最小分格至少应是有效数字的最后一位可靠数字。 （2）定坐标和坐标标度 通过以横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。写出坐标轴所代表的物理量的名称和单 位。 为了使图线在坐标纸上的布局合理和充分利用坐标纸， 坐标轴的起点不一定从变量的 “0” 开始。图线若是直线，尽量使图线比较对称地充满整个图纸，不要使图线偏于一角或一边。 为此，应适当放大（或缩小）纵坐标轴和横坐标轴的比例。在坐标轴上按选定的比例标出若 干等距离的整齐的数值标度，标度的数值的位数应与实验数据有效数字位数一致。选定比例 时，应使最小分格代表“1” 、 “2”或“5” ，不要用“3” 、 “6” “7” 、 “9”表示一个单位。因为 这样不仅使标点和读数不方便，而且也容易出错。 （3）标点 根据测量数据，找到每个实验点在坐标纸上的位置，用铅笔以“?”标出各点坐标，要 求与测量数据对应的坐标准确地落在“?”的交点上。一张图上要画几条曲线时，每条曲线 可用不同标记如“+” 、 “⊙” 、 “△”等以示区别。 （4）连线 用直尺、曲线板、铅笔将测量点连成直线或光滑曲线，校正曲线要通过校正点连成折线。 因为实验值有一定误差，所以曲线不一定要通过所有实验点，只要求线的两旁实验点分布均 匀且离曲线较近，并在曲线的转折处多测几个点，对个别偏离很大的点，要重新审核，进行 分析后决定取舍。 （5）写出图纸名称 要求在图纸的明显位置标明图纸的名称，即图名、作者姓名、日期、班级等。 2．图解法 图解法就是根据实验数据所作好的图线，用解析法找出相应的函数形式，如线性函数， 二次函数、幂函数等，并求出其函数的参数，得出具体的方程式。特别是当图线是直线时， 采用此法更为方便。 （1）直线图解法 ① 取点 在直线上任取两点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，其坐标值最好是整数值。用“?”符号表示 所取的点，与实验点相区别。一般不要取原实验点。所取两点在实验范围内应尽量彼此分开 一些，以减小误差。 ② 求斜率 k 在坐标纸的适当空白的位置，由直线方程 y = kx + b，写出斜率的计算公式： y ? y1 （6-1） k? 2 x2 ? x1 将两点坐标值代入上式，写出计算结果。 ③求截距 b 如果横坐标的起点为零，其截距 b 为 x = 0 时的 y 值，其直线的截距即由图上直接读出。 如果起点不为零，可由下式求出截距：19大学物理实验b?x2 y1 ? x1 y2 x2 ? x1（6-2）例：已知电阻丝的阻值 R 与温度 t 的关系为：R ? R0 (1 ? at) ? R0 ? R0 at其中 R0、a 是常数。现有一电阻丝，其阻值随温度变化如下表所示。请用作图法作 R-t 直线， 并求 R0、R0a 的值。 t（℃） 15.0 R（Ω ） 28.05 解：由上表可知tmax ? t min ? 50.0 ? 15.0 ? 35.0 （℃） Rmax ? Rmin ? 31.62 ? 28.05 ? 3.57 （Ω ）20.0 28.5225.0 29.1030.0 29.5635.0 30.1040.0 30.5745.0 31.0050.0 31.62即温度 t 的变化范围为 35℃，而电阻值 R 的变化范围为 3.57Ω 。根据坐标纸大小的选择 原则， 既要反映有效数字又能包括所有实验点， 选 40 格?40 格的图纸。 取自变量 t 为横坐标， 起点为 10℃，每一小格为 1℃；因变量 R 为纵坐标，起点为 28Ω ，每一小格为 0.1Ω ，描点 连线图，得 R-t 直线如图 6-1，所示。图 6-1 在直线上取两点（19.0，28.40） ， （43.0，30.90）则：R0 a ? R0 ? 30.90 ? 28.40 ? 0.104 （Ω /℃） 43.0 ? 19.043.0 ? 28.40 ? 19.0 ? 30.90 ? 26.4 （Ω ） 43.0 ? 19.020大学物理实验故有 R ? 26.4 ? 0.10t （Ω ） （2）曲线的改直 在实际工作中，许多物理量之间的函数关系形式是复杂的，并非都为线性，但是可以经 过适当变换后成为线性关系，即把曲变成直线，这种方法叫曲线改直。例如： ① PV = C，C 为常数 由R?C1 1 作 R ? 图得直线，斜率即为 C。 V V 1 2 at , v0 , a 为常数。 2② S ? v0t ?两边除以 t 得：1 S 1 S ? v0 ? at ，作 ? t 图为直线，其斜率为 a ，截距为 v 0 。 t 2 t 2③ y ? axb ，其中 a，b 为常数 两边取对数，得 lg y ? lg a ? b lg x ，以 lg y 为横坐标，lg y 为纵坐标作图得一直线，截距 为 lg a，斜率为 b。 3．作图法的优点 直观：这是作图法的最大优点之一，可根据曲线形状，很直观很清楚地表示在一定条件 下，某一物理量与另一物理量之间的相互关系，找出物理规律。 简便：在测量精度要求不高时，由曲线形状探索函数关系，作图法比其他数据处理 方法 要简便。 可以发现某些测量错误：若在曲线上个别点偏离特别大，可提醒人们重新核对。 在图线上，可以直接读出没有进行测量的对应于某 x 的 y 值（内插法） 。在一定条件下， 也可以从图线的延伸分部读出测量数据范围以外的点（外推法） 。 但也应看到作图法有其局限性。特别是受图纸大小的限制，不能严格建立物理量之间函 数关系，同时受到人为主观性进行的描点、连线的影响，不可避免地会带来误差。6.3 逐差法逐差法是对等间距测量的有序数据进行逐项或相等间隔项相减得到结果的一种方法。它 计算简便，并可充分利用测量数据，及时发现差错，总结规律，是物理实验中常用的一种数 据处理方法。 1．逐差法的使用条件 （1）自变量 x 是等间距离变化的。 （2）被测的物理量之间的函数形式可以写成 x 的多项式，即 y ? ? am x m 。m ?0 m2．逐差法的应用 以拉伸法测弹簧的倔强系数为例，说明如下： 设实验中等间隔地在弹簧下加砝码（如每次加 1 克） ，共加 9 次，分别记下对应的弹簧下21大学物理实验端点的位置 L0，L1，L2，?，L9，则可用逐差法进行以下处理。 （1）验证函数形式是线性关系 把所测的数据逐项相减，即?L1 ? L1 ? L0 ?L2 ? L2 ? L1 ? ?L9 ? L9 ? L8看?L0，?L1，?L2，?，?L9 是否基本相等。而当?Li 均基本相等时，就验证了外力与弹簧的伸 长量之间的函数关系是线性的，即 F ? k?L 用此法可检查测量结果是否正确，但注意的是必须要逐项逐差。 （2）求物理量数值 现计算每加 1 克砝码时弹簧的平均伸长量：?L ? ?L1 ? ?L2 ? ?L3 ? ? ? ?L9 9 ( L ? L0 ) ? ( L2 ? L1 ) ? ( L3 ? L2 ) ? ? ? ( L9 ? L8 ) ? 1 9 L ? L0 ? 9 9从上式可看出，中间的测量值全部低消了，只有始末二次测量值起作用，与一次加 9 克砝码 的测量完全等价。 为了保证多次测量的优点，只要在数据处理方法上作一些组合，仍能达到多次测量来减 小误差的目的。因此一般使用逐差法的规则应用如下方法： 通常可将等间隔所测量的值分成前后两组的，前一组为 L0、L1、L2、L3、L4，后一组为 L5、L6、L7、L8、L9，将前后两组的对应项相减为 ? ?L1 ? L5 ? L0 ? ?L2 ? L6 ? L1? ?L5 ? L9 ? L4 ?再取平均值1 ?L? ? [(L5 ? L0 ) ? ( L6 ? L1 ) ? ? ? ( L9 ? L4 )] 5 1 4 ? ? ( L5?i ? Li ) 5 i ?0由此可见，与上面一般求平均值方法不同，这时每个数据都用上了。但应注意，这里的 ?L? 是 增加 5 克砝码时弹簧的平均伸长量。故对应项逐差可以充分利用测量数据，具有对数据取平 均和减小的效果。22大学物理实验6.4 最小二乘法由一组实验数据找出一条最佳的拟合直线（或曲线） ，常用的方法是最小二乘法。所得的 变量之间的相关函数关系称为回归方程。所以最小二乘法线性拟合亦称为最小二乘法线性回 归。本章只讨论用最小二乘法进行一元线性回归问题，有关多元线性回归和非线性回归，请 参考其他书籍。 1．一元线性回归 最小二乘法所依据的原理是：在最佳拟合直线上，各相应点的值与测量值之差的平方和 应比在其他的拟合直线上的都要小。 假设所研究的变量只有两个：x 和 y，且它们之间存在着线性相关关系，是一元线性方程y ? A0 ? A1 x（6-3）实验测量的一组数据是x : x1 , x2 , x3 ,?, xm y : y1 , y2 , y3 ,?, ym需要解决的问题是：根据所测得的数据，如何确定（6-3）式中的常数 A0 和 A1。实际上， 相当于作图法求直线的斜率和截距。 由于实验点不可能都同时落在（6-3）式表示的直线上，为使讨论简单起见，限定： ① 所有测量值都是等精度的。 只要实验中不改变实验条件和方法， 这个条件就可以满足。 ② 只有一个变量有明显的随机误差。因为 xi 和 yi 都含有误差，把误差较小的一个作为变 量 x，就可满足该条件。 假设在 （6-3） 式中的 x 和 y， 是在等精度条件下测量的， 且 y 有偏差， 记作 ?1 , ? 2 , ? 3 , ?, ? m 把实验数据 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),?, ( xm , ym ) 代入（6-3）式后得：?? 1 ? y1 ? y ? y1 ? A0 ? A1 x1 ? ?? 2 ? y2 ? y ? y2 ? A0 ? A1 x2 ? ? ? ? ?? m ? yi ? y ? yi ? A0 ? A1 xi其一般式为：? i ? yi ? y ? yi ? A0 ? A1 xi（6-4）? i 的大小与正负表示实验点在直线两侧的分散程度， ? i 的值与 A0、A1 的数值有关。根据最小二乘法的思想，如果 A0、A1 的值使 ? ? i2 最小，那么， （6-3）式就是所拟合的直线，即i ?1 m由式?i ?1m? i2 ? ? ( yi ? A0 ? A1 xi ) 2i ?1m（6-5）23大学物理实验对 A0 和 A1 求一阶偏导数，且使其为零得：m ? ? ? m 2? ? ? ? i ? ? ?2? ( yi ? A0 ? A1 xi ) ? 0 ? ? ?A0 ? i ?1 i ?1 ? （6-6） ? m m ? ? ? 2 ? ? ? ? i ? ? ?2? [( yi ? A0 ? A1 xi ) xi ] ? 0 ? i ?1 ? ? ?A1 ? i ?1 m 1 1 m 令 x 为 x 的平均值，即 x ? ? xi ， y 为 y 的平均值，即 y ? ? yi ， x 2 为 x2 的平均值，即 m i ?1 m i ?1x2 ?1 m 2 1 m ， 为 xy 的均值，即 xy x xy ? ? i ? xi yi m i ?1 m i ?1代入（6-6）式中得：? ? y ? A0 ? A1 x ? 0 ? 2 ? ? xy ? A0 x ? A1 x ? 0解方程组得：? xy ? x ? y ? A1 ? 2 x ? x2 ? ? ? A0 ? y ? A1 x（6-7）2．把非线性相关问题变换成线性相关问题 在实际问题中，当变量间不是直线关系时，可以通过适当的变量变换，使不少曲线问题 能够转化成线性相关的问题。需要注意的是，经过变换等精度的限定条件不一定满足，会产 生一些新的问题。遇到这类情况应采取更恰当的曲线拟合方法。 下面举几例说明 （1）若函数为 x 2 ? y 2 ? C ，其中 C 为常数，令：X ? x2 , Y ? y 2则有：Y ?C? X（2）若函数为 y ?x 1 a ，其中 a、b 为常数，将原方程化为 ? b ? ，令： y x a ? bxY? 1 1 ,x ? y x则有：Y ? b ? aX3．相关系数 r 以上所讨论的都是实验在已知的函数形式下进行时， 由实验的测量数据求出的回归方程。24大学物理实验因此，在函数形式确定以后，用回归法处理数据，其结果是唯一的，不会像作图法那样因人 而异。可见用回归法处理问题的关键是函数形式的选取。 但是当函数形式不明确时，要通过测量值来寻求经验公式，只能靠实验数据的趋势来推 测。对同一组实验数据，不同的工作者可能会取不同的函数形式，得出不同的结果。 为了判断所得结果是否合理，在待定常数确定以后，还需要计算一下相关系数 r。对于元 线性回归，r 定义为：r?2xy ? x ? y ( x ? x 2 )( y 2 ? y 2 )（6-8）相关系数 r 的数值大小反映了相关程度的好坏。可以证明 | r | 的值介于 0 和 1 之间，| r | 值越接近于 1，说明实验数据能密集在求得的直线附近，x、 y 之间存在着线性关系，用线性 函数进行回归比较合理。相反，如果 | r | 值远小于 1 而接近 0，说明实验数据对求得的直线 很分散，x、 y 之间不存在线性关系，即用线性回归不妥，必须用其他函数重新试探。在物理 实验中，一般当 | r | ≥ 0.9 时，就认为两个物理量之间存在较密切的线性关系。 [例] 用本节作图法例子中电阻丝电阻值随温度变化的实验数据， 结合最小二乘法做以下 内容： （1）线性拟合，并写出直线方程： （2）求出电阻温度系数 a 和 0℃时的电阻 R0。 （3）求出相关系数 r ，评价相关程度。 解：金属导体的电阻和温度的关系为R ? R0 (1 ? at) ? R0 ? aR0t ，令： y ? R, x ? t , A0 ? R0 , A1 ? aR0上式可变为：y ? A0 ? A1 x例中的实验数据填入下表，并进行计算，结果见下表：i1 2 3 4 5 6 6 7 平均值xi15.0 20.0 25.0 30.0 35.0 40.0 45.0 50.0 32.5x i2225.0 400.0 625.0 900.0 25 25yi28.05 28.52 29.10 29.56 30.10 30.57 31.00 31.62 29.815y i2786.8 813.4 846.8 873.8 906.0 934.5 961.0 999.8 890.269xi y i420.8 570.4 727.5 886.8 95
大学物理实验由上表可得：x ? 32.5, y ? 29.815, xy ? 982.219 x 2 ? 1187.5 y 2 ? 890.269代入（6-7）式中得：aR0 ? A1 ? ? 0.101 x2 ? x 2 R0 ? A0 ? y ? A1 x ? 26.5 xy ? x ? y故函数关系为R ? 26.5 ? 0.101 t A 0.101 其中： R0 ? 26.5 （Ω ） ，a ? 1 ? ? 3.81? 10?3 （1/℃） R0 26.5又由（6-8）式可得：r? xy ? x ? y ( x 2 ? x 2 )( y 2 ? y 2 ) ? 0.9995由 r 值可见，R 与 t 之间有较好的线性关系，即相关程度较好。 用最小二乘法与用作图法求得的 R-t 之间的关系有一定的差别， 说明作图法有一定的随意 性。26大学物理实验习题1．指出下列情况属于随机误差还是系统误差： （1）视差。 （2）天平零点漂移。 （3）游标卡尺零点不准。 （4）照相底板收缩。 （5）水银 温度计毛细管不均匀。 （6）电表的接入误差。 （7）雷电影响。 （8）振动。 （9）电源不稳。 2．求下列各组的 x 、 S x 值。 （1）4.113，4.198，4.152，4.147，4.166，4.154，4.132，4.170（cm） ； （2）2.904，2.902，2.900，2.903，2.900，2.904（cm） ； （3）4.496，4.504，4.538，4.504，4.498，4.490（cm） ； （4）2.010，2.010，2.011，2.012，2.009，1.980（cm） 。 3 ． 用 单 摆 测 得 重 力 加 速 度 g1 ? 978 ? 2(cm/s 2 ) ， 用 自 由 落 体 仪 测 得 重 力 加 速 度g 2 ? 981.1 ? 0.6(cm/s2 ), 已知当地的 g 的标准值为 g 0 ? 979.729(cm/s2 ) ，问：（1）g1、g2 中哪一个存在系统误差？ （2）如果不知道 g0，从 g1 和 g2 能得出什么结论？ 4 ． 一 个 铅 圆 柱 体 ， 测 得 直 径 d ? (2.04 ? 0.01)cm ， 高 度 h ? (4.12 ? 0.01)cm ， 质 量 m ? (149.18 ? 0.05)g （1）计算铅的密度 ? ； （2）计算 ? 的不确定度和相对不确定度； （3）正确表示结果。 5．写出下列函数的不确定度传递公式。 x? y (1) N ? x ? y ? z (2) N ? x? y(3)n ? sin ? sin ? (4) f ? L2 ? e 2 4L6．指出下列各量有几位有效数字(1) L ? 0.0001(cm) (3) g ? 9.8403(m / s )2(2)c ? 2.)? ? 3.14159 (6) E ? 2.7 ? 1025 ( J )(5)e ? 2.71828187．按照误差理论和有效数字运算规则，改正下列错误。 （1） N ? (10.800 ? 0.2)cm （2）0.2870 有五位有效数字，而另一种说法为三位有效数字，请纠正，并说明理由。 （3）28cm = 280mm，280mm =28cm （4） L ? (2)mm （5）0.=0.27大学物理实验（6）400 ? 1500 ? .60 ? 11.60(2)98.754 ? 1.3 (4)2.0 ? 10?5 ? .50 ? 2.5 (8)237.5 ? 0.108．试利有效数字运算规则计算下列各式。(1)1.048 ? 0.3 (3)2.0 ? 10 ? 23455(5)2.00 ? 105 ? ? 0.100 (9)76.000 50.00 ? (18.30 ? 10.3) (10) 40.00 ? 2.0 (103 ? 3.0) ? (1.00 ? 0.001) 100.0 ? (5.6 ? 4.412) 89.04678? (3.) (11) ? 110.0(12) (98.00 ? 77.0) ? 10.000 39．写成科学表达式299300 , 983 ? 4, 0..000001 ,
, 3 , 0010．计算下列函数有效数的结果。(1) ? 3.14,e x ? ?(2) x ? 3 ?10?5 ,10 x ? ?(3) x ? 5.48, x ? ?, (4) x ? 9.80, ln x ? ?11．实验测得在容器体积不变的情况下，不同温度的气体压强如下表，请用图示法表示。 温度 T（℃） 压强 P （cm/Hg） 20.0 82.0 30.0 85.0 40.0 90.0 50.0 94.0 60.0 97.0 70.0 100.0 80.0 103.0 90.0 106.612．用伏安法测电阴数据如下，试用直角坐标纸作图，并求出 R 值。 V（V） I（mA） 1.00 2.00 2.00 4.01 3.00 6.05 4.00 7.85 5.00 9.70 6.00 11.83 7.00 13.75 8.00 16.0213．用最小二乘法求出 y ? A0 ? A1 x 中的 A0、A1 并检验线性。 （1） i xi yi （2） i xi yi 1 20.0 5.45 2 30.0 5.66 3 40.0 5.96 4 50.0 6.20 5 60.0 6.45 6 70.0 6.86 7 80.0 7.01 1 2.0 14.34 2 4.0 16.35 3 6.0 18.36 4 8.0 20.34 5 10.0 22.39 6 12.0 24.38 7 14.0 26.3328大学物理实验第一部分实验一【实验目的】基础实验长度测量1．掌握游标及螺旋测微原理。 2．正确使用米尺、游标卡尺、螺旋测微器、移测显微镜测量长度。 【实验仪器】 米尺、游标卡尺、螺旋测微器、移测显微镜。 【实验原理】 1．米尺 米尺的最小分度值一般为 1mm，使用米尺测量长度时，可以准确读到毫米这一位上，米 尺以下的一位要凭视力估读。 使用米尺测量时，为了避免因米尺端边磨损而引入的误差，一般不从“0”刻度线开始； 为了避免因米尺具有一定厚度，观察者视线方向不同而引入的误差，必须使待测物与米尺刻 度线紧贴；为了减少因米尺刻线不均匀而引入的误差，可以选择不同的测量起点对待测物作 多次测量。 2．游标卡尺图 1-1 图 1-1米尺不能进行精度较高的测量，为了提高测量精度，可以使用游标卡尺。游标卡尺主要 由主尺和游标两部分构成，如图 1-1 所示。游标紧贴着主尺滑动，外量爪用来测量厚度和外 径，内量爪用来测量内径，深度尺用来测量槽的深度，紧固螺钉用来固定量值读数。使用游 标卡尺时应一手拿物体，另一手持尺，轻轻将物体卡住。应特别注意保护量爪不被磨损，不 允许用游标卡尺测量粗糙的物体，更不允许被夹紧的物体在卡口内移动。测量前应注意游标29大学物理实验零线是否和主尺零线对齐，如果没有对齐，则表示有初读数。当游标的零线在主尺零线的左 边时，初读数取负数，反之取正值。实际测量时应将游标卡尺的读数减去初读数，才得到物 体的真实长度。 游标卡尺测量长度时读数方法为：先从主尺上读出游标“0”刻度线所在的整数分度值 l （mm） ，再看游标上与主尺对齐的刻度线的序数（格数）n，于是物体长度为 L = l + n ?? x 式中，?x 为游标卡尺的最小分度值（精度值） ，为使读数方便，游标上并不标出刻度线的序 数 n，而标上 n??x 值。如图 1-2 所示，读数为：50.24（50.00+12?0.02）mm。456789012345678910对齐图 1-23．螺旋测微器测量砧台 弓架 测量螺杆 螺母套筒 微分套筒 棘轮锁紧手柄绝热板图 1-3 螺旋测微器是由一根精密螺杆和与它配套的螺母部分组成。螺杆后连接一个可旋转的微 分套筒，如图 1-3 所示。微分套筒每旋转一周，螺杆前进（或后退）一个螺距。若微分套筒 上刻有 n 个分度，螺距为 a mm，则每转动一个分度，螺杆移动的距离为 a / n mm。在图 1-3 中螺距为 a = 0.5mm，微分套筒圆周上刻有 50 个分度，每转动一个分度，螺杆移动距离为 0.5 / 50 = 0.01mm。 测量长度时，倒转棘轮，将待测物体放在测量砧台和测量螺杆之间，然后再转动棘轮， 听到“咯、咯??”声音时（表示待测物体已被夹紧）即停止转动。读数时，先读出螺母套 筒上没有被微分套筒的前沿遮住的刻度值；再读出螺母套筒上横线所对准的微分套筒上的读 数，并读出估读数，二者之和即为最后的读数。 因为螺母套筒上的刻度线有一定宽度， 当螺母套筒上横线所对准微分套筒上的读数在 “0”30大学物理实验上下时极易读错，务必特别注意。通常微分套筒上的“0”线在横线上方时，尽管螺母套筒上 的一条刻度线似乎已经看到，但读数时不能考虑进去，否则读数将误加 0.500mm。 螺旋测微器在使用一段时间后，零点会发生变化。所以测量时必须先记下初读数。具体 方法是：在测量砧台和螺杆之间不放入任何物体，旋转棘轮，当听到“咯、咯??”响声时 停止转动（每次测量咯咯声应保持一致，两声或者三声） 。此时微分套筒上的“0”刻度线不 一定与螺母套筒上的横线对准。这时的读数称为初读数。应注意初读数有正负之分。初读数 是系统误差，测量物体长度时所读出的数值应减去这个初读数后，才是物体的长度。 如图 1-4 所示， （a） 的读数为： 4.686 （4.500+0.186） mm； （b） 的读数为： 5.188 （5.000+0.188） mm； （c）的读数为 2.478（2.000+0.478）mm。（a）（b） 图 1-4（c）4．移测显微镜 移测显微镜是螺旋测微器与显微镜组合在一起的精密的长度测量仪器。它主要有机械部 分和光具部分。光具部分是一个长焦距显微镜（由目镜、叉丝、物镜三部分组成） ，它的测微 螺旋的螺距为 1mm ，鼓轮一周等分为 100 个分格，每转一个分格，显微镜将移动 0.01mm 。 具体使用步骤如下： （1）调节目镜，看清十字叉丝； （2）让叉丝交点对准待测物上的一 点，读数； （3）转动鼓轮，让叉丝对准待测物上的另一点，再读数； （4）两次读数之差，即 为所测二点间的距离。 【实验内容】 1．米尺测量某一物体的长度，进行多次测量。 2．用游标卡尺测量金属圆环的外径、内径和高，进行多次测量，并计算其体积。 3．用螺旋测微器测量小钢球的直径，在不同直径处进行多次测量，并计算体积。 【思考题】 1．螺旋测微器的零点读数的正负号怎么确定？怎样对测量值进行修正？ 2．使用移测显微镜的时候要注意哪些问题？31大学物理实验实验二【实验目的】单摆1．掌握用单摆测定重力加速度的方法，学会使用秒表和数字毫秒计。 2．研究单摆的周期和摆长以及周期与摆角的关系。 3．用图解法得到实验结果。 【实验仪器】 单摆装置、秒表、钢卷尺、游标卡尺、数字毫秒计。 单摆装置（如图 2-1 所示）的调节：调节底座的水平螺丝，使摆线与立柱平行，即立柱 铅直；调节摆幅测量标尺高度与镜面位置，使得标尺的上弧边中点与顶端悬线夹下平面间距 离为 50cm； 调节标尺平面垂直与顶端悬线夹的前伸部分； 调节标尺 上部平面镜平面与标尺平面平行，镜面上指标线处于仪器的对称中 心。 秒表一般有指针式和数字式两种，其精度有 0.01s、0.1s、0.2s 等多种。实验室常用的秒表是数字式秒表，其精度是 0.01s，秒表的 使用方法参见使用说明书。 数字毫秒计的使用方法参见使用说明书。 【实验原理】 1．单摆测重力加速度 单摆是由一个不能伸长的轻质细线和悬在此线下端体积很小的 金属球所构成，在摆长远大于摆球的直径，摆球质量远大于细线质 量的条件下，将摆球自平衡位置拉至一边（摆角小于 5°）释放， 摆球即在平衡位置左右往返作周期性摆动，如图 3-2 所示。 设摆球的质量为 m ，其质心到摆的支点 O 的距离为 l（摆长） 。 作用在摆球上的切向力的大小为 mgsin? 。它总指向平衡点 O′。 当角很小时，则 sin? ≈? ，切向力的大小为 mg? ，按照牛顿第二 定律，质点的运动方程为ma切 ? ?mg?图 2-1mld 2? ? ?mg? dt 2d 2? g （2-1） ?? ? 2 l dt 这是一简谐运动方程，可知简谐振动角频率 ? 的平方等于 g / l，由此得出图 2-232大学物理实验??2? ? Tl gg lT ? 2?g ? 4? 2l T2（2-2）式中 T 为单摆的周期。实验中，若测出摆长 l 和周期 T ，则重力加速度 g 即可由上式求得。 上式也可以写成 4? 2 T2 ? l （2-3） g 这里 T2 和 l 之间具有线形关系， 4? 2 g 为其斜率。如果测出各 种摆长及其对应的周期，便可作出一个 T 2 ? l 图线，由该图线 的斜率即可求出 g 值。 测量摆长时，用游标卡尺测量摆球直径 d ，用钢卷尺测量 摆线长 l 0 ，记录起末位置坐标 x1 和 x2 ，则由图 3-3 可知摆长d d ? ( x2 ? x1 ) ? 。测量单摆周期时，为了减小测量单个 2 2 周期的相对误差， 我们一般是测量连续摆动 n 个周期的时间 t ， 则T ?t/n 。 l ? l0 ?2．单摆的摆角与周期 在摆角不太小时，按照振动理论，振动周期和摆角的关系为T ? 2? i 1 ? (1 ? sin 2 ? ?) g 4 2图 2-3（2-4）取零级近似T0 ? 2? l g取二级近似T ? 2? l 1 ? (1 ? sin 2 ) g 4 2或写成1 ? T ? T0 (1 ? sin 2 ) 4 233（2-5）大学物理实验如果测出不同摆角下的周期 T，作 T 2 ? sin 2 【实验内容】 1．重力加速度 g 的测定?2图线，即可验证上式。（1）仪器调整。在熟悉单摆装置的仪器结构性能后，按规定要求调整好仪器；了解所使 用的秒表的结构和功能，进行几次计时、停止、复零的练习。 （2）做摆长约为 1m 的单摆，用钢卷尺测量摆线长 l 0 ，记录起末位置坐标 x1 和 x2 ，用游 标卡尺测量摆球直径 d ，这样各进行 3 次，求平均值，计算摆长 l。 （3）使单摆的摆角不要太大（ ≤5°） ，测量摆动 50 次所用的时间 t，要求测 3 次求平 均值，计算周期 T。 在测周期时，应选择摆球通过最低位置时计时。此时可以通过观察镜尺，当摆线、摆线 在镜尺中的像以及镜尺刻线三者重合时计时。 （4）改变摆长，每次缩短约 10cm，按上述方法测量每一摆长的周期，共测 5 个点，作 出 T 2 ? l 图线，并由图线的斜率求出 g 值。 2．研究单摆的摆角与周期关系 对某一摆长，取不同的摆角测其对应的周期。这时，如果采用前面的方法测周期，就会 由于空气阻力等因素造成摆角的不断减小而影响实验结果，因此，实验中改用数字毫秒计测 周期。数字毫秒计采用档，此档的功能是：第一次遮光时开始记时，第二次遮光不计，第三 次遮光时计时结束。光电门放置在摆球通过的路径的最低点处，靠近摆球遮光。每个摆角下 的周期测 3 次。摆角的大小可以通过标尺直接读出。要求至少测 5 组数据，用所得数据作T 2 ? sin 2?2图线，由图线的截距和斜率检验式（2-5）的 sin 2?2的系数是否等于 1 / 4。【思考题】 1．测量单摆周期时，为什么时间起止点都选在摆球运动的最低点处？ 2．试比较直接用公式 g ? 4? 2l 计算 g 值和利用 T 2 ? l 图线求 g 值两种方法的优缺点。 T23．自己设计实验，研究摆线质量和空气浮力对测量重力加速度 g 的影响。34大学物理实验实验三【实验目的】自由落体法测重力加速度1．学习用光电测量系统测量短时间的方法。 2．用自由落体仪测定重力加速度。 3．比较用自由落体法测重力加速度与用单摆测重力加速度的优缺点。 【实验仪器】 自由落体仪、多功能数字式测定仪、米尺、钢球。 自由落体仪如图 5-1 所示。 在底座 I 上竖直固定一立 柱 K，电磁头 D、上光电门 E1、下光电门 E2 和接球器 G 皆可在立柱 K 上移动和固定。 实验时， 将电磁头 D 通电， 则被磁化的电磁铁芯 C 可吸住钢球 F；断开电磁头电源， 钢球自由下落。当经过上光电门 E1 时，多功能数字式测 定仪 J 开始计时，经过下光电门 E2 时，计时停止，因此， 多功能数字式测定仪可以记录并显示钢球落下两光电门 间的高度所需要的时间。 【实验原理】 建立坐标系 ox，方向铅直向下（参见图 3-1） ，取落 球（钢球）静止时的高度位置为原点，光电门 E1 、E2 的坐标分别为 x0 和 x1，落体下落 h1 高度（h1 = x1 -x0）所 需要的时间为 t1，则有h1 ? v0t1 ? 1 2 gt1 2（3-1）式中 v0 为落体在 x0 处的速度，g 为重力加速度。 若固定 E1，移动 E2 使其坐标变为 x2，则两光电门之 间的距离为 h2 = x2 Cx1， 落体下落 h2 高度所需要的时间为 t2，同理可得h2 ? v0t 2 ? 1 2 gt2 2（3-2）图 3-1由以上二式消去 v0，可得? h2 h1 ? 2? ?t ? t ? ? 1 ? g? ? 2 t 2 ? t1（3-3）实验时，我们固定 E1 位置不变，等间距（例如每增加 10cm）移动 E2，取 h1，h2，?， h10 共 10 个数值进行实验，分别测出相应的时间 t1，t2，?，t10，再由逐差法计算 g：35大学物理实验? h5?i hi 2? ?t ? t 1 i g ? ? ? 5? i 5 i ?1 t5?i ? ti5? ? ? ?（3-4）【实验内容】 1．调节立柱铅直 （1）将光电门 E1 置于电磁铁芯 C 下方附近，E2 固定于接球器上方，用细线将重锤挂在 电磁铁芯下部，旋转底座上的调节螺丝 H，使铅垂线正好穿过两光电门的中心。 （2）取下重锤，并打开电磁头电源吸住钢球，在确信立柱不晃动时断开电源，观察钢球 是否正好穿过光电门 E2 的中心。要求钢球从底部开始遮光且不能打着光电门，否则，微调底 座螺丝直至达到要求。 在实验中，若钢球不落入接球器 G 内以至滚跑，可用手在 E2 下方将球接住。 2．测光电门之间距离 h 和下落时间 t （1）用米尺测 h，多功能数字式测定仪测时间 t 对每一个 h，测六次 t，取其平均值，同 时注意钢球是否正好挡光。 （2）固定 E1 位置不变，移动 E2 使 h 分别为 40，50，?，130cm 共 10 个数值进行实验， 用逐差法处理数据。 【思考题】 1．由测量结果知， g 的数值总的来说偏小，你能指出可能是何种原因造成的吗？h 2．试说明，若作 ～t 图，则得到一直线，由其斜率和截距可分别求出 g 和初速度 v0。 t 问是否可以适当选择变量，得到一直线，由其斜率求出 v0，而由截距得到 g？36大学物理实验实验四【实验目的】液体粘度的测定1．了解斯托克斯定律。 2．掌握用落球法测定液体的粘滞系数（粘度） 。 【实验仪器】 盛油玻璃量筒（内置蓖麻油） ，螺旋测微计，秒表，水银测温计，小钢球 【实验原理】 当流体运动时，不同流层之间的速度不同，在相邻两层之间因为相对运动而产生切向力。 快的一层给慢的一层以拉力，慢的一层给快的一层以阻力，这对力就称内摩擦力或粘滞阻力。 流体的这种性质称为粘滞性。 实验表明，流体内部相邻两层流体之间的内摩擦力 f，除了正比于两层之间的接触面积 dv y （即沿垂直于 ?S ，还正比于该处的速度梯度 dy 速度方向上，每单位长度上的速度增量） ： dv （ 4-1 ） f ?? ? ?S dy 比例系数 ? 称为粘滞系数， 只与流体本身的性质 有关。 流体的粘滞系数 ? 与温度有关。对流体来 v 说，粘滞系数随温度升高而减小；对气体则相反， 随温度升高而增大。在温度不变时，压强不特别 图 4-1 大 （如几百个大气压） 的情况下， 压强对液体的 ? 影响极小。 超流动性：液氦在温度低于 2.16K 时，具有无摩擦的在毛细管内流动的特性，其 ? 几乎 为零。这种性质称为超流动性。 测液体粘滞系数的方法很多，本实验用斯托克斯公式测量给定液体的粘滞系数。当小球 在无限大的液体中运动，且速度 v0 不大，同时又没有旋涡产生时，小球所受的粘滞阻力： ，上式即为斯托克斯定律。 f ? 6??v0 r （r 为小球半径） 实验采用近似的斯托克斯定律条件，采用有限的液体，即盛放在量筒中的蓖麻油作为待 测液体。小球在液体中自由下落时，受到三个力的作用：重力 G、浮力 F 和粘滞阻力 f，三个 力都在竖直方向上，重力向下、浮力和粘滞力向上。阻力随小球的速度增加而增加。以静止 开始下落的小球，先作加速运动。当下落速度达到一定值时，小求所受三力平衡，开始匀速 下落，此时： G?F ? f ?0 其中：37大学物理实验4 G ? ? R3 ?0 g 3 4 F ? ? R3 ? g 3f ? 6??v0 r? 0 ＝ 7.8 ? 103 kg ? m ?3 ，是钢制小球的密度? 为蓖麻油的密度（用密度计测量）v0 为小球匀速运动时的速度2 ( ? ? ? 0 )r 2 g 9 v0最后液体的粘滞系数为：??v0 可通过如下方法测量：v0 ?（4-2）l （ l 采用米尺测量， tt 采用秒表测量） 。 由于在实际测量时液体是盛放在 有限的容器中的，不满足无限宽广的条件，这时实 际测得的速度 v 和上述理想条件下的速度 v0 之间存 在如下关系：v0＝v( 1＋2.4 r r )( 1＋3.3 ) R HF f l（4-3）因此，液体的粘度应修正为??2 9 ( ? ? ? 0 )r 2 g r r v( 1＋2.4 )( 1＋3.3 ) R H（4-4）G式中，R 为量筒的内半径，H 为液体的深度。 由于斯托克斯公式是在无涡流的理想状态下 导出的，而实际小球下落时并不是这样的理想状 态，因此还要进行修正，粘性力取一级近似为 f = 6πηνr（1+3 Re ） 16图 4-2（4-5）式中，雷诺系数 Re = 2ρ0νr/ η ，则修正后的粘度为??2 9 ( ? ? ? 0 )r 2 g 3 － ρ0 vr r r 8 v( 1＋2.4 )( 1＋3.3 ) R H（4-6）【实验内容】 1．使盛有待测液体（蓖麻油）的量筒的中心轴处于铅直方向；选取标线 N1、N2。 2．用米尺测量液体深度 H 及标线间距离 h ，用游标卡尺测量量筒内径 D。 3．用螺旋测微器选择 10 个小球，使它们的半径在误差允许范围内可认为相同。分别测 量每个小球的半径。 4，用镊子将小球放置在液体表面，使其沿中心轴线下落，用秒表分别测出每个小球通过 标线 N1N2 所用的时间 t ，取平均值，则 v = h / t 。 5．利用公式计算 η 值并求出标准不确定度。38大学物理实验【思考题】 1．实验中，为什么不从小球落入液面时就开始计时？为何要取标线 N1N2 ？ 2．如果投入的小球偏离中心轴线，将会有什么影响？ 3．如果用实验的方法求补正项 ( 1＋2.4 r ) 的系数 2.4，应如何进行？R4．试推导 η 的单位是“Pa?s” 。39大学物理实验实验五杨氏模量的测量胡克（R.Hooke ）于 1678 年从实验中总结出，对于有拉伸压缩形变的弹性体， 当应变较小时，应变与应力成正比，即 ? ? E? ?l Fn 称为胡克定律。因 ? ? ，? ? ，故胡克定律又可表示为 l0 SFn ?l ?E S l0式中比例系数 E 称为杨氏模量。由于为纯数，故杨氏模量和应力 有相同的单位： 称为 “帕斯卡” ， 可简称为 “帕” ， 国际符号为 “Pa” 。 杨氏模量是表征材料本身弹性的物理量，由胡克定律可知， 应力大而应变小，杨氏模量较大；反之，杨氏模量较小。杨氏模 量反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力。对于一定的材料来 说，拉伸和压缩的杨氏模量不同，但通常二者相差不多。 仅当形变很小时，应力应变才服从胡克定律。若应力超过某 一限度，到达一点时，撤消外力后，应力回到零，但有剩余应变 ? p，称为塑性应变。塑性力学便是专门研究这类现象恶毒。当外 力进一步增大到某一点时，会突然发生很大的形变，该点被称为 屈服点。在达到屈服点后不久，材料可能发生断裂，在断裂点被 拉断。 【实验目的】 1．学会用拉伸法测量金属丝的杨氏模量。 2．掌握用光杠杆装置测量微小长度变化量的原理。 3．学会用逐差法处理数据。 【实验仪器】 杨氏模量测量仪、光杠杆、望远镜直尺组、螺 旋测微器、米尺、钢卷尺、砝码等。 杨氏模量测量仪如图 5-1 所示。A、B 为钢丝两 端的螺丝夹，在 B 的下端挂有砝码的托盘，调节仪 器底部的螺丝 J 可以使平台水平，且使 B 刚好悬于 平台的圆孔中间。在平台上放有光杠杆 G，光杠杆 图 5-2 前两足放在平台的槽内，后足尖放在螺丝夹 B 上。 1．平面镜 2．后足 3．前足 当钢丝伸长时，可通过望远镜直尺组测量光杠杆的 偏转角，从而求出钢丝的微小伸长量。 光杠杆由平面反射镜、前足、后足组成，如图 5-2 所示。镜面倾角及前、后足之间距离 均可调。40图 5-1大学物理实验望远镜直尺组由刻度尺和望远镜组成，如图 5-3 所示。转动望远镜目镜可以清楚地看到 十字叉丝。 调整望远镜调焦手轮并通过光杠杆的 平面镜可以看到刻度尺的像， 望远镜的轴线可以 通过望远镜轴线调整螺钉调整， 松开望远镜、 刻 度尺紧固螺钉， 望远镜、 刻度尺能够分别沿立柱 上下移动。 【 实验原理 】 对于一根长为 l，横截面积为 S 的钢丝，在 外力 F 的作用下伸长了?l，则由胡克定律可得F ?l ?E S l（5-1）式中 E 为杨氏模量。设钢丝的直径为 d，则 S = ?d2/4，将其代入式（1）并整理可得E? 4Fl ?d 2 ?l（5-2）图 5-3 实验中，我们测出拉力 F，钢丝长 l、直径 d 和 1．刻度尺；2．望远镜调焦手轮；3．望远镜轴 微小伸长量?l，即可代入式（5-2）求得杨氏模 线调整螺钉； 4． 望远镜紧固螺钉； 5． 缺口； 6． 准 量 E。 星；7．刻度尺紧固螺钉 因为?l 不易测量，所以测量杨氏模量的装 置都是围绕如何测量微小伸长量而设计的。 本实 验利用光杠杆装置去测量微小伸长量 l，拉力 F 用逐次增加砝码的方式读出，钢丝长 l 用钢卷 尺测出，直径 d 用螺旋测微器测出。 光杠杆装置的原理图如图 5-4 所示。假设平面镜的法线和望远镜的光轴在同一直线上， 且望远镜光轴和刻度尺平面垂直，刻度尺上某一刻度发出的光线经平面镜反射进入望远镜， 可在望远镜中十字叉丝处读下 该刻度的像，设为 a0，若光杠 am 杆后足下移 ?l，即平面镜绕两 前足转过角度? 时，平面镜法 线也将转过角度?，根据反射定 ?a 律，反射线转过的角度应为 ? 2? ，此时望远镜十字叉丝应对 a0 2? 准刻度尺上另一刻度的像，设 为 am。 因为?l 很小，且?l&&b，? D 也很小，故有： ?l ?l ? tan? ? ? b 图 5-4 因 a - a && D，故有：m 041大学物理实验am ? a0 ? tan 2? ? 2? D联立两式，消去? ，有2?l am ? a0 ? b D令?a = am - a0 ，则有?l ? b?a 2D（5-3）式中 b 为光杠杆后足尖到前两足尖连线之间垂直距离，用米尺测出，D 为光杠杆平面镜到刻 度尺之间的垂直距离，用钢卷尺测出，为加砝码前后刻度尺在平面镜中的像移动的距离，通 过望远镜中十字叉丝可以读出。这样，样式模量的测量公式可以写为E? 4Fl 8mglD ? 2 2 ?d ?l ?d b?a（5-4）式中，m 为砝码的质量，g 为重力加速度。 实验时，我们首先记录未加砝码时望远镜中十字叉丝对准刻度尺上某一刻度的像 a0 ，然 后逐次增加 1.0kg 砝码，分别记录各次十字叉丝对准刻度尺上某刻度的像 a1 ， a2 ，? ，a5， 砝码加到 5.0kg 时，在逐次减少 1.0kg 砝码，分别记录各次十字叉丝对准刻度尺上某刻度的像 a4′，a3′，? ，a0′。求加砝码相等时的各次记录的平均值 a 0 ， a1 ，? ， a5 ，再由逐差 法求出 m = 3kg 时?a 的平均值 ?a?a ? 1 2 ? (a3?i ? ai ) 3 i ?1（11-5）【实验内容】 1．仪器调节 （1）调节杨氏摸量测量仪 ① 调整杨氏模量测量仪底部的螺丝使立柱铅直（平台水平） 。 ② 将光杠杆按要求放在平台上。目视检查其主杆是否水平，如不水平，可上下移动螺丝 夹，待主杆水平后旋紧固定螺丝。检查螺丝夹能否在平台圆孔内上下自由移动。调整光杠杆 平面镜使镜面位于铅直平面内。 ③ 在钢丝下端托盘上加挂初始砝码（又称本底砝码， 该砝码不应计入以后所加的力 F 之 内） ，拉直钢丝。 （2）调节光杠杆、望远镜直尺组 ① 粗调。将望远镜直尺组放在离光杠杆平面镜前 1.5～2.0m 处，使望远镜和光杠杆处于 同一高度；将望远镜水平放置，望远镜轴心线和刻度尺平面竖直放置；调节望远镜的左右位 置和在平面内的方位，使沿望远镜镜筒方向观察光杠杆平面镜面，能够看到刻度尺的像和观 察者眼睛的像。 ② 细调。微调望远镜的方位，使刻度尺的像位于视场中央；然后调节目镜，使十字叉丝 清晰；再调物镜，使望远镜视场中十字叉丝和刻度尺的像均很清晰。42大学物理实验③ 消除视差。调节光杠杆平面镜镜面倾角，使十字叉丝对准刻度尺上与望远镜同一高度 的位置；微调物镜，消除视差（上下稍许移动眼睛，刻度线与十字叉丝横线之间不出现相对 移动就是无视差） 。 2．测量 （1）仪器调整完毕，记录加挂初始砝码时望远镜中十字叉丝对准刻度尺上某一刻度的像 a0 。 （2） 逐次增加 1.0kg 砝码， 分别记录各次十字叉丝对准刻度尺上某刻度的像 a1 ，a2 ， ? ， a5，砝码加到 5.0kg 时，在逐次减少 1.0kg 砝码，分别记录各次十字叉丝对准刻度尺上某刻度 的像 a4′，a3′，? ，a0′。由逐差法求出 ?a 。 （3）用钢卷尺测量钢丝的长度 l（螺丝夹 A、B 之间的距离） ，光杠杆平面镜到刻度尺之 间的垂直距离 D，分别测量 5 次。 （4）用螺旋测微器测量钢丝直径 d，选不同位置测 5 次。 （5）取下光杠杆，将其放在一张平整的白纸上用力压，用米尺测量光杠杆后足尖到前两 足尖连线之间垂直距离 b，测量 5 次。 【注意事项】 1．在望远镜调整中，必须注意时差的消除，否则会影响读数的准确性。 2．实验过程中不得碰撞仪器，更不能移动光杠杆和望远镜直尺组和的位置。加挂砝码必 须轻拿轻放，待系统稳定后才可读数，否则必须重做。 3．待测钢丝不得弯曲，若加挂初始砝码仍不能将其拉直或严重锈蚀的钢丝必须更换。 【思考题】 1．如果实验时钢丝有些弯曲，对实验有何影响？如何从实验数据中发现这个问题？ 2． 实验中哪个量的测量误差对实验结果影响最大？对垂直距离 b 的测量为何不用精度较 高的游标卡尺，而用米尺。 3．钢的杨氏模量为 2?1011N?m-2，而其极限强度（破坏应力）为 7.5?108N?m-2，二 者是否矛盾？为什么？43大学物理实验实验六【实验目的】惯性秤1．了解惯性秤测定惯性质量的原理及方法。 2．掌握惯性秤的定标方法。 3．测定物体的惯性质量以及研究重力加速度对惯性秤的影响。 【实验仪器】 惯性秤、周期测定仪。 惯性秤由平台和秤台组成，它们之间用两条相同的弹性钢条连接起来，附件有砝码组、 管制器、待测物及支撑杆等。平台被水平地固定在支撑杆上，秤台用来放置砝码和待测物， 并且在秤台上有一圆柱孔，该孔和砝码底座（包括小砝码和已知圆柱体）一起用以固定砝码 组的位置和待测物的位置，如图 6-1 所示。4 1 5 3 26图 6-1惯性秤结构示意图1.秤台；2.弹性钢条；3.台座；4.支架；5.圆柱体；6.光电门。【实验原理】 根据牛顿第二定律有 m = F / a , 把同一个力作用在不同物体上，并测出各自的加速度， 就能确定物体的惯性质量。 当惯性秤水平固定后，将秤台沿水平方向拨动一厘米左右距离，松开手后，这时秤台及 其上面物体将作水平的周期性振动，对此运动起作用的只有秤臂的弹性恢复力。在秤台上的 负荷不大且秤台位移很小的情况下，我们可以近似地认为秤台的运动是沿水平方向的简谐振 动。 设秤台上的物体受到秤臂的弹性恢复力为 F = ? kx ， （k 为秤臂的弹性系数，x 为秤台水平偏 离平衡位置的距离） ，根据牛顿第二定律，运动方程为：( M 0＋M i ) d2 x ＝－ kx dt 2（6-1）式中，M0 为空秤的惯性质量，M1 为砝码的惯性质量。 设初相位为零，式（6-1）的解为： x = x0 cosωt 其中，x0 为秤台振幅，ω 为圆频率，由此可得：44（6-2）大学物理实验ω 2＝k M 0＋M i（6-3） （6-4）T=2πM 0＋M i k当秤台上负荷不大时，认为 k 是常数。可以看出，惯性秤的水平周期 T 的平方和惯性质 量成正比，即T12 M 0＋M 1 = T22 M 0＋M 2（6-5）由上式可知，若已知砝码的惯性质量 M1 ，并测出其周期 T1 ，那么只要测得被测物体的 振动周期 T2 ，就可以求出其惯性质量 M2 ，这就是使用惯性秤测定惯性质量的基本原理。 实验中为了避免计算， 常采用作图法。 对惯性秤预先作出 T2 - M 定标图线， 只要测出 T2 ， 就可以直接从图线上读出被测物的惯性质量值。作图方法如下：先测出空秤（其惯性质量为 M0 ）的水平振动周期 T0 ，然后将具有相同惯性质量的砝码依次增加放到秤台上，测出分别 对应的振动周期 T1，T2，??，Ti ，绘出相应的 T2 - M 图线 , 如图 6-2 所示。这样，只要测 出某待测物的振动周期 Tk ，即可在 T2 - M 图线上找出其对应的惯性质量 Mk 。至于空秤的惯 性质量 M0 ，它是一个常数，在绘制 T2 - M 图线时，取 M0 作为横坐标的原点即可，这样作 图或用图时均可不必考虑 M0 。图 6-2 惯性秤的 T2 - M 图线 惯性秤必须严格水平放置，才能得到正确的结果，否则，秤的水平振动将会受到重力的 影响。这时，秤台除受到秤臂的弹性恢复力外，还要受到重力在水平方向上的一个分力的作 用。为研究重力对惯性秤的影响，可以分为以下两种情况考虑： （1）圆柱体悬空； 惯性秤仍水平安置，将圆柱体用细线吊在秤台的圆孔内，让圆柱体悬空, 如图 6-3（a） 所示。此时，圆柱体重量不再铅直地作用在秤臂上，由于被测物在偏离平衡位置后，其重力 的水平方向分力作用在秤台上，从而使秤的振动周期有所变化，在位移 x 与悬线长 L（由悬 点到圆柱体中心的距离）相比较小时，忽略圆柱体与秤台圆孔间的摩擦阻力，则作用于振动 系统上的恢复力为 kx + Mgx/L ，此时振动周期为：T ? ? 2? M0 ? Mi Mg k? L（6-6）则：45大学物理实验T ? T?k?Mg L ? 1 ? Mg k kL（6-7）（a）惯性秤水平放置（b）惯性秤竖直放置图 6-3 可见，这种情况下秤臂的振动周期要小一些。 （2）秤臂竖置安装。 此时秤台的振动亦在铅直面内进行， 若秤台中心至台座中心的距离为 l, 如图 6-3 (b)所示。 此时振动系统的运动方程可以写成：(M 0 ? M i ) M ? Mi d2 x ? ?(k ? 0 g)x 2 l dtM 0＋M i ( M 0＋M i )g k＋ l（6-8）相应的周期可以写成：T ??=2π（6-9）则：T ＝ T ?? k＋ ( M 0＋M i )g ( M 0＋M i )g l ＝ 1＋ k kl（6-10）可见，由于重力影响，其振动周期也会比水平位置时的周期减小。 【实验内容】 1．作惯性秤水平放置时的定标曲线。 （1）用水准仪校准惯性秤秤臂的水平，接好周期测定仪。 （2）将惯性秤沿水平方向稍稍拨离，任其振动，测定空秤时 M0 的周期 T0 ，然后依次加 上砝码 Mi ，测定周期 Ti 。注意加砝码时应对称加入，使砝码重心一直位于秤台中心。 （3）根据已知的质量 Mi 和测得的周期 Ti ，绘出惯性秤水平放置时的 Ti? - Mi 定标曲线。 2．测定圆柱体的惯性质量。46大学物理实验（1）将圆柱体放入秤台圆孔中，测定其周期 T。 （2）从定标曲线中查出待测圆柱体的惯性质量 M0 。 3．研究重力对惯性秤的影响。 （1）惯性秤仍水平放置，用细线把圆柱体吊在秤台中心圆孔内，使其悬空。测出由悬点 至圆柱体重心的距离 L，测定其振动周期 T＇ ，并和实验内容 2 中测定的 T 作比较。注意应尽 量使圆柱体重心与秤台中心重合。 （2）将惯性秤竖直放置，将圆柱体放入秤台圆孔中，测出秤台中心至台座中心的距离 l， 测定其周期 T&，并和实验内容 2 中测定的 T 作比较。 【思考题】 1．通过对 T 与 T＇ 、T& 的比较，你能得到什么结论？ 2．处在失重状态的两个质量不同的物体，你能用天平区分它们的引力质量大小吗？若用 惯性秤，你能区分它们的惯性质量大小吗？47大学物理实验实验七【实验目的】电磁学实验的基础知识1．掌握电磁学实验基本仪器的性能和使用方法 2．了解电磁学实验的基本要求和基本操作规程 3．学会连接电路的一般方法，测量线性电阻的伏安特性曲线 【实验仪器】 电流表、电压表、直流电源、变阻器、开关、电阻物、导线若干、待测电阻 【实验原理】 电磁学实验要求学生不仅能够学习和掌握电磁学中的一些基本物理量的测量、基本仪器 的使用、基本电路的分析和实验数据分析处理等方面的知识，而且要具备有关常用仪器和用 具的使用、电路的连接和操作规程等方面的知识。前者在完成一定数量的实验后，才能获得。 在这里，我们对后者现作些简单的介绍。 1．常用仪器 （1）直流电源 图 7-1 电路中的 E 代表直流电源，它是直流电路中的能量源。实验室里最常用的直流电 源是直流稳压电源、干电池、蓄电池等。直流稳压电源是将交流电经过变压、整流、滤波和 稳压等过程而得到的直流电源。很多稳压电源都具有电压连续可调、电路短路保护（电流过 大时能自动断电）的功能。（a）（b）E：直流电源；R：变阻器；r：负载；V：电压表；mA：毫安表；K：开关图 7-1 干电池一般用的是锌锰电池，正常电动势为 1.5V。也有由多节串接而成的层积电池（或 称层迭电池） ，其电动势为 1.5V 的整数倍，如有 6V、9V、15V 等多种规格。干电池体积小、 使用方便，常用在工作电流不太大、稳定性要求不很高的场合。铅蓄电池正常电动势为 2V， 也常串接使用。它有输出电流大、电压稳定的特点，但需要经常充电，维护比较麻烦。随着 直流稳压电源输出功率和性能的提高，铅蓄电池在实验室用的逐渐减少。48大学物理实验不论是直流稳压电源还是电池，使用时正（+） 、负（-）极千万不要接错；不可超过它们 的最大工作（放电）电流，否则会损坏电源及其它设备。 （2）开关 电路中常用 K 代表开关。它的主要用途在于接通、断开或变换电路。开关的形式一般有 单刀单掷，单刀双掷和双刀双掷等。图 7-2a 是单刀双掷开关，图 7-2b 是双刀双掷开关。双刀 双掷开关又常连接成图 7-2c 和 7-2d 那样的形式，在电路中起换向开关和换挡开关的作用。 （3）电表 电路中标有 V、mA 的圆形符号（见图 7-1） ，分别代表电压表（伏特计）和电流表（毫 安表） 。电表按其工作原理不同，可分为磁电式、电磁式和电动式等类型。电磁学实验中大多 用的是磁电式电表（见图 7-3a） 。使用电表，应该注意以下几点：（a） ：单刀双掷开关； （b ） ：双刀双掷开关； （c） ：换向开关； （d ） ：换档开关图 7-2S A（b）B（a）（a） ：磁电式电表（b） ：变阻器1：指针；2：标度盘；3：永久磁铁；4：游丝；5：铁芯；6：线摆图 7-3 ① 使用前一定要弄清电表盘上一些符号的意义，按要求使用电表。49大学物理实验② 量程选择要适当。测量时，在不超过量程的前提下，尽量选用小量程档。 ③ 直流电表端有正（+） 、负（-）之分。电压表并接在电路中，电流表串接在电路中。 ④ 电表在使用前要检查指针是否指在零点，如不指零，用小螺丝刀调节电表表面上的零 点调节器，使指针指零。调节时，动作不要过猛。读表时，要尽量减小视差。 （4）电阻器 ① 电阻箱。电阻箱是由一套标准的线绕电阻组成的。凡是电路中使用电阻或可变电阻的 地方，一般都可以用电阻箱，使用十分方便。电阻箱都有其额定功率 P（从铭牌上可读到） ， 使用时必须使通过电阻箱的电流 I 小于(P/R)1/2（R 为电阻箱的电阻值） 。如果电流过大，就有 烧坏电阻箱的危险。 ② 变阻器。它有两个固定端点和一个可连续滑动的端点（见图 7-3b） 。滑动 S 点时，S 与 A 之间或 S 与 B 之间的电阻可连续变化。使用时，通过变阻器的电流，切不可超出其额定 电流值（从铭牌上读出） 。利用变阻器还可以很方便地接成分压电路，如图 7-1b 所示（接成 分压电路的变阻器又称分压器） 。把端电压为 E 的电源接在变阻器两固定端点（A、B） ，供给 负载 r 的电压从 S、B（或从 A、S）两端输出，输出电压从 0～E 连续可调。 当滑动端点 S 在 A、B 间任一点时，负载电阻 r 上的电压为（不考虑电源内阻和电表内阻 的影响） RSB ∥ r Vr ? E R ? RSB ? RSB ∥ rRSE E 2 R[1 ? RSB r ? RSB Rr ] R r 式中 RSB 是变阻器 S、B 间的电阻， RSB ∥ r ? SB 为 RSB 与 r 的并联电阻。若 r&&R，上式 RSB ? r ?变为：Vr ? RSB r E R这样在负载电阻两端的电压正比于分压器的分压比 RSB R ，与负载电阻 r 的具体数值无关。 利用变阻器也可接成限流电路（接成限流电路的变阻器又称限流器） ，如图 7-1a 所示。 2．电路的连接和操规程 （1）连接电路 在看懂电路的基础上，先将实验仪器和用具基本上按电路图的位置摆好，其中开关和要 调节的仪器应放在操作方便的位置。弄清各仪器的规格，选好仪器的量程或各旋钮的位置， 然后按电路图连线。先连接各仪器，后连接电源，并且使电路中的开关断开。 （2）通电前的准备 ① 检查电路连接是否正确，电源和电表等有正负极的器件有无接反。 ② 根据电路的要求，检查电阻箱阻值、电表量程和电源电压等是否符合要求。 ③ 分析各仪表的最小分度值，读数应读到哪一位。 （3）通电 经教师检查后接通电源。通电时，要密切注视各仪表的反应，若发现电表指针猛然打倒50大学物理实验满刻度或反向偏转、导线过热或发现冒烟、闻到焦糊味等反常现象，要立即打开开关，重新 检查电路。 （4）规整 实验完毕，先断开开关和电源，然后拆除电路，理好导线；仪器的有关档位拨到安全位 置；仪器上的接线柱轻轻扭紧后放回原处，盖上防尘罩布或防尘罩，以养成良好的习惯。 【实验内容】 1．根据操作规程，按图 7-1a 连接电路。改变变阻器滑动头的位置，观察电流表和电压 表的变化，记录几组电流值和电压值。读表时要准、要快、尽量减小视差。图 7-4 2．保持 r 不变，按图 7-1b 连接电路。改变变阻器滑动头的位置，观察电流表和电压表 的变化，记录几组电流值和电压值。 3．用两个电阻箱作为负载 r1 和负载 r2，连接成如图 7-4 所示电路。改变变阻器滑动头的 位置，记录几组电流值和 r1、r2 两端电压值 V1、V2。 4．记下所用仪器的主要规格。 5．根据数据计算电阻值 r、r1 和 r2。 【思考题】 1．电阻箱和变阻器都可作可变电阻使用，它们的主要区别是什么？ 2．在图 7-1a 中，当滑动头从 A→B 时，电流表示值是增加还是减小？为什么？ 3．在图 7-1b 中，当滑动头从 A→B 时，电压表示值是增加还是减小？为什么？示值为零 和最大时，滑动头在何处？ 4．变阻器在电路中作可变电阻使用和分压器使用时，在连接上有何特点？51大学物理实验实验八【实验目的】 1．学习用模拟法研究静电场。 2．加深对静电场概念的理解。 【实验仪器】用电流场模拟静电场静电场描绘仪、静电场描绘仪电源、游标卡尺、记录纸、导线若干。 【实验原理】 在研究静电场时，除了具有一定对称性的规则带电体所形成的场以外，大都不易用理论 的方法计算其分布。即使可以，计算结果与实际场的分布也难以很好相符。因此，为了较为 简捷、准确地获知静电场的分布，在工程上一般采用实验的方法。 但是，在对静电场进行实际测量时，由于所使用的测量仪器上的探针必然是良导体，这 样，在将其放入场中探测时，探针上会感生出电荷，这些电荷产生的电场最终使得原静电场 的分布改变。这个困难可以用一种间接的测量方法来解决。这种方法的特点是：仿造一个与 原静电场具有相似分布的场，并且，当用探针测量的时，该电场不受干扰。因此，通过对这 个电场的测量就可以间接获得原静电场的分布。 我们知道，恒定电流场和静电场是两种不同性质的场，它们的区别在于产生电场的电荷 运动与否。虽然产生恒定电流场的电荷 是在连续不断地流动着，但若让其保持动态平衡，它 的分布是不随时间变化的。因而，场中空间各 点的电场强度 E 和电势 U 也不随时间变化， 恒 定电流场产生的宏观效应与静电场是一样的。 因此，测量恒定电流场的分布就可以模拟出静 电场的分布。 本实验用共轴电缆线间的恒定电流场来 模拟相应的静电场。由于该场的轴向分布是完 全相同，所以只需模拟与轴相垂直的横截面上 的分布即可。